Horário e sala

Terças e quintas-feiras, de 10 hs às 12 hs. Sala ABC 116.

As aulas começarão na terça-feira 19 de março.

Formulário

A comunicação com os alunos será somente através do Google Classroom. Quem tiver interesse em cursar a disciplina por favor preencha o seguinte formulário aqui, para ser incluído em lista de emails.

Horário e sala

Terças e quintas-feiras, de 13 hs às 15 hs. Sala ABC-116.

Formulário

Quem tiver interesse em cursar a disciplina por favor preencha o seguinte formulário aqui.

Ementa e bibliografia da disciplina

Sequências de funções. Séries de funções. Séries de potências. Tópicos: funções integráveis Riemann; equicontinuidade; Teorema de Aproximação de Weierstrass.

Richard Courant e Fritz John; Introduction to Calculus and Analysis, Vol. 1. Classics in Mathematics. Springer (1998). 

Omar Gil. Curso Introductorio a las Ecuaciones Diferenciales. Montevideo, Uruguay (2000).

• Lista 1, (29/03/2024)

• Lista 2, (05/04/2024)

• Lista 3, (05/04/2024)

Séries de Fourier de funções contínuas. Convergência pontual e uniforme. Núcleo de Dirichlet. Aproximações à identidade. Núcleo de Féjer. Teorema de Féjer. Séries de Fourier de funções em L^1. Tópicos: fenómeno de Gibbs; funções contínuas que são deriváveis em ponto nenhum; soluções a equações diferenciais parciais; o problema de Dirichlet em D^2.

Anders Vretblad; Fourier Analysis and Its Applications. Graduate Texts in Mathematics 223, Springer New York (2003)

T.W. Korner; Fourier Analysis. Cambridge University Press (1989)

Elias Stein e Ravi Shakarchi; Fourier Analysis: An Introduction. Princeton University Press (2003)

• Lista 4, (20/04/2024)

• Lista 5, (22/04/2024)

Espaços métricos. Funções contínuas. Linguagem básica da topología. Conjuntos conexos. Limites. Espaços métricos completos. Espaços métricos compactos.

Elon Lages Lima; Espaços Metricos. IMPA. (1998)

Espaços vetorias normados, espaços de Banach. Espaços de Hilbert. Lema de Riesz. Bases ortonormais. Espaços de Hilbert separáveis. Isomorfismos e isometrias. Operadores em espaços de Hilbert. Operadores compactos em espaços de Hilbert. Séries de Fourier em L^2.

• Lista 6, (27/05/2024)

• Lista 7, (03/06/2024)

• Lista 8, (07/06/2024)

John B. Conway; A Course in Functional Analysis. Springer New York (2010).

Gerald Folland; Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications. Wiley (1999)

Transformada de Fourier em L^1. Propriedades. Teorema de Inversão em L^1. Transformada de Fourier em L^2.

Gerald Folland; Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications. Wiley (1999)

Gerald Folland; Fourier Analysis and Its Applications (Pure and Applied Undergraduate Texts). American Mathematical Society (2009)

Elias Stein e Ravi Shakarchi; Fourier Analysis: An Introduction. Princeton University Press (2003)

• Lista 9, (15/06/2024)

• Lista 10, (19/06/2024)

Amostragem e interpolação. Sinais de banda limitada. O Teorema de Shannon-Nyquist (-Whittaker) A Transformada de Fourier Discreta. A Transformada de Fourier Rápida.

Brad G. Osgood; Lectures on the Fourier Transform and Its Applications. American Mathematical Society (2019)

Avaliação 

P1 + lista de exercícios, P2 + lista de exercícios

O Colóquio terá lugar na Sala C-116 do IM, sextas-feiras às 13.30 hs.

A primeira palestra será na sexta-feira 18 de agosto. As palestras serão presenciais, com algumas delas  (poucas) online síncronas. 

Método de aprovação: presença em pelo menos 75% das palestras presenciais e entrega de relatórios sobre as palestras (número a determinar).

Os alunos formalmente inscritos na disciplina, por favor preencham o formulário aqui. 

Palestrantes:

18 de agosto - Ademir Pazoto (IM - UFRJ)

Título: Uma introdução à controlabilidade de equações diferenciais parciais

Resumo: Daremos uma breve introdução à Teoria Matemática de Controle, com ênfase em dois de seus tópicos principais: controlabilidade e estabilização. Para introduzir as ideias centrais de cada um deles, vamos considerar exemplos de sistemas de controle descritos por equações diferenciais ordinárias e parciais.

