"segno" della velocità angolare: nel discutere la figura 4 a pag 198 il libro è un po' vago e impreciso, essenzialmente perchè tratta concetti relativi (orario e antiorario) come se fossero assoluti. L'idea è questa: la velocità angolare è un vettore che ha la stessa direzione dell'asse di rotazione di un oggetto. Se si introduce un asse orientato di riferimento parallelo a tale asse, è possibile descrivere il verso della velocità angolare con un segno. Questo segno è determinato con la seconda regola della mano destra. I termini "orario" e "antiorario" che il libro utilizza si riferiscono al punto di vista in cui il verso dell'asse orientato di riferimento "esce dal disegno".
Baricentro: a pag 206 il libro parla di baricentro. Stando all'indice analitico questo è l'unico punto in cui questo concetto è menzionato. Sarebbe meglio parlare di centro di massa, concetto introdotto nel par 6 del cap 2. Sono concetti in realtà differenti, ma nei casi esaminati sono sempre coincidenti. In alternativa bisognerebbe definire il centro di gravità ed evidenziare le differenze rispetto al c.m.
Momenti di inerzia e teorema di Steiner: il momento di inerzia viene introdotto nel paragrafo 5. Sembra più naturale includere la tabella per i vari momenti di inerzia e il teorema di Steiner nello stesso paragrafo, anziché in quello successivo sull'energia cinetica rotazionale.
Relazione tra momenti angolari rispetto ad assi diversi: il libro discute il teorema di Steiner, che mette in relazione il momento di inerzia di un corpo rispetto ad un asse passante per il c.m. e rispetto ad un asse ad esso parallelo. Esiste un risultato simile per il momento angolare di un oggetto che ruota attorno al proprio centro di massa e trasla, come per esempio una palla che rotola su una superficie. Il risultato però non è limitato al caso del "rotolamento". Vale anche se la palla sta slittando sul piano. La relazione lega il momento angolare dell'oggetto attorno ad un asse passante per il proprio centro di massa (Lcm), la quantità di moto (qcm) dell'oggetto considerato come un punto materiale concentrato nel suo centro di massa e il momento angolare rispetto ad un asse parallelo al precedente (LO) è
In questa formula le quantità in grassetto sono vettori. In particolare Rcm è il vettore che va dal centro della rotazione O alla posizione dell'oggetto.
Momento torcente e momento angolare. A pag 215 il libro riporta la formula generale che lega la variazione di momento angolare di un corpo con la risultante dei momenti torcenti agenti su di esso. Andrebbe osservato che questa forma generalizzata della seconda legge della dinamica rotazionale è valida anche per corpi non rigidi. Esempi tipici sono la ballerina o il tuffatore, che sfruttano la conservazione del momento angolare per variare la propria velocità angolare variando il proprio momento di inerzia.
07: il problema pone tre quesiti ma risponde solo ad uno di essi. La direzione dell'accelerazione angolare è perpendicolare al piano individuato dalla ruota. Il verso dell'accelerazione angolare è entrante nel disegno. Segnalazione di A. Tamagnini.
08: il quesito dovrebbe riguardare il modulo della velocità angolare. Non ci sono abbastanza informazioni per descrivere il vettore velocità angolare.
09: il problema pone due quesiti (in maniera imprecisa) ma risponde solo a uno di essi. Il vettore velocità angolare finale ha la stessa direzione della velocità angolare iniziale e dell'accelerazione angolare, e verso concorde con quest'ultima.
16: il risultato dovrebbe essere fornito con 3 c.s. e non 2. Segnalazione di M. Molineris, 3CSA 19/20;
21: il risultato fornito dal libro non risponde al questito posto (segnalazione di S. Lemma, 3DSA 21/22). Il quesito va precisato come segue "stabilisci il modulo della velocità con cui gli pneumatici stanno slittando rispetto al terreno" (più precisamente si tratta del modulo della differenza tra la velocità tangenziale di un punto sul bordo dello pneumatico e la velocità di traslazione della ruota. La risposta al questito posto dal libro è "gli pneumatici stanno slittando perché la velocità di traslazione della ruota è diversa dalla velocità tangenziale di un punto sul suo bordo".
