Cap 17 - La fisica di Cutnell e Johnson (triennio)

Teoria

• • due cariche in viaggio, fig. 2 pag 150. Il campo magnetico in prossimità del "protone A" nel disegno a sinistra non è generato da A stesso, ma da B. Quindi bisogna correggere BA con BB.

  • relatività della simultaneità, fig. 6 pag 154. La figura B è fuorviante, perché la "barra di misura" al di sotto del disegno induce a concludere che tR = tV. Infatti solo in questo caso (L2 + v tR )+ (L2 – v tV )= 2 L2 + v (tR – tV) = 2 L2, che è la distanza tra le due lampade nel sistema di riferimento dell'osservatore fermo. Questo è chiaramente contraddittorio, visto che l'osservatore conclude correttamente che, nel suo SdR, tR ≠ tV. Il problema deriva dal fatto che gli autori hanno voluto rappresentare due istanti diversi nella stessa figura. Sarebbe stato meglio dedicare una singola figura a ciascuno dei due istanti distinti tR e tV. Tra l'altro questa figura e la conseguente discussione sembrano un'aggiunta presente solo nella versione italiana del testo, visto che nella versione americana originale non sono presenti. Per comprendere meglio il ragionamento conviene riferirsi a questa costruzione dinamica. Il succo della discussione è proprio che tR ≠ tV perché i due raggi luminosi percorrono distanze differenti alla stessa velocità. Poi i valori di tR e tV possono essere facilmente calcolati, ma non danno particolari informazioni supplementari.

  • composizione relativistica delle velocità, pag 162. Nella parte di teoria non viene data una dimostrazione della formula, che invece sarebbe interessante e utile per risolvere diversi esercizi. La procedura per dimostrare simbolicamente questa formula è la stessa che viene adottata nel problema 44. Inoltre la formula [3] a pag 162 è un po' oscura. Molto più chiara è la notazione con i pedici del problema svolto 48.

  • effetto Doppler, pag 164. La formula per la frequenza ricevuta, presente anche nel formulario, è stata ricavata nel caso in cui la sorgente si avvicina all'osservatore, considerando il modulo della velocità relativa. La stessa derivazione nel caso in cui la sorgente si allontana dall'osservatore porterebbe ad una formula in cui i segni davanti al (modulo) della velocità sono invertiti. In sintesi, se si utilizza la formula sul libro (+ a numeratore, - a denominatore), è necessario calcolare il modulo della velocità relativa e usare quello il caso di avvicinamento (fr>fe), e il suo opposto in caso di allontanamento (fr<fe). Se le velocità ve e vr sono date in un SdR in cui sono entrambe non nulle,  il modulo della velocità relativa è v=|vr-ve|, dove le due velocità devono essere considerate col segno corretto (stesso segno se concordi, segno opposto se discordi).

  • diagrammi spazio tempo: forse per avere continuità con i diagrammi spazio tempo della cinematica, il libro riporta il tempo sull'asse delle ordinate e lo spazio sull'asse delle ascisse. Questo però è in contrasto con la scelta più comune, in cui il tempo è sull'asse delle ordinate e lo spazio sull'asse delle ascisse. Si noti però che in tutti gli esercizi del paragrafo 8 la notazione è quella "comune", opposta a quella adottata dal libro.

  •  ortogonalità degli assi nei diagrammi spazio tempo: va chiarita l'affermazione "Per semplicità utilizzeremo sempre diagrammi spazio-tempo con due assi ortogonali; questo significa che prenderemo in considerazione solo moti che avvengono in una dimensione". L'aggettivo "ortogonale" qui è un po' fuorviante. Il libro sta semplicemente dicendo che per semplicità si prenderà in considerazione un solo asse spaziale (quello nella direzione del moto relativo, x) anziché tutti e tre (x, y, z). Dire che l'asse spaziale x di un sistema di riferimento è ortogonale al corrispondente asse temporale non è del tutto esatto. Questo infatti è vero  per assi rappresentati in sistemi di riferimento solidali con gli assi stessi. Tuttavia, nel sistema di riferimento S, è possibile rappresentare gli assi di un sistema S' in moto con velocità v rispetto ad S. Questi ultimi non sono ortogonali: le loro equazioni sono infatti x' = 0 (per t') e t'=0 (per x'). In S equazioni corrispondono a due rette con pendenza v e 1/v, che e quindi non sono ortogonali.