25 de agosto - Hugo de la Cruz (FGV - Rio de Janeiro)

Título: Equações Diferenciais Estocásticas: Teoria, Aproximação e Aplicações 

Resumo: As equações diferenciais estocásticas (EDEs) são ferramentas matemáticas amplamente utilizadas para descrever e analisar a evolução de sistemas dinâmicos sujeitos a influências aleatórias em cenários nos quais a incerteza desempenha um papel fundamental.  

Nesta palestra, apresentaremos uma introdução às EDEs, discutiremos as motivações por trás do seu estudo, suas diversas aplicações, e os desafios relacionados à análise, aproximação e simulação dessas equações. Além disso, abordaremos algumas questões de pesquisa atuais na área.

1 de setembro - Marcelo Savi (COPPE - UFRJ)

Título: Nonlinear dynamics, chaos and control of smart systems

Resumo: Nature is full of nonlinearities responsible for a great variety of responses in natural systems. Chaos has an intrinsically richness related to its structure, and because of that, there are benefits for a natural system on adopting chaotic regimes with their wide range of potential behaviors. Under this condition, the system may quickly react to some new situations, changing conditions and their response. Bioinspiration is a paradigm that extracts design principles from biological and natural systems. Based on that, it is possible to create systems and structures with adaptive behavior according to its environment. Smart materials have an essential importance on this idea being used as sensors and actuators that define the remarkable system characteristics. In this regard, nonlinear dynamics perspective is employed to develop design paradigms and the investigation of nonlinear dynamics, chaos and control are showing to be essential points. The use of bioinspired smart systems is now evolving to create origami systems based on the ancient Japanese art of paper folding. Basically, the main idea of the origami is to create a three-dimensional structure from a plane source. Adaptive origamis have been explored to produce foldable, adaptive structures that can be applied in several areas of the human knowledge. This seminar presents a general overview of nonlinear mechanics research activities related to smart bioinspired systems. The presentation discusses some smart material system applications and their thermomechanical behaviors. System modeling is presented showing interesting behaviors for potential applications. Shape memory alloy systems, origami-inspired systems, mechanical energy harvesting, chaos and chaos control are some subjects presented to give a general idea of the research activities. The rich, complex dynamical response of these systems is of special concern.

15 de setembro - Carlos Peñafiel (IM - UFRJ)

Título: Superfícies Mínimas de Translações em $\mathbb{R} \times_f \mathbb{R}^2$

Resumo: Neste trabalho mostramos a existência de superfícies mínimas invariantes por translações euclideanas dentro do produto warped  $\mathbb{R} \times_f \mathbb{R}^2$.  Dando condições na função warping $f$, determinamos o comportamento geométrico da curva geradora de tal superfície mínima.

Este é um trabalho em conjunto com Bernardo Angelo e Marcel Ney.

6 de outubro - Adrián Rodríguez Colucci (Observatório de Valongo - UFRJ)

Título: Estrutura da ressonância de movimentos médios 2/1 para três sistemas de exoplanetas

Resumo: As ressonâncias de movimento médio (RMM) são um fenômeno frequente entre sistemas planetários extrassolares. Observações atuais indicam que muitos sistemas possuem planetas que estão próximos ou dentro da ressonância da RMM 2:1, quando o período orbital de um dos planetas é o dobro do outro. Modelos analíticos para descrever esta ressonância específica podem ser reduzidos a aproximações integráveis em apenas alguns casos específicos. Embora haja abordagens bem sucedidas no caso de órbitas muito elípticas e/ou muito inclinadas usando métodos semi-analíticos ou semi-numéricos, esses métodos podem não ser suficientes para entender completamente a dinâmica ressonante. Neste trabalho, propomos aplicar um método numérico bem estabelecido para avaliar o retrato global da dinâmica ressonante, que consiste na construção de mapas dinâmicos. Combinando esses mapas com os resultados de um método semi-analítico, podemos compreender melhor a dinâmica subjacente da RMM 2:1 e identificar os comportamentos esperados em diferentes regiões do espaço de fase e para diferentes valores dos parâmetros do modelo. Verificamos que a família de equilíbrios ressonantes estáveis bifurca de librações simétricas para assimétricas, dependendo da razão de massa e das excentricidades do par de planetas ressonantes. Isso introduz novas estruturas no espaço de fase, transformando a forma clássica em "V" da RMM, no espaço de semi-eixo maior versus excentricidade, em uma forma de relógio de areia. Construímos mapas dinâmicos para três sistemas planetários extrassolares, TOI-216, HD27894 e K2-24, e discutimos sua estrutura no espaço de fase e sua estabilidade à luz dos ajustes orbitais disponíveis na literatura.

