Урок 1
Системы линейных уравнений
Системы линейных уравнений
Определение. Уравнение вида ах + by = c, где x и y — переменные, a, b и c — некоторые числа, называется линейным уравнением с двумя переменными.
Определение. Упорядоченная пара чисел (x0; y0) называется решением уравнения ах + by = c, если при подстановке этих чисел в уравнение получается верное числовое равенство, т. е.числовое равенство ах0 + by0 = c верное.
ах0 + by0 = c —верно (x0; y0) —решение уравнения
Число решений уравнения ах + by = c зависит от условий задачи. В общем случае, если на x и y не накладывается никаких дополнительных условий, то уравнение имеет бесконечное множество решений.
Например, подставляя произвольные значения переменной x в уравнение 2х + 3у = 20, получаем линейные уравнения с переменной y, решая которые, находим значения y:
при х = 1 2*1 + 3у = 20; у = 6; (1; 6) — решение уравнения;
при х = 2,5 2*2,5 + 3у = 20; у = 5; (2,5; 5) — решение уравнения.
Таким же образом, подставляя произвольное значение x в уравнение ах + by = c и решая полученное уравнение относительно y, будем получать пары чисел (х; у) — решения уравнения.
1 Какие из уравнений:
а) 2х + 3у = 7; б) х + 2у = 0;
в) х2 − 6у = −4; г) −х − у = 1,5;
д) х2 − 6у2 = −9 — являются линейными уравнениями с двумя переменными?
2. Верно ли,
что пары чисел (1; 2), (2; 1) являются решениями
уравнения 3х − 2у = 4?
1 Так как линейным уравнением называется уравнение вида ах + by = c, то уравнения а), б) и г) — линейные.
В уравнении а) a = 2, b = 3,c = 7, в уравнении б) a = 1,b = 2, c = 0, в уравнении г) a = −1, b = −1, c = 1,5.
2. Подставим в уравнение 3х − 2у = 4 вместо x значение 1, а вместо y — значе-
ние 2. Получим: 3 1 − 2 2 = 4. Это равенство неверное, значит, пара чисел (1; 2) не является решением этого уравнения. Для второй пары чисел получим: 3 2 − 2 1 = 4. Это равенство является верным, значит, пара чисел (2; 1) является решением этого уравнения.