2023 Seminars
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Date: December 05, 2023
Speaker: Caio Antony (IME - USP)
Title: Division and Localization on Groupoid Graded Rings
Abstract:
A groupoid $\Gamma$ is a small category in which every morphism is invertible, and as such, generalizes the concept of groups. When writing $\gamma \in \Gamma$, we mean that $\gamma$ is a morphism in the category $\Gamma$. We grade a ring $R$ by a groupoid in a similar fashion to group graded rings, that is, there exists additive subgroups $R_\gamma$, for $\gamma \in \Gamma$, such that $R = \oplus_{\gamma \in \Gamma} R_\gamma$, and $R_\gamma R_\delta \subseteq R_{\gamma\delta}$, when the composition $\gamma\delta$ exists, and $\{0\}$ otherwise. We suppose our groupoid graded rings are object unital, that is, there exist elements $1_e \in R_e$ for every idempotent $e \in \Gamma$, that acts as unity for products with homogeneous elements of compatible degrees.
An object unital groupoid graded ring may not be a ring with unity. Therefore, division is studied with respect to the aforementioned idempotents. In this talk, we'll discuss recent progress regarding division and localization on object unital groupoid graded rings. In particular, we'll discuss a generalization of P.M. Cohn's results which characterize homomorphisms from a ring to a division ring, which were previously generalized by D. E. N. Kawai and J. Sanchez to the context of group graded rings.
Date: November 21, 2023
Speaker: Thiago Augusto S. Dourado (IME - USP)
Title: História Conceitual do Produto Tensorial (II)
Abstract:
Bem poucos são conceitos da Matemática que se ramificaram de forma tão abrangente e com abordagens tão destoantes como se deu no caso do produto tensorial. Não seria arriscado dizer que talvez não haja paralelos. Isto acrescentado o fato que o material publicado envolvendo a história do produto tensorial é bastante escasso foi o que motivou o presente estudo, que conduzimos a fim de entender e clarificar as origens deste conceito. No pouco material disponível com estudos desta natureza, como, por exemplo, no clássico livro Morris Kline, se atribui esta origem aos trabalhos de Gregorio Ricci-Curbastro publicados entre os anos 1883-1892. Entretanto, nossa pesquisa mostra que a origem do produto tensorial remonta a segunda versão da Ausdehnungslehre (Teoria da Extensão) de Hermann Grassmann, publicada em 1862, bastante antes dos trabalhos de Ricci. Não nos limitamos entretanto a discutir somente as origens deste conceito, traçamos um desenvolvimento histórico-conceitual que culmina na definição geral dada por Hassler Whitney, em 1938, e generalizada por Bourbaki-Cartan nos anos de 1940.
Date: November 14, 2023
Speaker: Thiago Augusto S. Dourado (IME - USP)
Title: História Conceitual do Produto Tensorial
Abstract:
Bem poucos são conceitos da Matemática que se ramificaram de forma tão abrangente e com abordagens tão destoantes como se deu no caso do produto tensorial. Não seria arriscado dizer que talvez não haja paralelos. Isto acrescentado o fato que o material publicado envolvendo a história do produto tensorial é bastante escasso foi o que motivou o presente estudo, que conduzimos a fim de entender e clarificar as origens deste conceito. No pouco material disponível com estudos desta natureza, como, por exemplo, no clássico livro Morris Kline, se atribui esta origem aos trabalhos de Gregorio Ricci-Curbastro publicados entre os anos 1883-1892. Entretanto, nossa pesquisa mostra que a origem do produto tensorial remonta a segunda versão da Ausdehnungslehre (Teoria da Extensão) de Hermann Grassmann, publicada em 1862, bastante antes dos trabalhos de Ricci. Não nos limitamos entretanto a discutir somente as origens deste conceito, traçamos um desenvolvimento histórico-conceitual que culmina na definição geral dada por Hassler Whitney, em 1938, e generalizada por Bourbaki-Cartan nos anos de 1940.
