Teoria
pag 21, caso generale dell'effetto Doppler. La spiegazione del libro sembra far riferimento alla variazione della distanza relativa tra l'emettitore e il ricevitore. Questo può indurre in confusione. La variazione della distanza relativa ha in effetti a che fare con il "verso" dell'effetto Doppler. Se emettitore e ricevitore si avvicinano la frequenza percepita dal ricevitore è più alta. Se si allontanano è più bassa. La variazione non è però univocamente correlata ai segni nella formula generale [12]. Si consideri per esempio il caso in cui emettitore e ricevitore si muovano nello stesso verso, con l'emettitore che "insegue" il ricevitore. Però emettitore e ricevitore si avvicinano se vE > vR , e si allontanano se vE < vR. Indipendentemente dall'andamento della distanza relativa, nella formula va scelto il segno – sia a numeratore che a denominatore. Probabilmente la strategia corretta per scegliere i segni è confrontare i versi di vE e vR con il verso della velocità vO dell'onda che va da E a R. È comunque consigliabile verificare che il risultato finale sia in accordo con quanto si può stabilire dall'andamento della distanza relativa.
pag 32, la frequenza dei battimenti. In tutti gli esempi fino a questo punto un'onda armonica è stata descritta usando la funzione seno. Questo paragrafo fa riferimento all'equazione 3, ma usa il coseno al posto del seno senza dare spiegazioni. Forse la motivazione è che, secondo le formule di prostaferesi, la somma di due coseni può essere espressa come il prodotto di due coseni, e quindi la "funzione di partenza" non cambia. Utilizzando le formule di prostaferesi, la somma di due seni viene invece espressa come un prodotto tra un seno e un coseno, quindi solo una delle due funzioni non cambia. La sostanza comunque è la stessa: un'onda portante che sostanzialmente ha la stessa frequenza delle onde di partenza viene modulata con una frequenza pari alla differenza tra le frequenza di partenza. La "dimostrazione" fa un'altra scelta particolare: assume che la posizione in cui la sovrapposizione viene analizzata abbia coordinata spaziale nulla, x = 0 m. In effetti il calcolo più generale darebbe lo stesso risultato, ma le due funzioni goniometriche nel prodotto avrebbero anche una "costante di fase" spaziale che produrrebbe uno sfasamento temporale rispetto al caso con x = 0 m. La frequenza portante e quella modulante sarebbero però identiche.
pag 36, onda stazionaria. La discussione che porta alla prima equazione è piuttosto oscura. Il fatto che A sin[ωt - k(2L - x)+π] rappresenti "un'onda riflessa, proveniente dal capo fissato, che ha percorso un cammino L+(L - x) = 2L - x" non è affatto chiaro. Un ragionamento forse più comprensibile è il seguente
oltre alle onde che arrivano dalla sorgente S, nel punto P arrivano anche le onde che si sono riflesse sulla parete;
poiché queste onde si sono riflesse, esse procedono verso sinistra, e quindi avranno la forma matematica yR = A' sin[ωt + k(x - Δx)];
il termine Δx corrisponde ad una traslazione. Poiché le onde si sono riflesse sulla parete, è come se provenissero da un punto S' speculare ad S rispetto alla parete. Si ha quindi Δx=2L;
siccome le onde si capovolgono alla riflessione, si ha A' = -A;
L'onda riflessa ha dunque la forma yR = -A sin[ωt + k(x - 2L)].
Problemi
11: i "dati in più" forniti nel testo saranno pure superflui, ma non sono coerenti con gli altri dati. Una tensione di 100 N su una corda di 0,7 g/m non danno una velocità di 800 m/s, ma di 378 m/s, meno della metà. L'esercizio dovrebbe dare lo stesso risultato indipendentemente dalla strada presa.
16: Il risultato fornito (10%) è errato. Il risultato corretto è 9,75% (assumendo che i dati abbiano 3 c.s.) o 9,8% (assumendo di utilzzare la notazione "ingegneristica" in cui l'ultimo 0 non è significativo). Segnalazione di I. Paglia.
29: il dato sulla superficie media dell'orecchio umano (21 cm2) sembra un po' strano. Solitamente questo tipo di esercizi si riferisce alla membrana del timpano che ha una superficie di meno di 1 cm2. Forse si intende il padiglione auricolare.