24: questo problema è identico al 20, non aggiunge niente di nuovo. Sembra un banale "riempitivo". Segnalazione di A. Tamagnini.
28: il primo risultato va dato con 3 c.s.: 466 m/s. Segnalazione di I. Paglia;
29: il problema si risolve facilmente osservando che durante il moto di caduta la velocità angolare della palla non varia. Questo perché il momento torcente totale agente sulla palla è nullo. Tuttavia la teoria discussa fino al paragrafo 2 non fornisce strumenti per trarre questa conclusione. Sarebbe opportuno precisare che la velocità angolare non varia durante la caduta, o ancor meglio spostare il problema più avanti, per esempio tra i problemi finali. Segnalazione di A. Tamagnini. Il quesito è formulato male, perché sembra suggerire che "spostamento angolare" o "numero di giri" siano quantità intercambiabili. In realtà non sono uguali ma solo proporzionali: la seconda quantità è ottenuta dividendo la prima per 2 π. Inoltre, siccome tutti i dati hanno 3 c.s., il risultato dovrebbe essere dato con 3 c.s.: 11,8 rad. Segnalazione di I. Paglia.
31: siccome tutti i dati hanno 3 c.s., anche il risultato dovrebbe essere dato con 3 c.s.: 1,70·103 Nm. Segnalazione di I. Paglia.
34: sarebbe opportuno specificare che il righello in questione è lungo 100 cm. La misura non è chiara dal disegno, e comunque non è consigliabile che sia ricavata in quel modo. Segnalazione di A. Tamagnini e I. Paglia (lo stesso identico problema è presente nel volume del biennio).
40: manca la soluzione al secondo quesito. Il verso del momento torcente è perpendicolare al piano del disegno ed uscente da esso. Segnalazione di A. Tamagnini.
41: l'angolo tra la canna e la lenza sembra acuto, o tutt'al più retto, eppure la misura data è 98°.
47: il problema può essere risolto più facilmente introducendo un sistema di riferimento in cui un asse è parallelo all'asta e l'altro alla fune. In questo modo si hanno direttamente le componenti responsabili dei momenti torcenti, ovvero quelle perpendicolari all'asta.
54: il disegno che correda l'esercizio è in contraddizione con il testo per quanto riguarda il peso della cassa. Nel testo questo vale 1966 N, mentre nel disegno la stessa grandezza viene indicata come 1960 N. Il risultato è ottenuto con il valore nel testo. Segnalazione di I. Merja (3DSA 21/22).
56: siccome tutti i dati hanno 3 c.s., anche il risultato dovrebbe essere dato con 3 c.s.: 1,25 kg m2. Segnalazione di I. Paglia.
58: spesso mancano le unità di misura nello svolgimento. Inoltre il solutore non tiene conto delle cifre significative. Per via della scarsa precisione dei dati il risultato dovrebbe essere dato con una sola c.s.: 0,7 N. Segnalazione di I. Paglia.
69: la tensione sulla massa di 7 kg (31,2 N) è errata. Il valore corretto è circa 44 N. Segnalazione di A. Tamagnini. Tenendo conto delle cifre significative dei dati, praticamente tutti i risultati dovrebbero essere forniti con 1 c.s.
72, 73, 75: questi problemi non coinvolgono l'energia cinetica rotazionale. Come tipologia dovrebbero rientrare nel gruppo precedente (par. 5);
76: il testo del problema non è chiarissimo. La sbarra in questione è orizzontale, e rimane orizzontale anche durante la rotazione. In altre parole la sbarra ruota attorno ad un asse verticale, un po' come una porta. La velocità fornita (in cm/s) è quella di un punto sull'estremo dell'asta più lontano dall'asse.
79: il problema potrebbe essere catalogato come "un dato in più", perché il raggio della carrucola non è necessario per ricavare la soluzione. Segnalazione di A. Tamagnini.
83: il dato da stimare è il raggio della pallina. Il problema non è pensato molto bene, perché il raggio è necessario solo per rispondere al secondo quesito. È più interessante il fatto che il primo quesito non richieda di conoscere il raggio (cosa che si può mostrare con pochi passaggi simbolici).
