Noncommutative Rings and applications

2024 Seminars

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Date: November 12, 2024

Speaker: Thiago Augusto Silva Dourado (IME-USP)

Title:  Hipótese de Riemann sobre Corpos Finitos

Abstract: 

Nesta exposição apresentamos um panorama da hipótese de Riemann para corpos finitos, sua demonstração via corpos de funções e geometria algébrica fornecida por André Weil nos anos de 1940 e consequências ulteriores que levaram a teoremas sobre números de zeros de equações sobre corpos finitos, alguns ainda sem solução, e outros que renderam frutos extraordinários como a Medalha Fields a Pierre Deligne (1978) e entre outros. Tudo isso sem mencionar a polêmica histórica que envolve a prova desse teorema, a disputa que transcendeu qualquer cortesia entre Helmut Hasse e André Weil. 

Date: November 05, 2024

Speaker: Samir Assuena (Centro Universitário da FEI)

Title:  On *-clean twisted group rings II

Abstract: 

In this talk, we shall introduce some involutions on twisted group algebra $R^{\gamma}C_{n}$ of a cyclic group $C_{n}$ over commutative ring $R$ and determine when $R^{\gamma}C_{n}$ is a *-clean ring with respect to those involutions.

Date: October 29, 2024

Time: 15:00 (São Paulo Time: UCT-3) 

Location: IME, Room B142

Speaker: Samir Assuena (Centro Universitário da FEI)

Title:  On *-clean twisted group rings

Abstract: 

In this talk, we shall introduce some involutions on twisted group algebra $R^{\gamma}C_{n}$ of a cyclic group $C_{n}$ over commutative ring $R$ and determine when $R^{\gamma}C_{n}$ is a *-clean ring with respect to those involutions.

Date: October 22, 2024

Speaker: Javier Sánchez (IME - USP)

Title:  Condições de cadeia para certos anéis que não satisfazem condições de cadeia

Abstract: 

Seja G um grupoide com conjunto de objetos G_0. Seja R um anel G-graduado e munido de um bom conjunto de unidades locais não nulas (i.e.: R é object-unital). Quando este conjunto é infinito, R é uma soma direta infinita de ideais à direita (e à esquerda). Ainda assim, podemos definir certas condições de cadeia naturais. Neste trabalho fornecemos versões graduadas para estes anéis de alguns dos teoremas mais básicos em teoria de anéis.  

Este é um trabalho em andamento, conjunto com Zaqueu Cristiano e Wellington Marques de Souza, e apoiado pela FAPESP (Projeto Temático 2020/16594-0).

Date: October 08, 2024

Speaker: Lucas Seidy Ogawa (IME - USP)

Title:  Braid group actions on quantum invariants of free algebras II

Abstract: 

Given a module V over a Hopf algebra H, the tensor algebra T(V) becomes a module algebra with a linear action by H. It is known that the algebra of invariants T(V)^H of the action of H on T(V) is always free, but very rarely finitely generated, even when V is finite-dimensional. However, taking into account the action of the symmetric groups by place permutations on its homogeneous components, it can be finitely described, when H is cocommutative and semisimple, as show by Koryukin in 1995.

 In the present work, we present evidence to support that the same happens if H is taken to be quasi-triangular and the symmetric groups are replaced by the braid groups. This work is the result of a collaboration with Lucia Murakami and Vitor Ferreira and is partially funded by FAPESP (Projeto Tematico 2020/16594-0).

Date: October 01, 2024

Speaker: Vitor O. Ferreira (IME - USP)

Title:  Braid group actions on quantum invariants of free algebras

Abstract: 

Given a module V over a Hopf algebra H, the tensor algebra T(V) becomes a module algebra with a linear action by H. It is known that the algebra of invariants T(V)^H of the action of H on T(V) is always free, but very rarely finitely generated, even when V is finite-dimensional. However, taking into account the action of the symmetric groups by place permutations on its homogeneous components, it can be finitely described, when H is cocommutative and semisimple, as show by Koryukin in 1995.

 In the present work, we present evidence to support that the same happens if H is taken to be quasi-triangular and the symmetric groups are replaced by the braid groups. This work is the result of a collaboration with Lucia Murakami and Lucas Ogawa and is partially funded by FAPESP (Projeto Tematico 2020/16594-0).

Date: September 24, 2024

Speaker: Emmanuel Jerez Usuga (IME - USP)

Title:  Group cohomology and partial group cohomology

Abstract: 

Let K be a commutative unital ring, G a group and M a KG-module. Then, the group cohomology of G with coefficients in M corresponds to the derived functor of the functor of the space of invariants of representations of G. We can generalize this construction to consider partial representations of G. That is, given a partial representation of G on a K-module V, we can define the module of invariants and define the partial group cohomology based on the functor of the invariants space of partial representations. 