Date: November 07, 2023
Speaker: André Duarte (IME - USP)
Title: Idempotentes Essenciais Projetivos
Abstract:
Os idempotentes essenciais projetivos são idempotentes centrais primitivos em álgebras de grupo twisted. No primeiro resultado provamos que todo código q-ário simplex pode ser visto como um ideal de uma álgebra de grupo twisted gerado por um idempotente essencial projetivo. Além disso, estabelecemos condições para a existência deles.
Date: September 12, 2023
Speaker: Zaqueu Cristiano (IME - USP)
Title: Teorema de Wedderburn-Artin para anéis graduados por grupoide (II)
Abstract:
O famoso Teorema de Wedderburn-Artin caracteriza um anel artiniano simples como um anel de matrizes sobre um anel com divisão e um anel semissimples como produto finito de anéis artinianos simples. É conhecida uma versão do resultado para anéis graduados por grupo. Nosso objetivo é apresentar uma generalização do Teorema para os anéis graduados por grupoide. A exposição se dividirá em duas partes. Na parte I, começaremos com os conceitos básicos da teoria de anéis e módulos graduados por grupoide necessários para compreender o enunciado. Em seguida, passaremos a definição de um anel \Gamma_0-artiniano gr-simples e uma caracterização destes. Na parte II, definiremos módulos pseudo-livres de forma a obter outra caracterização dos anéis \Gamma_0-artinianos gr-simples e exibiremos a nossa versão do Teorema de Wedderburn-Artin para anéis gr-semissimples. Havendo tempo, também falaremos um pouco sobre como o Teorema ajuda a caracterizar os anéis R para os quais todo R-módulo graduado é pseudo-livre e faremos algum comentário sobre categorias semissimples.
Este trabalho é uma parte da pesquisa de mestrado que está sendo desenvolvida sob orientação do Prof. Javier Sánchez Serdà e financiada através do processo nº 2021/14132-2, Fundação de Amparo à Pesquisa do Estado de São Paulo (FAPESP).
Date: August 29, 2023
Speaker: Zaqueu Cristiano (IME - USP)
Title: Teorema de Wedderburn-Artin para anéis graduados por grupoide
Abstract:
O famoso Teorema de Wedderburn-Artin caracteriza um anel artiniano simples como um anel de matrizes sobre um anel com divisão e um anel semissimples como produto finito de anéis artinianos simples. É conhecida uma versão do resultado para anéis graduados por grupo. Nosso objetivo é apresentar uma generalização do Teorema para os anéis graduados por grupoide. A exposição se dividirá em duas partes. Na parte I, começaremos com os conceitos básicos da teoria de anéis e módulos graduados por grupoide necessários para compreender o enunciado. Em seguida, passaremos a definição de um anel \Gamma_0-artiniano gr-simples e uma caracterização destes. Na parte II, definiremos módulos pseudo-livres de forma a obter outra caracterização dos anéis \Gamma_0-artinianos gr-simples e exibiremos a nossa versão do Teorema de Wedderburn-Artin para anéis gr-semissimples. Havendo tempo, também falaremos um pouco sobre como o Teorema ajuda a caracterizar os anéis R para os quais todo R-módulo graduado é pseudo-livre e faremos algum comentário sobre categorias semissimples.
Este trabalho é uma parte da pesquisa de mestrado que está sendo desenvolvida sob orientação do Prof. Javier Sánchez Serdà e financiada através do processo nº 2021/14132-2, Fundação de Amparo à Pesquisa do Estado de São Paulo (FAPESP).