89: questo esercizio non ha a che fare con l'argomento della sezione, visto che il momento angolare degli oggetti non è conservato. Dovrebbe far parte della sezione precedente (energia cinetica rotazionale).
92: alcune edizioni riportano 1,7 N m come soluzione del secondo quesito. Questa soluzione è errata, la soluzione corretta è 0,17 N m. Gli svolgimenti per insegnanti riportano il procedimento e la soluzione corretta. Segnalazione di F. Ferradino, 3E 19/20.
94: l'esercizio non ha a che fare con il momento angolare o la sua conservazione, e quindi non dovrebbe far parte di questo paragrafo, ma del paragrafo 5 che contiene problemi sul momento di inerzia.
96: occorre fare attenzione al momento di inerzia da utilizzare per il tubo. In questo esercizio il tubo può essere considerato come un'asta che ruota attorno ad un asse perpendicolare passante per il centro di massa.
Si può osservare che in questo esercizio il sistema formato da tubo e blocco è isolato. Inoltre, poiché tutti gli attriti sono trascurabili e non ci sono motori, le forze (interne) che agiscono sul tubo o sul blocchetto sono conservative. Questo implica che l'energia totale del sistema (in questo caso puramente cinetica) sia conservata.
Va tenuto presente che l'energia non è di natura puramente rotazionale. Infatti il blocchetto oltre a girare trasla lungo il tubo. Quindi la sua energia cinetica ha una componente rotazionale e una traslazionale. La conservazione dell'energia può essere utilizzata per calcolare la velocità con cui il blocchetto esce dal tubo.
101: il testo va letto con attenzione: la palla da biliardo inizialmente striscia su un piano senza attrito, e quindi incontra un piano con attrito e (dopo un po') "finisce col ruotare senza strisciare", ovvero rotola senza slittare. Tra l'istante in cui non slitta e quello in cui inizia a rotolare senza slittare, la palla avrà percorso un certo tratto slittando sul piano. In questo tratto la forza di attrito dinamico tra palla e piano compie un certo lavoro, che dissipa una parte dell'energia cinetica della palla. La palla rallenta quindi il suo moto di traslazione passando dalla velocità v0 a v1 < v0 . Inoltre la velocità angolare passa da ω0 = 0 rad/s a ω1 = v1/r. Quando la palla inizia a rotolare senza slittare il punto di contatto col piano è istantaneamente fermo rispetto al terreno. Pur essendoci una forza di attrito statico, questa non compie lavoro perché lo spostamento è nullo.
Un modo rapido per risolvere l'esercizio consiste nel tracciare il diagramma delle forze della palla in un istante del suo moto. Si può allora osservare facilmente che, rispetto ad un qualunque asse di rotazione O che giace sul piano orizzontale perpendicolarmente alla velocità della palla, il momento torcente della risultante delle forze è nullo. Questo significa che il momento angolare rispetto a O è conservato (non varia). La velocità finale si può allora ricavare ricordando la formula per il momento angolare di un corpo che ruota e trasla, rispetto ad un asse parallelo all'asse di rotazione (vedi TEORIA qui sopra)
Gli svolgimenti per gli insegnanti utilizzano questo metodo, che tuttavia non è spiegato da nessuna parte nel libro di testo.
L'alternativa è utilizzare il 2° principio della dinamica per la palla, sia per quanto riguarda la sua traslazione che per quanto riguarda la rotazione. In entrambi i casi, come detto, l'accelerazione può essere ricondotta all'attrito dinamico tra il piano e la palla. Si può poi osservare che, in questo caso, 𝛼 r ≠ a appunto perché la palla slitta. Tuttavia è facile mostrare che 𝛼 e a sono proporzionali. Poiché queste due accelerazioni sono costanti, è possibile utilizzare la legge velocità tempo sia per la rotazione che per la traslazione. Mettendo a sistema queste due leggi, si ottiene la velocità finale. Nel momento "finale", in cui ω=ω1 = v1/r e v = v1, il punto di contatto con il terreno è istantaneamente fermo e la palla non slitta più. L'attrito dinamico non ha più effetto, e l'attrito statico non compie lavoro. Da questo punto in poi la palla rotola senza slittare a velocità v1.
