Singularity Day 2025

Horário: 09:30h-10:30h

Título: Sobre a geometria bi-Lipschitz de polinômios quase homogêneos reais

Resumo: Nesta palestra, abordamos o problema de classificação de polinômios quase homogêneos reais em duas variáveis ​​com respeito à equivalência semialgébrica bi-Lipschitz, mostrando que isso se reduz à classe de equivalência Lipschitz de polinômios reais em uma variável. Além disso, fornecemos um conjunto completo de invariantes para a classe de equivalência semialgébrica bi-Lipschitz de polinômios quase homogêneos reais em duas variáveis. Este é um trabalho conjunto com Gabriel da Macena (UFES) e Alexandre Fernandes (UFC).

Horário: 11:00h-12:00h

Título: Hipersuperfícies associadas a mapas com fibração de Milnor

Resumo: Esudamos famílias de hipersuperfícies reais analíticas associadas a mapas reais que satisfazem a condição de Milnor ou a condição forte de Milnor na origem. Um método para construir famílias de mapas $f:\R^{2n} \rightarrow \R^2$ não triviais que satisfazem a condição forte de Milnor na origem, foi apresentado em [2] e [3] por J. Seade. Este método é o seguinte: consideramos campos vetoriais $G=(G_1, \cdots, G_n)$ e $X=(X_1, \cdots, X_n)$ com singularidade isolada na origem, tomamos $\psi_{G,X}(z):=\langle G(z), X(z)\rangle$ o produto hermitiano usual de $G$ e $X$, então buscamos condições sobre os campos $G$ e $X$ para que $\psi_{G,X}$ satisfaça condição de Milnor ou condição forte de Milnor na origem. 

Algumas famílias de campos vetoriais cujo produto hermitiano satisfaz condição de Milnor ou condição forte de Milnor na origem, foram classificados por Ruas, Seade, Verjovsky em [1] e por Seade em [2].

Nesse contexto, tomamos $M=\{\real\ \langle G(z), X(z)\rangle=0\}$ e pesquisamos sob quais condições nos campos $G$ e $X$ a hipersuperfície $M$ é Levi-flat. Especificamente, pesquisamos sobre o seguinte problema:

Problema: Considere $F(z):=\real\ \langle G(z),X(z) \rangle$ e a hipersuperfície real analítica definida por $M:=\{F=0\}$. Sob quais condições nos campos $G$ e $X$ a hipersuperfície $M$ é Levi-flat?

Este problema foi proposto por Maria Aparecida Soares Ruas. Alguns resultados parciais foram obtidos em [4], num trabalho em conjunto com Arturo Fernández Pérez.

Referências

[1] M. Ruas & J. Seade & A. Verjovsky. (2002). On Real Singularities with a Milnor Fibration. 10.1007/978-3-0348-8161-6_9.

[2] J. Seade. (1997). Open book decompositions associated to holomorphic vector fields. Boletin Soc. Mat. Mex., 3, New Series, 323–336.

[3] J. Seade. (1996). Fibred links and a construction of real singularities via complex geometry. Bulletin of the Brazilian Mathematical Society. 27. 199-215. 10.1007/BF01259360.

[4] A. Silva. & A. Fernandez-Pérez (2024). On Real Analytic Levi-flat Hypersurfaces associated with Milnor Fibrations. Bulletin of the Brazilian Mathematical Society. 55. 24. 10.1007/ s00574-024-00406-7.

Horário: 14:00h-15:00h

Título: Regularidade de conjuntos definíveis em uma estrutura O-minimal

Resumo: Em 1961 David Mumford mostrou que toda superfície algébrica complexa que fosse variedade topológica e normal, então era suave. Posteriormente, em 2015, Edson Sampaio mostrou em sua tese que conjuntos analíticos complexos, que fosse variedade Lipschitz regular em um ponto, então é suave nesse ponto. Resolvidos esses problemas, é natural se questionar sobre o caso de conjuntos reais. Neste trabalho, mostramos que variedades Lipschitz, que são conjuntos definíveis em uma estrutura O-minimal, com certas condições sobre os cones tangentes, implica em variedade $C^1$. Além disso, mostramos que conjuntos definíveis em uma estrutura O-minimal de dimensão d, que são LNE e o $C_3(X,p)$ é um subespaço linear de dimensão d, que varia de maneira contínua em p, é uma variedade $C^1$. Vários exemplos são apresentados para mostrar que nossas hipóteses não podem ser removidas.

Horário: 16:00h-17:00h

Título: Homologia Moderadamente Descontínua de Germes de Conjuntos Reais e Complexos 

Resumo: Recentemente, Bobadilla, Heinze, Pereira e Sampaio apresentaram a homologia moderadamente descontínua, uma invariante subanalítica bi-Lipschitz que é bastante flexível e recupera muitas propriedades interessantes, como germes analíticos complexos suaves, o número de componentes irredutíveis de germes analíticos complexos, o tipo topológico de qualquer germe de curva complexa plana e multiplicidades relativas de germes analíticos complexos. Nesta palestra, mostraremos a intuição por trás dessa homologia, mostraremos como calculá-la, para a métrica intrínseca, em todos os germes de superfícies reais e como calculá-la, para a métrica euclidiana, em uma ampla classe de germes de superfície reais. Também discutiremos como se pode usar essa homologia para determinar a propriedade Lipschitz Normalmente Mergulhada (LNE) e a Conicalidade Métrica Intrínseca (IMC) para superfícies normais analíticas complexas e hipersuperfícies de Pham-Brieskorn, bem como apresentaremos problemas análogos para conjuntos subanalíticos reais com dimensão maior ou igual 2.

Este é um trabalho conjunto com Edson Sampaio e Emanoel Souza.