Minicursos
Este minicurso será una invitación al estudio de los complejos cubulares no positivamente curvados:
Estos objetos son algo así como análogos matemáticos de los Legos, y surgieron originalmente como ejemplos convenientes de espacios con cubrientes universales CAT(0), pero han escalado a un nivel protagónico en la teoría geométrica de grupos en las últimas décadas. Aunque los complejos cubulares parezcan quizá un poco artificiales, estos “organizan” información geométrica y algebraica mejor que otros tipos de espacios más naturales. Esta estructura permite resolver problemas algebraicos cuyos análogos son más difíciles (o siguen abiertos) para grupos que actúan en espacios CAT(0) arbitrarios. Por otra parte, los complejos cubulares no positivamente curvados comparten ciertas propiedades importantes con las gráficas, y varios resultados clásicos sobre grupos libres y acciones en árboles se pueden generalizar a dimensiones más altas desde este punto de vista. Así, resulta que la clase de grupos que surge en relación con estos complejos es increíblemente basta y contiene muchos ejemplos importantes.
El minicurso estará organizado de la siguiente forma:
En la primera lección definiremos los objetos principales de la teoría (los complejos cubulares no positivamente curvados, y sus versiones simplemente conexas, los complejos cubulares CAT(0)), daremos varios ejemplos de familias de espacios que admiten esta estructura, y discutiremos brevemente algunos aspectos métricos.
En la segunda lección definiremos hiperplanos e isometrías locales, daremos ejemplos, discutiremos su significado geométrico, y explicaremos algunas consecuencias algebraicas.
En la tercera lección definiremos espacios de paredes y explicaremos la construcción de Sageev, que nos da una manera de construir un complejo cubular CAT(0) partiendo de un espacio de paredes. En esta lección también discutiremos acciones de grupos en complejos cubulares y en espacios de paredes.
En la última lección hablaremos sobre complejos (virtualmente) especiales, algunas de sus propiedades, y su relación con grupos de Artin de ángulo recto. Finalmente, intentaremos bosquejar su importancia en la teoría de grupos y en la topología en dimensiones bajas (¡esto último puede que sea demasiado ambicioso!).
Algunos invariantes cuasi-isométricos de grupos finitamente generados
Necesarios:
Teoría de grupos
Topología de conjuntos
Recomendados:
Grupo fundamental
Teoría de cubrientes
Geometría hiperbólica