EMENTA: Cálculo integral de duas ou três variáveis, análise vetorial, funções de variável complexa
OBJETIVOS GERAIS: Adquirir capacidade de cálculo de integrais duplas e triplas e compreender as
idéias de integração iterada e a função do jacobiano; compreender os resultados clássicos da
Análise Vetorial e o fato de que são um só teorema; adquirir um razoável panorama das
aplicações físicas clássicas; compreender os fundamentos da teoria de funções de uma variável
complexa
CONTEÚDO PROGRAMÁTICO:
UNIDADE I: Integrais múltiplas, integração iterada e mudanças de variáveis; o jacobiano,
coordenadas polares, esféricas e caso geral; áreas e integrais de superfície, relações com a
curvatura gaussiana
UNIDADE II: Campos conservativos e integral de linha, independência do caminho; conservação
da energia; a forma de variação de ângulo em IR2\{0}
UNIDADE III: Teorema de Kelvin, dito de Stokes, teorema de Green; o rotacional; rotacional e
velocidade angular
UNIDADE III: Teorema da divergência e o divergente; interpretação do divergente como
densidade de taxa de expansão volumétrica; a forma de ângulo sólido
UNIDADE IV: Aplicações físicas – campo gravitacional/elétrico, dinâmica dos fluidos, propagação
do calor, equações de Maxwell e equação das ondas, ondas de choque, mecânica clássica e
invariante integral de Poincaré-Cartan; o laplaciano, propriedade da média e princípio do máximo;
identidades de Green e equação de Poisson; problemas de Dirichlet e de Neumann na bola;
Teorema de Helmholtz e recíproca do lema de Poincaré
UNIDADE V: Noções elementares sobre formas diferenciais, comentários sobre o teorema
generalizado de Stokes, sobre os teoremas de de Rham e relações com a Topologia Algébrica
UNIDADE VI: Funções de variável complexa e integral de linha; teorema de Cauchy-Goursat;
fórmula integral de Cauchy e conseqüências; séries de Laurent; resíduos e cálculo de integrais
BIBLIOGRAFIA:
1. Courant, R., Differential and Integral Calculus, vol. II
2. Marsden, J. & Tromba, A., Vector Calculus
3. Apostol, T., Calculus, vol. II
4. do Carmo, M. P., Geometria Diferencial de Curvas e Superfícies
5. Ahlfors, L., Complex Analysis