Date: August 22, 2023
Speaker: Vladimir Pestov (University of Ottawa)
Title: Médias invariantes sobre grupos de caminhos e laços de energia finita
Abstract:
Vamos começar com uma introdução na teoria de médias invariantes sobre grupos topológicos, e depois apresentar um sumário do que é conhecido até agora sobre o problema em aberto de grupos de transformações C^\infty de calibre (gauge transformation groups) sendo ou não mediáveis. O problema é motivado por física matemática, e ainda fica em aberto mesmo no caso específico de grupos de laços e de caminhos, onde foi resolvido positivamente no caso C^0 por Malliavin e Malliavin (1991). Depois vamos apresentar os avanços recentes do palestrante sobre os grupos de caminhos e laços de energia finita, ou seja, da classe de Sobolev H^1.
Date: August 15, 2023
Speaker: César Polcino Milies (IME-USP)
Title: The structure of twisted group algebras of Abelian groups
Abstract:
Twisted group algebras were introduced by I. Schur in his pioneering work on projective representations of finite groups, at the beginning of the twentieth century.
Group algebras of finite groups have been extensively used in recent years to construct error-correcting codes. In that process, idempotents defined from subgroups play an important role.
In recent years, codes from more general structures, such as twisted group algebras and crossed products, have been studied. We investigate how the definition of idempotents from subgroups can be extended to twisted group algebras and, in doing so, exhibit a method of determining the primitive idempotents and the simple componentes of twisted group algebras of Abelian groups.
Date: July 11, 2023
Speaker: Paula Cadavid
Title: Álgebras de evolução e grafos
Abstract:
Elduque e Labra, em 2015, definiram o grafo associado a uma álgebra de evolução e, a partir deste momento, tal associação tem sido usada como ferramenta para estudar propriedades deste tipo de álgebra. Neste seminário, iremos falar sobre alguns dos resultados obtidos usando tal técnica.
Date: June 06, 2023
Speakers: Mikhailo Dokuchaev (IME-USP) and Emmanuel Jerez (IME-USP)
Title: Twisted partial group algebras and homology of crossed products by twisted partial actions (III)
Abstract:
We introduce the notion of a twisted partial group algebra over a field K and use it to study the Hochschild homology of the crossed product by a unital twisted partial group action with a K-valued twist. Our presentation will be divided into three parts.
In the first talk we shall deal with partial projective representations of a group G in K-algebras with a fixed K-valued factor set and introduce, by means of generators and relations, an algebra which governs them, i.e. the twisted partial group algebra of G over K. We show, in particular, that it has a structure of the crossed product by a unital twisted partial action.
The second part will be a preparation for the third one, in which basics on spectral sequences will be recalled.
In the third talk, given the crossed product A*G by a twisted partial action of G on an algebra A with a K-valued twist, a Grothendieck spectral sequence will be given which relates the Hochschild homology of A*G with that of A and with the partial homology of G based on partial representations. This is a generalized homological counterpart of a similar cohomology result by Edson R. Alvares, Marcelo M. Alves and Maria Julia Redondo on skew group algebras by unital (non-twisted) partial actions.
Date: May 30, 2023
Speakers: Mikhailo Dokuchaev (IME-USP) and Emmanuel Jerez (IME-USP)
Title: Twisted partial group algebras and homology of crossed products by twisted partial actions (II)
Abstract:
We introduce the notion of a twisted partial group algebra over a field K and use it to study the Hochschild homology of the crossed product by a unital twisted partial group action with a K-valued twist. Our presentation will be divided into three parts.
In the first talk we shall deal with partial projective representations of a group G in K-algebras with a fixed K-valued factor set and introduce, by means of generators and relations, an algebra which governs them, i.e. the twisted partial group algebra of G over K. We show, in particular, that it has a structure of the crossed product by a unital twisted partial action.
The second part will be a preparation for the third one, in which basics on spectral sequences will be recalled.
In the third talk, given the crossed product A*G by a twisted partial action of G on an algebra A with a K-valued twist, a Grothendieck spectral sequence will be given which relates the Hochschild homology of A*G with that of A and with the partial homology of G based on partial representations. This is a generalized homological counterpart of a similar cohomology result by Edson R. Alvares, Marcelo M. Alves and Maria Julia Redondo on skew group algebras by unital (non-twisted) partial actions.
