A group is an algebraic object, but it also possible (and useful!) to study the geometry of a group. To do this, we need to understand what a group "looks like". In this talk, I will introduce a way to draw a picture of a group, turning it into a metric space called the Cayley graph of the group. We will then discuss what can be said about the group depending on the geometry of this space.

Una presentación finita 𝓟 de un grupo es un conjunto finito X de generadores más una colección finita R de relaciones — productos de los generadores y sus inversos, “palabras en el grupo libre F(X) de base X”. El grupo G(𝓟) presentado es entonces el cociente F(X)/《R》donde 《R》 es el subgrupo normal de G(𝓟) engendrado por R, lo cual es el subconjunto de F(X) de todos los productos de conjugados de elementos de R y sus inversos. Realizaremos cada tal producto como un diagrama en el plano “un diagrama de van Kampen”— una gráfica conexa orientada en el plano, donde las aristas tienen etiquetas en X y las fronteras de las regiones compactas tienen etiquetas en R. En 1911 Max Dehn introdujo varios problemas algorítmicos asociados a estas presentaciones, y el primero es “el problema de la palabra”: dar para 𝓟, si posible, un algoritmo que con dato palabras en F(X), reconozca si o no dichas palabras están en 《R》, y entonces representen el elemento trivial del grupo G(𝓟). 

Para estudiar este problema, definimos funciones de Dehn y desigualdades isoperimétricas para las presentaciones, las cuales cuentan el número de regiones en los diagramas de van Kampen. Estas funciones expresan grados de complicación del algoritmo. Veremos como una tal función que estima el número de regiones en un diagrama para w (si w es en 《R》) da en efecto un algoritmo para el problema de la palabra. Veremos como ejemplos ℤ×ℤ y otros grupos de superficie. Cabe mencionar, la clase de grupos hiperbólicos se puede definir también como aquellos con función de Dehn lineal.

Esta plática es una introducción a grupos hiperbólicos. Daremos las definiciones de un grupo hiperbólico, de su frontera y también la definición de una acción del grupo en su frontera. Mencionaremos algunos ejemplos y propiedades. Además, usaremos la acción definida para caracterizar la hiperbolicidad de un grupo.

El resultado principal de la plática lo debemos al matemático británico Brian H. Bowdich quien demostró que "Si M es un espacio topológico, perfecto, metrizable y compacto y existe un grupo G que actúa en M por homeomorfismos, donde la acción inducida en el espacio de tripletas distintas de M es propiamente discontinua y cocompacta, entonces G es hiperbólico. Más aún, existe un homeomorfismo de M en la frontera de G." Daremos un esbozo de la demostración.

En esta charla presentaremos una clase de grupos llamados los mapping class groups. Salvo en casos muy especiales, no son grupos hiperbólicos pero actúan sobre espacios hiperbólicos. En esta charla presentaremos algunos de estos espacios hiperbólicos: las gráficas de curvas y de caminos. Además, explicaremos cómo construir ejemplos precisos de elementos de estos grupos que actúen de manera hiperbólica. Mencionaremos aplicaciones de estos resultados a la teoría de mapping class groups.