102: c'è un refuso nell'unità di misura della velocità dell'uomo, che è chiaramente m/s e non m. Segnalazione di A Tamagnini.
Il testo dovrebbe chiarire esplicitamente che quando l'uomo inizia a camminare la piattaforma è ferma. Inoltre bisognerebbe chiarire nella soluzione la velocità angolare della piattaforma è opposta a quella dell'uomo.
Il problema è un po' infido, perché la velocità fornita non permette di ottenere la soluzione direttamente. Quando l'uomo cammina e la piattaforma ruota, una grandezza fisica rilevante per le rotazioni (quale?) mantiene lo stesso valore che aveva quando l'uomo e la piattaforma erano fermi (questo è il motivo per cui le velocità angolari hanno segno opposto). La domanda chiave è: in quale sistema di riferimento? Per quale osservatore? Il problema si risolve facilmente ricordando che le velocità angolari attorno ad uno stesso centro obbediscono alla stessa legge di composizione studiata nel cap 1 per le velocità di traslazione.
104: il risultato fornito dal libro (0,500 rad/s) è errato. Il risultato corretto è 5,00·10-2 rad/s. Per ottenere il risultato fornito dal libro la massa del disco deve essere di 100 kg. Segnalazione di A. Tamagnini. Già segnalato da M. Zicche (3ASP 17/18) per un'edizione precedente del libro. L'errore nasce negli svolgimenti per insegnanti, in cui il procedimento è corretto ma viene usata una massa m = 100 kg anziché 1000 kg come stabilito nel testo.
106: il testo dell'esercizio non è chiarissimo. Le prime due frasi sembrano suggerire che il blocco venga posto sulla piattaforma mentre questa sta ruotando. Non è chiaro quale velocità abbia il blocco in questa fase. Inoltre non è affatto chiaro come un blocco possa muoversi spontaneamente verso il centro della piattaforma. Sarà piuttosto spinto verso l'esterno dalla forza centrifuga.
Il testo può essere riformulato in questo modo: "Una piattaforma orizzontale con momento di inerzia trascurabile può ruotare attorno ad un asse verticale. Un insetto si trova a 0,30 m dall'asse di rotazione di una piattaforma e inizialmente ruota con essa con velocità angolare 2,2 rad/s. Il coefficiente di attrito statico tra le zampe dell'insetto e la piattaforma è 0,75. L'insetto si muove verso l'asse di rotazione. Qual è la distanza minima a cui può arrivare senza iniziare a slittare sulla piattaforma?"
119: l'esercizio appare banale. Sull'asta non agiscono forze che possano modificarne l'energia, la quantità di moto o il momento angolare. Ne deriverà dunque che, una volta che l'asta si sarà staccata dal perno, E=K, q, e L si conserveranno. La soluzione del libro appare quindi errata. Segnalazione di A. Tamagnini. Questo può essere verificato esplicitamente. Basta fare attenzione alla velocità di traslazione con cui il c.m. dell'asta parte per la tangente. Per risolvere l'esercizio è ancora una volta necessaria la formula utilizzata nel problema 101, che non viene spiegata in alcun punto del testo. Come centro di rotazione per applicare la formula conviene utilizzare la posizione del perno attorno a cui l'asta gira inizialmente. Gli svolgimenti del libro sono corretti sostanzialmente corretti fino all'ultimo passaggio, anche se contengono calcoli numerici del tutto superflui. Nell'ultima riga c'è un errore, in quanto (come anche discusso nello svolgimento) v₁ = ω₀ l/2 ≠ ω₀ l. Il coefficiente 13/24 nell'ultimo passaggio dello svolgimento va corretto in 1/6.
120: questo esercizio è sostanzialmente identico all'esercizio 101.