Date: May 23, 2023
Speakers: Mikhailo Dokuchaev (IME-USP) and Emmanuel Jerez (IME-USP)
Title: Twisted partial group algebras and homology of crossed products by twisted partial actions
Abstract:
We introduce the notion of a twisted partial group algebra over a field K and use it to study the Hochschild homology of the crossed product by a unital twisted partial group action with a K-valued twist. Our presentation will be divided into three parts.
In the first talk we shall deal with partial projective representations of a group G in K-algebras with a fixed K-valued factor set and introduce, by means of generators and relations, an algebra which governs them, i.e. the twisted partial group algebra of G over K. We show, in particular, that it has a structure of the crossed product by a unital twisted partial action.
The second part will be a preparation for the third one, in which basics on spectral sequences will be recalled.
In the third talk, given the crossed product A*G by a twisted partial action of G on an algebra A with a K-valued twist, a Grothendieck spectral sequence will be given which relates the Hochschild homology of A*G with that of A and with the partial homology of G based on partial representations. This is a generalized homological counterpart of a similar cohomology result by Edson R. Alvares, Marcelo M. Alves and Maria Julia Redondo on skew group algebras by unital (non-twisted) partial actions.
Date: May 16, 2023
Speaker: Javier Sánchez (IME - USP)
Title: On free subalgebras of varieties
Abstract:
This is a joint work with Renato Felhberg Júnior from UFES.
L. Makar-Limanov made the following conjecture: Let K be a field, A be an associative K-algebra and F be a field extension of K. If F⊗_KA contains a free K-algebra on at least two free generators, then A also contains a free K-algebra on the same number of free generators.
Z. Reichstein proved that Makar-Limanov's conjecture holds true when the field K is uncountable. In his proof, Z. Reichstein made essential use of the following result by L. Makar-Limanov and P. Malcolmson: Suppose that K is a field with prime subfield K_0 and A is an associative K-algebra. Then x_1,...,x_n in A are the free generators of a noncommutative free K-subalgebra if, and only if, they are the free generators of a free K_0-subalgebra.
On the other hand, A. Smoktunowicz proved that the conjecture fails when K is a countable field.
The main aim of our work is to illustrate the fact that similar phenomena about the existence of free algebras hold true in the context of varieties of (not necessarily associative) algebras.
Javier Sánchez was supported by grant #2015/09162-9, São Paulo Research Foundation (FAPESP).
Date: May 09, 2023
Speaker: Farangis Johari (IME - USP)
Title: The classification of some finite p-groups of nilpotency class 3
Abstract:
The concept of capability is an important factor in the classification of p-groups into isoclinism classes. The use of capability and isoclinism for classifying p-groups first appeared in the work of Hall and was later applied to obtain a complete list of all groups of order 2^n for n ≤ 6. James extended this work to odd primes by providing a complete list of all p-groups of order p^6 for odd p. Although the general problem of classifying all finite p-groups is extremely difficult, introducing invariants can simplify the problem by allowing for the classification of finite p-groups with specific invariants. Examples of such invariants include the nilpotency class, and the order of the abelianization and derived subgroup of a p-group.
Let χ denote the class of all finite p-groups of nilpotency class 3 with elementary abelian abelianization and the elementary abelian derived subgroup of order p^2 (for odd p). With this in mind, the main objective of this discussion is to provide a complete classification of all non-isomorphic p-groups in χ (for odd p) and to determine which of them is capable.
