En teoría geométrica de grupos aparece el concepto de “crecimiento” de un grupo. Este concepto fue introducido en 1955 por A.S. Schwarz e independientemente por J. Milnor en 1968. El crecimiento de un grupo nos puede dar cierta información de carácter geométrico de un “objeto”, por ejemplo la curvatura de una variedad. La idea del concepto de crecimiento es la siguiente. Dado un grupo G con un conjunto generador S, cuantos elementos distintos del grupo se pueden representar como palabras de longitud n en los generadores. En esta plática, estudiaremos este concepto, veremos algunos ejemplos de grupos con diferentes tipos de crecimiento y algunas propiedades geométricas relacionadas.

El objetivo de esta charla es hacer una breve introducción a la teoría de Bass-Serre, para comprender cómo las acciones de grupos en árboles pueden ayudar a extraer información sobre el propio grupo. En particular, estudiaremos qué son los productos amalgamados de grupos y cómo podemos construir un árbol con buenas propiedades asociado a estos productos.

El estudio de los grupos modulares de superficies se ha venido cultivando desde mediados del siglo pasado y ahora se conoce mucho acerca de su estructura algebraica y topológica. Una de las herramientas más importantes para el estudio de estos grupos ha sido el grafo de curvas asociado a la superficie. Esta charla tiene la intención de mostrarles algunas propiedades geométricas del grafo de curvas que lo hacen ser especial, su relación que guarda el grupo modular de superficies y, finalmente, plantear algunas preguntas que conectarán con algunos temas vistos en los cursos de esta escuela.

El teorema de Dehn–Nielsen–Baer establece que el grupo modular de una superficie cerrada orientable es isomorfo a un subgrupo de índice 2 del grupo de automorfismos exteriores del grupo fundamental de dicha superficie. Este es un claro ejemplo de la interrelación entre topología y álgebra, en cuya demostración haremos uso de geometría hiperbólica. Como aplicación veremos que el complemento de órbitas periódicas del flujo geodésico en el tangente unitario a una superficie está determinado por la órbita del grupo modular actuando en las geodésicas cerradas de la superficie.