31: il risultato dato (1730 m/s) sembra avere 4 cifre significative, quando dovrebbe averne 3 (1,73 km/s). Segnalazione di M. Manucci, 4CSA 19/20. In realtà si tratta probabilmente della notazione ambigua per cui l'ultimo zero non è significativo.
33: Il risultato fornito (11·102 m/s) è corretto, ma è dato in notazione insolita, esponenziale ma non scientifica. Scritto in notazione scientifica sarebbe 1,1·103 m/s.
37: il risultato dato (690 rad/s) è fornito con 2 c.s. in notazione ambigua (ultimo zero non significativo). In realtà l'unico dato che potrebbe avere un'incertezza è la frequenza, che ha 4 c.s. (il numero di buchi è intero, e non soggetto a incertezza). Quindi il risultato dovrebbe avere 4 c.s. (691,2 rad/s). Segnalazione di M. Manucci, 4CSA 19/20.
39: il risultato fornito è corretto, ma non è scritto in notazione scientifica (che richiederebbe un coefficiente compreso strettamente tra 1 e 10) né in notazione ingegneristica (che richiederebbe un esponente multiplo di 3). La notazione più standard per il risultato è 1,1·103 m/s. Segnalazione di M. Molineris, 4CSA 20/21.
40: il risultato dato (1,92·10-6 W/m2) è fornito con 3 c.s. ma dovrebbe averne 2: 1,9·10-6 W/m2. Segnalazione di M. Manucci, 4CSA 19/20.
42: il testo del problema non è completamente chiaro. Un altoparlante di solito emette un suono direzionale, quindi forse sarebbe più logico assumere che la potenza si distribuisca sulla metà di una superficie sferica di raggio 60 m, anziché sull'intera superficie. Il testo del problema dovrebbe specificare meglio la situazione, come nel problema 40. Segnalazione di M. Molineris, 4CSA 20/21. In caso di emissione su una semisfera i risultati sarebbero 1,3·10-4 W/m2 e 81 dB.
43: il testo dell'esercizio contiene un'imprecisione: 130 dB non può essere definito "intensità di un suono" (perché l'intensità si misura in W/m2). In realtà si tratta di un livello di intensità sonora. Segnalazione di G. Panzavolta, 4DSA 19/20.
48: in alcune edizioni il risultato fornito (v = 2vs) è fuorviante, anche se corretto. Infatti, secondo le convenzioni del libro vs e v sono la velocità della sorgente e quella del suono, rispettivamente. Siccome il problema richiede vs, bisognerebbe scrivere vs = v/2. Inoltre il testo è un po' fuorviante. Ciò che il problema intende è che la frequenza udita dagli osservatori è il doppio della frequenza emessa dall'aereo. Dire che la frequenza "raddoppia per gli osservatori" può indurre a pensare che ciò che raddoppia sia la frequenza percepita, al variare della velocità dell'aereo.
51: poiché l'unico dato ha 1 c.s., anche la soluzione dovrebbe avere 1 c.s.: 3 m/s anzichè 3,4 m/s. In alternativa bisognerebbe dare la percentuale con 2 c.s.: 1,0%. Inoltre: la soluzione viene calcolata assumendo che l'emettitore sia fermo. Poiché il testo parla solo del moto relativo del ricevitore rispetto all'emettitore, questa assunzione non è del tutto giustificata. D'altra parte, se la sorgente fosse in movimento, sarebbe necessario conoscerne la velocità per risolvere l'esercizio.
53: il testo è impreciso/incompleto. L'aquila vola verso l'aereo, ma non è chiaro se l'aereo voli verso l'aquila o si allontani da essa. Segnalazione di A. Tamagnini.
58: l'asse delle ascisse del grafico è identificato come "distanza". Non è chiaro di quale distanza si tratti. Bisognerebbe specificare "distanza da una delle estremità della corda". In realtà parlare di distanza non è molto appropriato. È più corretto parlare di posizione (in un sistema di riferimento). Inoltre il disegno non è molto chiaro, perché il "livello base" della perturbazione sembra avere un valore non nullo, visto che è ben al di sopra dell'asse delle ascisse. In realtà tale livello base deve probabilmente essere considerato come "assenza di perturbazione" (y = 0).
59: l'asse delle ascisse del grafico è identificato erroneamente come "distanza", mentre il testo parla correttamente di "posizione".