20 de outubro - Yulia Petrova (PUC - Rio de Janeiro)

Título: "Viscous fingering": teoria e aplicações

Resumo: Imagine um processo de deslocamento de um fluido viscoso por um menos viscoso em meios porosos (por exemplo, óleo por gás/água no reservatório). Tal movimento é frequentemente instável e cria padrões chamados "dedos viscosos" ("viscous fingering"). Apesar de estudos extensivos, às questões padrão de EDP (O problema está bem posto ou tem singularidades em tempo finito? Qual é a dinâmica da solução?) ainda são bastante desafiadoras.

Apresentarei uma introdução suave ao tópico com foco na propriedade importante para aplicações dos dedos viscosos - crescimento linear da zona de mistura. Em particular, estamos procurando a velocidade exata de propagação dos dedos. Se o tempo permitir, vou introduzir um modelo simplificado (que chamamos de modelo multi-tubos) e explicar como as soluções de ondas viajantes podem ser vistas como uma aproximação aos dedos viscosos.

17 de novembro - Julia Domingues Lemos (Engenharia de Processos Químicos e Bioquímicos, UFRJ)

Título: Data-based approach for time-correlated closures of turbulence models

Abstract: Developed turbulent motion of fluid still lacks an analytical description despite more than a century of active research. Nowadays phenomenological ideas are widely used in practical applications, such as small-scale closures for numerical simulations of turbulent flows. In the present work, we use a shell model of turbulence to construct a closure intended to have a solid theoretical background and to capture intrinsic probabilistic features of turbulence. Shell models of turbulence are dynamical deterministic systems used to model energy cascade and other key aspects of the Navier-Stokes such as intermittency. We rescale the variables of the Sabra model in a way which leads to hidden symmetries and universal distributions. We then use such fine distributions to write closures, i.e., missing expressions for some of the Sabra variables. Our closures rely on approximating probability density functions using a Gaussian Mixture Model, which makes them probabilistic by nature and allows us to write time-correlated closures. We also provide a framework where other Machine Learning tools can be employed with reduced black-box aspects.

Horário e sala

Terças e quintas-feiras, de 10 hs às 12 hs. Sala C100-B, IM.

Formulário

Quem tiver interesse em cursar a disciplina por favor preencha o seguinte formulário aqui.

Avaliação 

P1 + lista de exercícios, P2 + lista de exercícios

Ementa da disciplina

Preliminares. O Teorema de Cauchy e Aplicações. Funções meromorfas e o logaritmo. Transformada de Fourier. Funções inteiras. As funções Gamma e Zeta.  Mapas conformes.

Bibliografia

O livro-texto básico será o

Complex Analysis, de Elias Stein e Remi Shakarchi. Princeton University Press (2003).

Outras boas referências são (em ordem alfabética pelo autor):

Complex Analysis: An Introduction of the Theory of Analytic Functions of One Complex Variable,  de Lars Ahlfors. AMS Chelsea Publishing (2021),

Complex Variables, de M. Ya. Antimirov, Andrei Kolyshkin e Rémi Vaillancourt. Academic Press (1998),

Functions of One Complex Variable, de John B. Conway. Graduate Text in Mathematics 11, Springer (1995),

Basic Complex Analysis, de Jerrold E. Marsden e Michael J. Hoffman. W.H. Freeman (1998).

Listas de exercícios

Lista 1, 11/08/2023 

Lista 2, 18/08/2023

Lista 3, 28/08/2023

Lista 4, 04/09/2023

Lista 5, 14/09/2023

Lista 6, 25/09/2023

Lista 7, 30/09/2023

Lista 8, 07/10/2023

Lista 9, 20/10/2023

Lista 10, 30/10/2023

Lista 11, 01/11/2023

Lista 12, 13/11/2023