Grupos modulares y grupos de Artin

El complejo -- grafo-- de curvas asociado a una superficie ha tenido destacada importancia en el estudio del mapping class group de la superficie. Cuando la superficie es un disco n veces pinchado, el mapping class group correspondiente es el conocido grupo de trenzas con n cuerdas de Artin.

Por otra parte, el grupo de trenzas con n cuerdas, y el grupo simétrico sobre n objetos, son generalizados algebraicamente por las familias de los grupos de Artin-Tits (de tipo esférico) y los grupos de Coxeter (finitos).

Revisaremos algunos trabajos cuyo objetivo es construir análogos del grafo de curvas para los grupo de Artin-Tits de tipo finito.

En esta plática presentaré el complejo de curvas y varias de sus propiedades, priorizando aquellas que han sido de utilidad para demostrar propiedades del Grupo Modular de Teichmüller. Después, hablaré de varios análogos que existen en tanto en el mundo de superficies como fuera de él.

El espacio de casi-morfismos de un grupo se define como el kernel del morfismo de comparación entre la cohomología acotada y la cohomología usual del grupo. La importancia de estudiar este espacio se debe a la íntima relación que guarda la cohomología acotada con la propiedad de ser promediable del grupo. Mostraremos cómo se usa la acción del grupo Modular (de Teichmüller) de una superficie de tipo finito sobre el grafo de curvas para calcular su espacio de casi-morfismos. También veremos como recientemente se ha usado un análogo al grafo de curvas que ha permitido calcular el espacio de casi-morfismos de ciertos subgrupos de grupos modulares de superficies de tipo infinito.

Hablaré sobre el grupo modular de una superficie no orientable con puntos marcados; en particular mostraré que dichos grupos pueden encajarse en sus contrapartes orientables, lo cual influye en su estructura cohomológica. El método usado para este encaje está inspirado en una situación similar para grupos de trenzas.