In this talk, we will compare the usual group cohomology and the partial group cohomology. We will construct a spectral sequence that allows us to compute the partial group cohomology using the usual group cohomology and exhibit some explicit cases when we obtain a natural isomorphism between both cohomology theories. This will allow us to answer some questions about the cohomological dimension and partial cohomological dimension of the group G.

Date: September 17, 2024

Speaker: Mykhailo Dokuchaev (IME - USP)

Title:  On properties of the group algebra as a module over the partial group algebra

Abstract: 

The group algebra KG of a group G over a field K can  be naturally seen as a module over the partial group algebra of G over K. We prove that it is projective if and only if G is finite. We also obtain a general result, a particular case of which says that KG is flat over the  partial group algebra of G. This fact is applied to show that the partial cohomological dimension of a group G is bounded below by the usual cohomological dimension of G. We conjecture that these two cohomological dimensions should be equal. This is part of a recently published  joint article with  Marcelo Muniz Alves (UFPR) and Dessislava Kochloukova (Unicamp).

Date: August 20, 2024

Speaker: Zaqueu Cristiano (IME - USP)

Title:  Anéis de quocientes graduados de anéis graduados por grupoide II

Abstract: 

O anel de quocientes maximal foi definido por Y. Utumi (1956) e existem teoremas que caracterizam os anéis cujo anel de quocientes maximal é regular von Neumann ou semissimples, devidos a R. E. Johnson e P. Gabriel, respectivamente. Os anéis de quocientes de Martindale foram introduzidos por W. S. Martindale (1969) e S. A. Amitsur (1972) e permitem o estudo do centroide estendido de um anel semiprimo, o qual tem aplicações no estudo de Identidades Polinomiais. Esses anéis de quocientes também foram profundamente estudados por G. D. Findlay, J. Lambek, D. S. Passman, entre outros. Tal teoria foi generalizada por E. Jespers e P. Wauters (1988) para o contexto graduado por grupo. Nosso objetivo é generalizá-la para a teoria de anéis graduados por grupoide. A exposição se dividirá em duas partes. No primeiro seminário veremos a construção e principais resultados sobre o anel de quocientes graduado maximal, com destaque para as versões graduadas dos teoremas de Johnson e Gabriel. Na segunda parte, trataremos dos anéis de quocientes graduados de Martindale e uma versão graduada do centroide estendido. Além disso, como a partir de uma categoria pré-aditiva pequena temos um importante exemplo de anel graduado por grupoide, veremos como podemos definir categorias de quocientes maximal e de Martindale de uma categoria pré-aditiva pequena.

Este trabalho é baseado na dissertação de mestrado do palestrante, que foi desenvolvida sob orientação do Prof. Javier Sánchez Serdà, defendida em fevereiro de 2024 no IME-USP e financiada através do processo nº 2021/14132-2, Fundação de Amparo à Pesquisa do Estado de São Paulo (FAPESP).

Date: August 13, 2024

Speaker: Zaqueu Cristiano (IME-USP)

Title:   Anéis de quocientes graduados de anéis graduados por grupoide

Abstract: 

O anel de quocientes maximal foi definido por Y. Utumi (1956) e existem teoremas que caracterizam os anéis cujo anel de quocientes maximal é regular von Neumann ou semissimples, devidos a R. E. Johnson e P. Gabriel, respectivamente. Os anéis de quocientes de Martindale foram introduzidos por W. S. Martindale (1969) e S. A. Amitsur (1972) e permitem o estudo do centroide estendido de um anel semiprimo, o qual tem aplicações no estudo de Identidades Polinomiais. Esses anéis de quocientes também foram profundamente estudados por G. D. Findlay, J. Lambek, D. S. Passman, entre outros. Tal teoria foi generalizada por E. Jespers e P. Wauters (1988) para o contexto graduado por grupo. Nosso objetivo é generalizá-la para a teoria de anéis graduados por grupoide. A exposição se dividirá em duas partes. No primeiro seminário veremos a construção e principais resultados sobre o anel de quocientes graduado maximal, com destaque para as versões graduadas dos teoremas de Johnson e Gabriel. Na segunda parte, trataremos dos anéis de quocientes graduados de Martindale e uma versão graduada do centroide estendido. Além disso, como a partir de uma categoria pré-aditiva pequena temos um importante exemplo de anel graduado por grupoide, veremos como podemos definir categorias de quocientes maximal e de Martindale de uma categoria pré-aditiva pequena.

Este trabalho é baseado na dissertação de mestrado do palestrante, que foi desenvolvida sob orientação do Prof. Javier Sánchez Serdà, defendida em fevereiro de 2024 no IME-USP e financiada através do processo nº 2021/14132-2, Fundação de Amparo à Pesquisa do Estado de São Paulo (FAPESP).