  • contatto causale, simultaneità: il libro di testo non spiega perché se due eventi non sono in contatto causale essi possono essere simultanei. Basterebbe utilizzare le unità geometrizzate, in cui il tempo è x0 = ct. In questo modo sia lo spazio che il tempo vengono misurati come "spostamenti" (in metri, anni luce, o secondi luce) e c = 1. Sarebbe quindi facile mostrare che l'asse x' (ovvero il luogo per cui x0'=0) ha equazione x = β-1 x0 e l'asse x0' (ovvero il luogo per cui x0=0) ha equazione x = β x0. Esplorando le possibili "posizioni" degli assi al variare di β si riesce a capire facilmente che 

    • intervalli di tipo tempo possono essere disposti parallelamente all'asse x0' (e quindi i relativi eventi avvengono nello stesso punto in S') 

    • intervalli di tipo spazio possono essere disposti parallelamente all'asse x0 (e quindi i relativi eventi avvengono nello stesso istante in S')  

  • velocità rispetto alla Terra: nella sezione sull'esperimento di Hafele e Keating c'è un refuso. Nella penultima riga di pag 168 "aggiuntiva di dovuta" dovrebbe essere "aggiuntiva di 465 m/s dovuta".

  • velocità muoni cosmici: l'esempio fornito dal libro contiene degli errori. La velocità da utilizzare non è 0,988 c, come scritto a pag 169, ma 0,998 c. In effetti a pag 170 viene usato il secondo valore.

  • legge del decadimento: le unità di misura nel discorso a pag 170 sono trattate in maniera imprecisa. Nel discorso introduttivo N e N0 sono dichiarati come  numeri puri (come avviene anche nella formula [5] a pag 317). Nelle formule successive si parla invece di numero di particelle per ora. Il punto è questo: la formula può essere usata sia per il "numero puro di particelle" che per il numero di particelle rivelate in un intervallo di tempo. Sarebbe opportuno utilizzare due simboli diversi per queste due quantità: N e n. In altre parole, lo stesso tipo di legge può essere utilizzato per il numero di particelle rivelate, N(t) = N0 e–t/𝞃 e per il numero n di particelle rivelato per ora: n(t) = n0 e–t/𝞃 . Per dimostrare questo basterebbe un semplice integrale: il numero di particelle misurate in un certo intervallo di tempo Δt a partire dall'istante t è:

dove n0 indica la costante moltiplicativa nella penultima espressione, che non è altro che n(0).

• urti relativistici: a pag 178 il testo definisce urto anelastico come un urto in cui gli oggetti si legano dopo l'urto. Questo non è coerente con la definizione data nel capitolo 2, dove un urto di questo tipo è detto urto totalmente anelastico.  In un urto semplicemente anelastico gli oggetti possono anche non rimanere uniti, ma l'energia cinetica non si conserva.

Problemi

• 02: il problema non è formulato benissimo, ma ovviamente, visto che Δt > Δt0, non ha senso interpretare l'enunciato "una dilatazione temporale pari al 10% del tempo proprio" assumendo che significhi Δt = 0,10 Δt0 < Δt0. Ciò che il testo intende è che l'intervallo di tempo dilatato supera l'intervallo di tempo proprio di una quantità pari al 10% di quest'ultimo. In altre parole qui per "dilatazione temporale" si intende la differenza tra tempo dilatato e tempo proprio, ovvero Δt – Δt0.

• 04: il calcolo coinvolto nella soluzione di questo esercizio potrebbe essere al di là delle capacità di una comune calcolatrice scientifica tascabile. Questo perché nel calcolo compare un termine del tipo 1-(1-x)a, con x molto piccolo e a  = 1/2. Siccome x è molto piccolo la calcolatrice dà come risultato 0. Si può ottenere una buona stima di questa quantità utilizzando un limite notevole simile a quello menzionato nell'angolo matematico di pag 164. Questo dà  1-(1-x)a ≈ ax, quando x tende a 0, come in questo caso.

• 07: occorre fare attenzione, perché 6 mesi è la durata della sola andata. 

• 17: occorre fare attenzione al fatto che il pedice "0" è utilizzato dal libro per indicare una misura "propria". Quindi Δt0 è l'intervallo di tempo proprio per attraversare l'orbita della Terra, mentre L0 è la lunghezza propria del diametro dell'orbita terrestre. Per risolvere correttamente l'esercizio occorre tenere conto del fatto che queste due misure non si riferiscono necessariamente allo stesso SdR, contrariamente a quanto il pedice comune "0" potrebbe portare a pensare.