121: questo esercizio può essere risolto osservando che all'impulso J=Δq corrisponde un "impulso angolare" J h = M Δt = ΔL, dove il centro di rotazione è scelto sul piano per eliminare il contributo dell'attrito al momento torcente. La soluzione si ottiene ancora una volta utilizzando la formula utilizzata negli esercizi 101 e 120. Sarebbe opportuno specificare che l'attrito tra il tavolo e la palla va ignorato. Si noti infatti che l'attrito non genererebbe un impulso rotazionale, ma genererebbe un impulso traslazionale. In altre parole la quantità di moto finale della palla non sarebbe data semplicemente dall'impulso diviso per la massa. Si potrebbe obiettare che la forza esercitata dalla stecca è impulsiva, e pertanto molto maggiore dell'attrito generato dal peso della palla. Da un altro punto di vista, l'impulso dell'attrito sarebbe piccolissimo per via del tempo di contatto brevissimo. Questo non è vero per la forza impulsiva, che dura per un tempo molto breve ma è anche molto intensa. Rimane comunque un problema: per il terzo principio la palla risponde alla forza impulsiva della stecca con una forza normale alla superficie della sfera. Sempre per il terzo principio, parte di questa forza si scarica sul tavolo, che risponde con una forza di reazione impulsiva, che genera una forza di attrito impulsiva. Questa forza di attrito impulsiva potrebbe non essere trascurabile rispetto all'impulso della stecca.
122: la strategia è una combinazione di quelle utilizzate negli esercizi 121 e 101. In questo caso la palla slitta appena dopo l'urto con la stecca, e rotola senza strisciare dopo un po' di tempo (come in 101). La soluzione a questo problema sembra essere incoerente, perché l'attrito è appunto essenziale per fare sì che la palla finisca col rotolare senza strisciare. D'altra parte, nel momento in cui la stecca colpisce la palla, l'attrito viene ignorato. Rigorosamente la soluzione ha senso nel caso di attrito molto piccolo (l'impulso dell'attrito dovuto alla reazione impulsiva è comunque piccolo) e un tavolo molto lungo (l'attrito ha il tempo di agire e "costringere" la palla a rotolare senza strisciare).
123: in alcune edizioni i risultati sono errati. I risultati corretti sono: a) 0,63 kg · m²; b) 23 N; 2,3 m/s²; 9,1 rad/s²; c) 18 giri; 28 m; d) 11 rad/s. Segnalazione di A. Tamagnini;
124: la prima parte del problema è relativamente facile. L'unica "difficoltà" consiste nel fatto che il problema richiede una soluzione simbolica anziché numerica. La seconda parte del problema è estremamente difficile, e la soluzione proposta dal libro è chiaramente errata. La biglia non può tornare all'altezza di partenza sulla rampa rossa. A causa dell'assenza di attrito, mentre si trova sulla rampa azzurra essa continua a ruotare attorno al proprio asse con la stessa velocità che ha accumulato rotolando lungo la rampa rossa. Visto che la rotazione è oraria, quando torna verso la rampa rossa la sua energia cinetica rotazionale tende a frenarla, e non ad accelerarla. Almeno inizialmente, essa non potrà risalire la rampa rossa rotolando senza strisciare in senso antiorario. Per poter acquistare una velocità angolare in senso antiorario dovrà necessariamente slittare sulla superficie rossa, e così facendo dissiperà energia meccanica. Per questo non potrà risalire all'altezza di partenza. Calcolare l'altezza a cui la biglia arriva sulla rampa rossa è un problema piuttosto difficile, sicuramente non affrontabile da uno studente di terza superiore. Tale altezza verosimilmente dipende dal coefficiente di attrito tra biglia e rampa.
07: rispondere al quesito è impossibile, perché mancano i dati. Segnalazione di A. Tamagnini.
08: la risposta proposta dal libro, C, è errata perché, come si evince dal disegno, il braccio del peso della sfera piccola non è b, ma b-1. La risposta corretta è D. Segnalazione di D. Benzoni (3CSA 20/21) e M. Todeschi (3DSA 20/21).
15: d/(d+R)
17: la risposta corretta è la E, e non la A come riportato negli svolgimenti per insegnanti. Il risultato corretto si ottiene ricordando che L è conservato, e la formula in fondo a pag. 215. Segnalazione di A. Tamagnini.