Joint seminar with the research group

Álgebras de Lie e de Jordan e suas Representações

Date: July 01, 2024

Speaker: Arturo Pianzola (University of Alberta, Canada)

Title:  Fiberwise criteria for forms of algebras

Abstract: 

Many interesting objects in infinite dimensional Lie theory become “geometric” when viewed as objects over suitable rings and not the base field. For example the derived algebra of an affine Kac-Moody Lie algebras, when we factored out the centre, is a Lie algebra over the ring of complex Laurent polynomials.  This allows us to look at the fibres of such geometric object with the hope of gaining information about our original algebraic object. We provide a fiberwise criterion that yields information, say about sheaves of OX-algebras for example, based on their behaviour at closed fibres. This criterion permits to answer a question about affine Kac-Moody Lie algebras that I. Burban had asked the authors. Joint work with P. Gille.

Date: May 14, 2024

Speaker: Victor Do Valle Pretti (IME - USP)

Title:  Álgebras comutativas suaves e a dimensão global relativa.

Abstract: 

A suavidade de um morfismo é um conceito central em diversas áreas da matemática. Na álgebra comutativa, e geometria algébrica afim, os morfismos suaves podem ser vistos como álgebras suaves sobre um anel. Neste seminário definiremos este conceito, apresentando diversos exemplos geométricos/algébricos, e como caracterizá-lo no contexto da álgebra homológica(clássica e também relativa). Este é o resultado de um trabalho em conjunto com os Professores Eduardo Marcos e Kostiantyn Iusenko.

Date: April 16, 2024

Speaker:  Kostiantyn Iusenko (IME - USP)

Title:  Propriedades homológicas de extensões de álgebras

Abstract: 

Começamos formulando certas conjecturas homológicas para álgebras de dimensão finita (tais como conjetura de Han e conjetura finitistica). Em seguida, estudamos como elas se comportam para certas extensões "boas" de álgebras (B ⊆ A). Esses resultados têm a forma "A satisfaz a conjectura X se e somente se B também satisfaz". Exploramos como a conjectura de Han se comporta em um campo mais amplo de álgebras conhecidas como álgebras pseudocompactas. Para essa classe de álgebras, a conjectura de Han permanece válida em alguns casos, enquanto em outros não. Por fim, se o tempo permitir, discutimos alguns resultados recentes sobre a finitude da dimensão global relativa, que é uma propriedade crucial para transferir propriedades homológicas de A para B e vice-versa.

Date: April 02, 2024

Speaker: Emmanuel Jerez (IME-USP)

Title:  Partial group actions and groupoids

Abstract: 

Groupoids and partial actions of groups share many similar definitions and constructions. For instance, the concept of a groupoid action closely aligns with the idea of a partial group action, and representations of groupoids and partial group representations exhibit similarities. Furthermore, both structures have the potential to be tools for studying local phenomena that global actions of groups cannot fully capture. Consequently, it is natural to explore the relationship between these structures.  In this context, we demonstrate that any groupoid can be derived from a partial group action. Moreover, we establish the existence of a pair of functors, denoted as Φ: Grpd → ParAct and Ψ: ParAct → Grpd, possessing the property that ΨΦ is naturally isomorphic to the identity of Grpd. Additionally, we illustrate that global actions of groupoids can be viewed as partial group actions.

Date: March 19, 2024

Speaker:  Paula Cadavid (UFRP)

Title:  Laços de uma álgebra de evolução

Abstract: 

Fixada uma base natural de uma álgebra de evolução, os laços da álgebra estão em correspondência com as entradas não nulas da diagonal principal da matriz de estrutura (relativa à base fixada).  Nesta palestra iremos discutir condições sob as quais a quantidade de laços da álgebra é invariante pela mudança de base natural. Os  resultados que irei apresentar fazem parte de um trabalho em conjunto com Yolanda Cabrera (Universidad de Málaga) e Tiago Reis (UFTPR).

Date: March 12, 2024

Speaker:  José L. Vilca Rodríguez (IME - USP)

Title:  Globalização de ações parciais de grupos em álgebras de Lie

Abstract: 

No presente seminário estudaremos o problema de globalização para ações parciais de grupos  em álgebras de Lie semiprimas. O resultado principal fornece condições necessárias e suficientes para a existência de uma globalização semiprima para uma ação parcial  de um grupo em uma álgebra de Lie semiprima, e com uma condição adicional razoável, mostramos que esta globalização semiprima é única salvo isomorfismo. Além disso, sob as mesmas condições, vemos que qualquer ação parcial globalizável em uma álgebra de Lie semiprima induz uma ação  parcial globalizável em sua álgebra maximal de quocientes.

Os resultados apresentados nesta palestra fazem parte de um trabalho em colaboração com M. Dokuchaev.