• 22: in alcune edizioni del libro gli ultimi due risultati sono errati. Il secondo risultato non è (12 s; -30 m) ma (12 s; -42 m). Il terzo risultato non è (-43 s; 126 m) ma (-40 s; 126 m). Segnalazione di N. Dirani, 5ASP 19/20. Gli svolgimenti per insegnanti riportano solo la soluzione (corretta) ma non il procedimento. 

• 24: questo esercizio è risolto nel "problem solving" 41;

• 31: è importante sottolineare che i due eventi di cui parla l'esercizio non sono simultanei. Il secondo risultato è errato, in quanto frutto di un'approssimazione eccessiva. Lavorando simbolicamente il risultato corretto non è -16,8 m ma -16,36 m che, dovendo essere approssimato a 2 c.s., diventa -16 m.

• 32: il risultato fornito è errato, oppure la domanda è errata. La risposta corretta rispetto alla domanda posta è circa 67° o, utilizzando angoli standard e assumendo che S' vada nel verso positivo dell'asse x, 113°. La risposta data, 23° corrisponde  (in valore assoluto) all'angolo formato dalla velocità con l'asse z.  Il problema dovrebbe fare parte della sezione 6 "Composizione relativistica delle velocità". Così com'è, tuttavia, è un problema di relatività galileiana,  viste le velocità tutt'altro che relativistiche in gioco. In questo senso è fuorviante, perché manca un confronto con un caso pienamente relativistico. È utile un confronto con l'es 123.

• 33: questo problema dovrebbe fare parte della sezione 6 "Composizione relativistica delle velocità". Non si capisce quale sia lo scopo dell'esercizio. Viste le velocità estremamente basse in gioco, lo studente ottiene esattamente lo stesso risultato utilizzando le leggi di composizione galileiana. Questo potrebbe andare bene se ci fosse poi un confronto con ciò che succede a velocità relativistiche. Un esercizio relativistico analogo a questo è il 123. 

• 34: il risultato fornito per l'accelerazione (5,0 m/s²) è chiaramente errato. Il risultato corretto è 0,50 m/s² . Gli svolgimenti per insegnanti riportano il risultato corretto.

• 35: il secondo quesito è ambiguo, in quanto esso chiede l'intervallo invariante tra l'evento di emissione e l'evento di ricezione. Tale intervallo non è nullo, perché Δt ≠ 0, ma Δx = 0 nel primo sistema di riferimento. Ciò a cui il libro si riferisce sono gli intervalli invarianti tra emissione–riflessione e riflessione–ricezione. Questi due intervalli sono singolarmente nulli, perché si riferiscono al moto rettilineo uniforme di un impulso luminoso. L'intervallo complessivo non lo è semplicemente perché Δx2  = (Δx1 + Δx2)2 ≠ Δx12 + Δx22 (poiché c'è di mezzo una riflessione, il raggio torna all'origine e lo spostamento è nullo).

• 37: il testo contiene un errore tipografico. La distanza temporale non è Δt = 75 nm ma Δt = 75 ns. In questo contesto un errore del genere risulta particolarmente fuorviante, perché in relatività speciale gli intervalli temporali sono spesso espressi come lunghezze, utilizzando le cosiddette unità naturali. Con questa convenzione un intervallo temporale di 75 nm corrisponderebbe al tempo impiegato dalla luce a percorrere tale distanza, ossia circa 2,5·10-16 s. Generalmente però, quando si usano unità naturali, gli intervalli temporali vengono indicati con un simbolo diverso da t (p.es, x0),  

• 43: questo problema dovrebbe fare parte della sezione 6 "Composizione relativistica delle velocità"; inoltre è assegnato prima dell'esercizio svolto 44, che risolve un problema analogo.

• 51: il problema non è formulato in maniera rigorosa, ed il risultato è errato. Innanzitutto, per poter effettuare un calcolo preciso, le velocità dei protoni devono essere date almeno con lo stesso numero di c.s. della velocità della luce. Quindi c = 2,9979·105 km/s e v = 2,9000·105 km/s. Utilizzando questi valori, il risultato è –2,9962 · 105 km/s e non –2,94915·105 km/s. L'origine di questo risultato non è chiara, perché negli svolgimenti per insegnanti si utilizza c = 3,0000·105 km/s, che produce –2,9983·105 km/s. 

• 57: questo problema fa riferimento alla quantità di moto delle particelle, quindi dovrebbe far parte degli esercizi del paragrafo 8.