Date: May 2, 2023
Speaker: José L. Vilca Rodríguez (IME - USP)
Title: O problema de globalização de ações parciais de grupos em álgebras não associativas
Abstract:
Grosso modo, uma ação parcial de um grupo em uma álgebra é uma coleção de automorfismos parciais (bijeções entre ideais) que são compatíveis com a operação de grupo. O objetivo deste seminário é estudar em que condições uma ação parcial de um grupo em uma álgebra não associativa pode ser estendida a uma ação global (usual) de um grupo, ou seja, uma ação por automorfismos. Tal problema é conhecido como o problema da globalização, e a ação global é chamada de globalização.
Vamos nos concentrar principalmente em algumas classes de álgebras de Lie, álgebras de Jordan e álgebras de Malcev, mostrando condições necessárias e suficientes para a existência e unicidade de uma globalização para uma ação parcial de um grupo em estas álgebras.
Os resultados aqui apresentados fazem parte de um trabalho em colaboração com W. Cortes (UFRGS).
Date: April 25, 2023
Speaker: Gabriel de A. L. Souza (IME - USP)
Title: Explicit free groups of rank three in division rings
Abstract:
Let D be a division ring. By a free triple in D, we mean three non-zero elements u, v, w in D, such that, as a group, <u, v, w> is isomorphic to a free group of rank 3. We investigate the presence of explicit free triples in certain division rings, using a method applicable to matrices over commutative rings. In particular, we obtain a partial generalization of a former conjecture of J. Lewin. This is joint work with Professor Jairo Gonçalves (IME-USP).
Date: April 18, 2023
Speaker: Jairo Z. Gonçalves (IME - USP)
Title: Free pairs of unitary units in the ring of fractions of enveloping algebras with an involution (II)
Abstract:
Let D be a division ring with center Z and multiplicative group D^†, of char different from 2, and with an involution ∗. Let U be the group of unitary units of D, namely
U = {u ∈ D^† | u^* = u^{-1}}.
We investigate various instances where the dimension [D : Z] = ∞, and in which every non-central subgroup N ▹ U contains a free non cyclic subgroup. Among them, we consider the cases where D is the field of fractions of a group algebra KG of the residually torsion free nilpotent group G over a field K of characteristic 0, or the field of fractions of the enveloping algebra of a locally solvable residually nilpotent Lie K-algebra L.
Date: April 11, 2023
Speaker: Jairo Z. Gonçalves (IME - USP)
Title: Free pairs of unitary units in the ring of fractions of enveloping algebras with an involution
Abstract:
Let D be a division ring with center Z and multiplicative group D^†, of char different from 2, and with an involution ∗. Let U be the group of unitary units of D, namely
U = {u ∈ D^† | u^* = u^{-1}}.
We investigate various instances where the dimension [D : Z] = ∞, and in which every non-central subgroup N ▹ U contains a free non cyclic subgroup. Among them, we consider the cases where D is the field of fractions of a group algebra KG of the residually torsion free nilpotent group G over a field K of characteristic 0, or the field of fractions of the enveloping algebra of a locally solvable residually nilpotent Lie K-algebra L.
Date: March 14, 2023
Speaker: Antonio Giambruno (University of Palermo, Italy)
Title: Growth of polynomial identities and central polynomials
Abstract:
Let A be an algebra over a field of characteristic 0 and T(A) the corresponding T-ideal of the free algebra. The P.I. exponent of A is a known invariant of T(A). I shall discuss a second invariant given by the exponential growth of the central polynomials of A.
Date: February 14, 2023
Speaker: André Leroy (Artois University, France)
Title: Noncommutative polynomial maps
Abstract:
We will first recall some properties of the evaluation of polynomial maps in the classical commutative case and then consider the polynomial maps for Ore polynomials recalling the analogs of the properties mentioned above. We will then introduce the multivariable Ore extensions (following Martinez Penas) and the iterated Ore extensions and consider the polynomial maps for this two kind of polynomials. This will include notions like product formula, P independence, P bases Pseudo linear maps. In the case of iterated Ore polynomials, this will lead to the notion of good points. We will have a particular look at (iterated or multivariate) Ore polynomials over finite fields.