Algebras e invariantes de nudos

Las álgebras de Hecke están presentes en distintos campos de la matemáticas: En topología en bajas dimensiones cobraron importancia a partir del famoso polinomio Jones, dado que este polinomio es construido originalmente usando el álgebra de Temperley-Lieb: un cociente del álgebra de Hecke de tipo A. El polinomio de HOMFLYPT, o polinomio de Jones en dos variables, puede ser construido a partir el álgebra de Hecke de tipo A; esta construcción, debida también a V. Jones, deja un mecanismo o receta que puede ser aplicada a otras álgebras que posean cierta traza (traza de Markov) y representen al grupo de trenzas.

En líneas generales, los objetivos de este curso es usar la receta de Jones para la construcción de nuevas invariantes polinomiales de links usando esencialmente el álgebra de Yokonuma-Hecke y la bt-álgebra; también se discutirá la definición de estas invariantes por relaciones skein. Se hará una breve introducción a tied links y se planteará algunos problemas abiertos.

Presentaremos versiones planas de objetos anudados, tales como trenzas, marañas, nudos y enlaces. Así mismo, abordaremos desarrollos y perspectivas de investigación en estos objetos tomando como inspiración algunas construcciones en teoría de nudos.

En esta plática veremos la definición del polinomio corchete de Kauffman aplicado a las 3-trenzas, el cual no es un invariante. Además se abordará una forma sencilla de “modificar” esta situación. Una vez hecho esto, se utilizará el polinomio evaluado en ciertos números complejos para bosquejar una clasificación de las 3-trenzas mediante ejemplos. Hacia el final de la plática se mencionarán algunas aplicaciones de lo anterior en la clasificación de los nudos obtenidos mediante la cerradura de las 3-trenzas.

Un 2-nudo cúbico K es un encaje de la 2-esfera en el 2-esqueleto de la cubulación canónica de R^4; por lo que K es la unión de m(K) cubos unitarios y en particular su área es m(K). Esto nos permite definir el área mínima del tipo del nudo K como el mínimo tomado sobre todas las áreas de los 2-nudos cubulados isotópicos a K. Una pregunta interesante es la siguiente: Dada una clase del nudo, ¿cuál es su área mínima? En esta plática discutiremos esta pregunta para el 2-nudo spin del trébol.