63: il testo contiene un errore tipografico. La terza frase è "Quando l'ascoltatore si muove lateralmente di 1,5 m l'intensità del suono raggiunge il suo valore minimo".
68: il risultato viene fornito con 2 c.s., ma dovrebbe averne 3: 8,42 m. Il problema chiede un valore massimo. Per determinare una condizione che lo identifichi, è utile chiedersi come varia la differenza tra i cammini delle onde all'aumentare della distanza tra ascoltatore C e l'altoparlante B.
69: la situazione descritta dall'esercizio è un po' complicata, perché in questo caso gli altoparlanti non sono in concordanza di fase né in opposizione di fase. La soluzione si può ottenere assumendo che gli altoparlanti siano in controfase (ma verrebbe la stessa cosa con altoparlanti in fase). Due suoni di ampiezza A genericamente "fuori fase" danno luogo ad un'interferenza che, per il primo ascoltatore, non è né completamente costruttiva né completamente distruttiva. Tale interferenza può però essere considerata "perlopiù costruttiva" se l'ampiezza risultante è tra A e 2A (suono "forte") o "perlopiù distruttiva" se l'ampiezza risultante è tra 0 e A (suono "debole"). In effetti, se la differenza di cammino varia di mezza lunghezza d'onda il tipo di interferenza cambia (da "forte" a "debole" o viceversa). Infatti, utilizzando le formule di prostaferesi si può dire che l'ampiezza cambia da 2A |cos(φ/2)| a 2A |cos(φ/2+π/2)|, dove φ è lo sfasamento tra le sorgenti. Se φ è piccolo ma non nullo (quasi in fase), si passa da forte a debole. Se φ è vicino a π (quasi in controfase) si passa da debole a forte. Un'obiezione che si può fare è che se lo sfasamento φ è circa uguale a π/2 l'ascoltatore non percepisce alcuna differenza di volume tra le due posizioni. In definitiva, l'esercizio si risolve riconoscendo che la differenza di cammino nella seconda posizione dell'ascoltatore è pari a metà della lunghezza d'onda. In ogni caso il risultato viene fornito con 2 c.s. ma utilizzando una notazione fuorviante, per cui l'ultimo zero non è significativo. Il risultato con 3 c.s. è 268 Hz (segnalazione di E. Pugliese) ma va dato con 2 c.s. Un possibile modo di scriverlo correttamente è 0,27 kHz.
72: il risultato fornito (d/5) è errato. Il risultato corretto è d/10. Segnalazione di L. Bulgarelli, 4BSA 19/20. L'errore è presente anche nello svolgimento per gli insegnanti, in cui si utilizza la condizione di interferenza distruttiva per sorgenti in fase anziché quella per sorgenti in opposizione di fase.
76: il testo non fornisce il risultato, che è 3,0 kHz.
79: il testo non fornisce il risultato, che è "la seconda armonica".
83: errore di approssimazione del risultato. La velocità sarebbe 181 m/s e non 182 m/s. Comunque il risultato va dato con non più di 2 c.s., visto che la densità lineare ne ha 2. Quindi 1.8·102 m/s. Anche la frequenza ha (o sembra avere) più c.s. del dovuto. La notazione corretta è 1,5·102 Hz.
92: il risultato viene fornito con un numero errato di c.s. Sarebbe 0,20 m/s e non 0,2 m/s.
93: il dato sulla superficie dell'orecchio (21 cm2) sembra un po' strano. Forse si riferisce al padiglione auricolare.
94: i dati vengono forniti con numero ambiguo di c.s. Se si assume che ne abbiano 3 (notazione ambigua in cui l'ultimo zero non è significativo) il risultato è approssimato correttamente. Se vengono considerati con 4 cs, il risultato dovrebbe essere 3,10%.
95: il risultato viene fornito con un numero ambiguo di c.s. Si utilizza la notazione in cui l'ultimo zero non è significativo. La notazione corretta sarebbe 9,6·102 m/s.
100: alcune edizioni del libro forniscono dei risultati errati (117 dB e 120 dB) perché assumono che gli altoparlanti emettano onde sferiche. In realtà le onde vengono emesse solo in una direzione, e quindi i loro fronti hanno forma semi-sferica, e non sferica. I risultati corretti sono 120 dB e 123 dB. Segnalazione di A. Mele, 4CSA 19/20.