• 60: la lunghezza d'onda viene data in mm, ma c'è chiaramente un refuso, si tratta di nm. Segnalazione di L. Casadei (5CSA 24/25);

• 61:  La stima del libro  (3,1 ± 0,9) · 10-7 m/s è ottenuta assumendo che il colore blu abbia frequenze tra 630 THz e 670 THz. Utilizzando altri dati si ottengono risultati lievemente diversi. Trattandosi di una stima, la differenza non deve stupire.  Alcune edizioni del libro riportano un risultato diverso da questo, errato (segnalazione di A. Ulivini, 5DSA 23/24).

• 76: il risultato fornito dal libro, 2,1·10-17 s, è errato. Il risultato corretto è 1,6·10-8 s. Segnalazione di M. Zicche, 5ASP 19/20. Gli svolgimenti per insegnanti riportano il risultato corretto.

• 77: questo esercizio è riferito al paragrafo 7, ma per risolverlo occorre utilizzare la "legge del decadimento" menzionata nel paragrafo 8, N(t) = N0 e–t/𝞃 dove N è il numero di particelle che al tempo t non sono ancora decadute, e 𝞃 è la vita media delle particelle. 

• 86: lo svolgimento contiene alcuni errori di battitura: la terzultima formula a pag 196 è costituita da due equazioni che dovrebbero essere equivalenti. La prima contiene in realtà due eguaglianze, ma prima della frazione manca il simbolo "=", Nella seconda equazione la massa dell'elettrone compare due volte, mentre dovrebbe comparire una volta sola. Segnalazione di E. Zauli, 5CSA 23/24. 

• 89: la particella in questione può essere identificata in base alla sua massa. Nel retro di copertina del libro si può trovare una tabella con le masse delle particelle elementari. In realtà esistono due possibili risposte, perché la particella elencata nella tabella sul libro ha un'antiparticella con uguale massa e carica opposta. 

• 95: il risultato fornito dal libro, 8,6·109 km, è errato. Il risultato corretto è 8,6·106 km. Lo svolgimento del libro contiene un grossolano errore nelle equivalenze: 325 mg vengono convertiti in 325 g. Segnalazione di L. Bittasi, 5DSA 19/20.

• 103: in alcune edizioni del libro viene riportata la soluzione 5,0·10-13 J , che è errata. La soluzione corretta è 5,8·10-13 J. Negli svolgimenti per insegnanti la formula è corretta, ma il risultato del calcolo è errato.

• 107: l'ordine di grandezza del risultato fornito dal libro è errato. Non è 3,8·10-14 J ma 3,8·10-12 J. Gli svolgimenti per insegnanti riportano il risultato corretto. Poiché non vengono date indicazioni sulla velocità delle particelle coinvolte bisogna supporre che queste siano tutte in quiete.

• 126: il risultato fornito dal libro 0,94 c, è errato. Il risultato corretto è 0,99 c. Segnalazione di G. Ceroni, 5DSA 19/20. Negli svolgimenti per insegnanti viene ottenuto il risultato corretto, ma con 3 c.s.: 0,994 c.

• 128: il risultato fornito dal libro per il secondo questito (1-3.8·10-14 J)c, è errato. Il risultato corretto è  (1-3.8·10-4 J)c = 0.9996 c. Il risultato viene dato nella prima forma perché, approssimata alla seconda cifra significativa, la seconda forma sarebbe 1,0 c.

• 131: il risultato fornito dal libro (1,5·107 m/s) è errato. Lo svolgimento per insegnanti riporta la formula corretta, ma quando va a sostituire i dati sbaglia (anche dimensionalmente). Il risultato corretto è 2,01·107 m/s. Segnalazione di G. Guidi (5CSA 21/22). Il libro non riporta la risposta al secondo quesito, che è negativa. La domanda è comunque poco chiara, perché non viene specificata la velocità del nucleo con cui il protone urta. Se tale velocità fosse sufficientemente alta, la risposta sarebbe positiva. Lo svolgimento per insegnanti è un po' impreciso, perché assume che la velocità dei prodotti di reazione sia nulla. Questo non è possibile, visto che la quantità di moto è conservata. In ogni caso il calcolo fatto fornisce un valore minimo per l'energia necessaria, che il protone non ha a disposizione.

• 143: il primo e il terzo quesito sono uguali.

Test

• 06: le soluzioni per insegnanti propongono la risposta C, che è chiaramente errata, perché non prevede contrazione. La risposta che più si avvicina a quella esatta è la B.