EMENTA: Cálculo integral de duas ou três variáveis, análise vetorial, funções de variável complexa

OBJETIVOS GERAIS: Adquirir capacidade de cálculo de integrais duplas e triplas e compreender as

idéias de integração iterada e a função do jacobiano; compreender os resultados clássicos da

Análise Vetorial e o fato de que são um só teorema; adquirir um razoável panorama das

aplicações físicas clássicas; compreender os fundamentos da teoria de funções de uma variável

complexa

CONTEÚDO PROGRAMÁTICO:

UNIDADE I: Integrais múltiplas, integração iterada e mudanças de variáveis; o jacobiano,

coordenadas polares, esféricas e caso geral; áreas e integrais de superfície, relações com a

curvatura gaussiana

UNIDADE II: Campos conservativos e integral de linha, independência do caminho; conservação

da energia; a forma de variação de ângulo em IR2\{0}

UNIDADE III: Teorema de Kelvin, dito de Stokes, teorema de Green; o rotacional; rotacional e

velocidade angular

UNIDADE III: Teorema da divergência e o divergente; interpretação do divergente como

densidade de taxa de expansão volumétrica; a forma de ângulo sólido

UNIDADE IV: Aplicações físicas – campo gravitacional/elétrico, dinâmica dos fluidos, propagação

do calor, equações de Maxwell e equação das ondas, ondas de choque, mecânica clássica e

invariante integral de Poincaré-Cartan; o laplaciano, propriedade da média e princípio do máximo;

identidades de Green e equação de Poisson; problemas de Dirichlet e de Neumann na bola;

Teorema de Helmholtz e recíproca do lema de Poincaré

UNIDADE V: Noções elementares sobre formas diferenciais, comentários sobre o teorema

generalizado de Stokes, sobre os teoremas de de Rham e relações com a Topologia Algébrica

UNIDADE VI: Funções de variável complexa e integral de linha; teorema de Cauchy-Goursat;

fórmula integral de Cauchy e conseqüências; séries de Laurent; resíduos e cálculo de integrais

BIBLIOGRAFIA:

1. Courant, R., Differential and Integral Calculus, vol. II

2. Marsden, J. & Tromba, A., Vector Calculus

3. Apostol, T., Calculus, vol. II

4. do Carmo, M. P., Geometria Diferencial de Curvas e Superfícies

5. Ahlfors, L., Complex Analysis

AULA 1: INTEGRAIS MÚLTIPLAS - Definição de Integral, Integrais iteradas, Mudanças de variáveis, Densidade de probabilidade, Momento de inércia AULA 2: INTEGRAL DE SUPERFÍCIE - Alguns exemplos e aplicações de integral AULA 3: FORMAS ALTERNADAS E INTEGRAIS AULA 4: INTEGRAL DE LINHA, VARIAÇÃO DE ÂNGULO AULA 5: EXERCÍCIOS AULA 6: EXERCÍCIOS AULA 7: INTEGRAL DE LINHA, TEOREMA DE STOKES, ROTACIONAL AULA 8: TEOREMA DE STOKES, TEOREMA DA DIVERGÊNCIA, TEOREMA DE GREEN - Especulações sobre a generalização, para dimensões superiores, das ideias já desenvolvidas, bordo, derivada AULA 9: TEOREMA DA DIVERGÊNCIA E APLICAÇÕES, SÉRIES DE FOURIER, TEOREMA DE BROUWER AULA 10: EQUAÇÃO DO CALOR, LAPLACIANO, CAMPOS CONSERVATIVOS AULA 11: SUPERFÍCIES, EQUAÇÃO DE POISSON - cargas virtuais AULA 12: FÓRMULAS DE GREEN, FUNÇÕES DE GREEN AULA 13: EQUAÇÃO DE POISSON - função de Green, abordagem variacional AULA 14: MECÂNICA DOS FLUIDOS, SISTEMAS HAMILTONIANOS - equações de Euler:equação da continuidade, derivada do jacobiano, derivada substantiva; invariante integral de Poincaré-Cartan AULA EXTRA:  EQUAÇÕES DE EULER, NAVIER-STOKES, etc AULA EXTRA: ELETROMAGNETISMO, EQUAÇÕES DE MAXWELL AULA 15: TEOREMA DE BROUWER, TEOREMA DE GREEN, EXERCÍCIOS AULA 16: APLICAÇÕES: equação do calor, equações de Euler, derivada substantiva, funções harmônicas; 1:30:45 O BORDO AULA 17: CADEIAS E FORMAS DIFERENCIAIS, DIVERGÊNCIA E DERIVADA EXTERIOR AULA 18: DIVERGÊNCIA, TEOREMA DO VALOR MÉDIO, TEOREMA DA DIVERGÊNCIA AULA 19: DERIVADA EXTERIOR, TEOREMA DE STOKES - diferenciabilidade implica em derivabilidade AULA 20: LEMA DE VOLTERRA-CARTAN, TEOREMA DE NÃO RETRATABILIDADE, FORMA DE VARIAÇÃO DE ÂNGULO AULA 21: TEOREMA DA ESFERA CABELUDA, TEOREMA DE BROUWER, TEOREMA DE PERRON-FRÖBENIUS, 1-FORMAS E CADEIAS NO PLANO AULA 22: ALGUMAS QUESTÕES TOPOLÓGICAS, HOMOLOGIA E COHOMOLOGIA DE DE RHAM, TEOREMA DE DE RHAM - cadeias fechadas e exatas, formas fechadas e exatas AULA 23: TEOREMA DE BORSUK-ULAM, TEOREMAS DE DE RHAM AULA 24: CADEIAS EM ABERTOS DO PLANO. Teorema: Se A é aberto do plano, duas cadeias, c1 e c2, em A são homólogas em A se, e somente se, n(c1; P) = n(c2; P) para todo ponto P no complementar de A AULA 25: REVISÃO: cadeias, equação do calor, séries de Fourier AULA 26: FUNÇÕES DE VARIÁVEL COMPLEXA: Teorema de Cauchy-Goursat, fórmula integral de Cauchy AULA 27: FUNÇÕES DE VARIÁVEL COMPLEXA: holomorfia e analiticidade, série de Laurent AULA 28: FUNÇÕES DE VARIÁVEL COMPLEXA: resíduos, princípio do argumento, contagem de zeros e polos, interpretação topológica AULA 29: FUNÇÕES DE VARIÁVEL COMPLEXA: funções holomorfas têm parte real e imaginária harmônicas; Teorema de Riemann: se A aberto em C , com A diferente de C , então existe bijeção biholomorfa ente A e o disco; relações entre séries de potências, séries de Fourier; Transformada de Laplace como generalização das séries de potências, resolução de equações diferenciais ordinárias