102: il testo è vago e impreciso. Nella formula vengono ignorate le unità di misura. Segnalazione di A. Tamagnini. La formula corretta è
y = 0,30 m sin[2π(0,50 Hz - 0.25 m-1 x) ]
Il primo quesito contiene un refuso: non è "tra una cresta a una valle" ma "tra una cresta e una valle".
105: il risultato viene fornito con un numero errato di c.s. Vista la precisione dei dati, il risultato dovrebbe avere 3 c.s.: 1,65 Hz e non 1,7 Hz (la differenza nella formula di Doppler è precisa alla quinta cifra decimale).
107: il risultato presuppone che l'intensità totale sia la somma delle intensità individuali. Questo sembra andare contro l'idea di interferenza (se così fosse non esisterebbe l'interferenza distruttiva). L'assunzione può essere giustificata osservando che l'interferenza distruttiva richiede una coerenza temporale tra le due onde che si sovrappongono. Poiché in questo problema una delle onde è frutto di riflessioni sui muri, è difficile che sia coerente con l'onda non riflessa. Può quindi essere ragionevole assumere che l'intensità totale sia la somma delle intensità individuali.
109: il dato sulla temperatura è del tutto inutile. Lo svolgimento si riferisce a un problema leggermente diverso, in cui non viene data la velocità del suono nella caverna, ma solo la T dell’aria. La velocità a 9°C deve poi essere calcolata da quella a 20°C, che viene data.
111: il problema è un po' strano. I due flauti suonano in aria a temperatura diversa, ma non è chiaro quale temperatura vada considerata per l'aria in cui viaggiano le onde sonore che interferiscono generando i battimenti. La soluzione si può ottenere utilizzando la formula per la frequenza dei battimenti.
Test
03: la risposta corretta è B, e non A come indicato negli svolgimenti [segnalazione di M. Baraghini, 4CSA 19/20].
04: la risposta corretta è A, e non B come indicato negli svolgimenti [segnalazione di M. Baraghini, 4CSA 19/20].
14: la risposta corretta è D, e non B come indicato negli svolgimenti [segnalazione di E. Pugliese].
24: la risposta corretta è D, e non B come indicato negli svolgimenti [segnalazione di A. Tamagnini].
25: la risposta corretta è C, e non D come indicato negli svolgimenti [segnalazione di A. Tamagnini].
26: la risposta corretta è B, e non D come indicato negli svolgimenti [segnalazione di E. Pugliese].
27: la risposta corretta è D, e non C come indicato negli svolgimenti [segnalazione di A. Tamagnini].
Verso l'esame
Problema pag 64. Il risultato del quesito B) non è 15 kg bensì 1,5 kg. Il risultato del punto C) contiene un errore di approssimazione: non è 87 m/s bensì 86 m/s. Segnalazioni di E. Pugliese.
Quesito 2 pag 65. I testo del problema è impreciso. Innanzitutto andrebbe subito specificato che l'esercizio va svolto nell'ipotesi che le onde non subiscano attenuazione dovuta alla distanza percorsa. Infatti la distanza percorsa dalle onde per arrivare nel punto B in cui interferiscono è diversa, e diversa sarà la loro ampiezza, se quando vengono emesse hanno la stessa intensità. Anche il quesito C potrebbe "spiazzare" un risolutore "non esperto". Di seguito vengono riportati alcuni "suggerimenti" su come affrontarlo. Innanzitutto, se si assume che in B l'interferenza sia totalmente distruttiva, la risposta al quesito C non richiede alcun calcolo (perché?). Tuttavia, questa assunzione è solo un'approssimazione anche nell'ipotesi che le onde abbiano la stessa ampiezza in B. Un calcolo abbastanza semplice mostra infatti che la precisa condizione sulla differenza dei cammini che risulta in un'interferenza totalmente distruttiva non è soddisfatta esattamente nel punto B. L'ampiezza dell'onda risultante può però essere calcolata utilizzando le formule di prostaferesi in modo analogo a quanto fatto con i battimenti. Dal calcolo risulta che l'ampiezza dell'onda risultante dall'interferenza è pari a circa il 4% di quella di un'onda singola, e quindi è circa il 2% rispetto al caso completamente costruttivo (ampiezza 2A). Non è una cancellazione esatta, ma ci va molto vicino!.