Horário e sala

Terças e quintas-feiras, de 10 hs às 12 hs. Sala C100-B.

Monitoria

O monitor será Juan Sebastián. Horários: quintas e sextas às 15hs, sala C100-B.

Formulário

Quem tiver interesse em cursar a disciplina por favor preencha o seguinte formulário aqui.

Listas de exercícios

Lista 1 - Fundamentos, aqui

Lista 2 - Dualidade, aqui

Lista 3 - Mapas lineares e matrizes, aqui

Lista 4 - Determinante e traço, aqui

Lista 5 - Teoria Espectral, aqui

Lista 6 - Estruturas Euclídeas I, aqui

Lista 7 - Estruturas Euclideas II, aqui

Lista 8 - Teoria Espectral de Mapas Autoadjuntos e Mapas Normais, aqui

Ementa e bibliografia da disciplina

1) A ementa é a seguinte.

Espaços Vetoriais e Transformações Lineares. Bases e Dimensão. Determinantes e Formas Multilineares. Produto Interno. Espaço Dual. - Auto-Valores e Auto-Vetores, Complexificação. Operadores Simétricos, Unitários e Normais. Decomposição Espectral. Forma Canônica de Jordan. Decomposição em Valores Singulares. Normas de Matrizes. Condicionamento. Aplicações.

2) A referência principal será o livro "Linear Algebra and Its Applications", de Peter Lax. 

Em certas partes do curso utilizaremos como referências complementares outros textos, dentre eles:

Applied Linear Algebra, de Peter Olver e Chehrzad Shakiban; Linear Algebra and Learning From Data, de Gilbert Strang; Matrices: Theory and Applications, de Denis Serre; Matrix Analysis, de Roger Horn  e Charles Johnson.

Avaliação 

P1, P2, P3, valendo 30%, 40% e 30% da nota respectivamente. 

Horário e sala

Terças e quintas-feiras, de 08 hs às 10 hs. Sala ABC-116.

Monitoria

A monitora será Ana Júlia Nunes. Horários e sala: quartas-feiras 11hs, quintas-feiras 15hs, Sala ABC 116.

Formulário

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Listas de exercícios

Lista 1 (Convergência pontual e uniforme), 21/03/2025

Lista 2 (Convergência, Integração, Derivação), 27/03/2025 

Lista 3 (Séries de Funções e Séries de Potências), 31/03/2025 

Lista 4 (Séries de Fourier I), 02/04/2025

Lista 5 (Séries de Fourier II - Separação de Variáveis), 10/04/2025 

Lista 6 (Séries de Fourier III - Vários), (19/04/2025)

Lista 7 (Séries de Fourier IV - Teoria L^2), (06/05/2025)

Lista 8 (Espaços de Hilbert), (28/05/2025)

Lista 9 (Espaços Métricos Compactos), (04/06/2025)

Lista 10 (Transformada de Fourier), (12/06/2025)

Ementa e bibliografia da disciplina

Sequências de funções. Séries de funções. Séries de potências. Tópicos: funções integráveis Riemann; equicontinuidade; Teorema de Aproximação de Weierstrass.

Richard Courant e Fritz John; Introduction to Calculus and Analysis, Vol. 1. Classics in Mathematics. Springer (1998). 

Omar Gil. Curso Introductorio a las Ecuaciones Diferenciales. Montevideo, Uruguay (2000).

Séries de Fourier de funções contínuas. Convergência pontual e uniforme. Núcleo de Dirichlet. Aproximações à identidade. Núcleo de Féjer. Teorema de Féjer. Séries de Fourier de funções em L^1. Tópicos: fenómeno de Gibbs; funções contínuas que são deriváveis em ponto nenhum; soluções a equações diferenciais parciais; o problema de Dirichlet em D^2.

Anders Vretblad; Fourier Analysis and Its Applications. Graduate Texts in Mathematics 223, Springer New York (2003)

T.W. Korner; Fourier Analysis. Cambridge University Press (1989)

Elias Stein e Ravi Shakarchi; Fourier Analysis: An Introduction. Princeton University Press (2003)

Espaços métricos. Funções contínuas. Linguagem básica da topología. Conjuntos conexos. Limites. Espaços métricos completos. Espaços métricos compactos.

Elon Lages Lima; Espaços Metricos. IMPA. (1998)

Espaços vetorias normados, espaços de Banach. Espaços de Hilbert. Lema de Riesz. Bases ortonormais. Espaços de Hilbert separáveis. Isomorfismos e isometrias. Operadores em espaços de Hilbert. Operadores compactos em espaços de Hilbert. Séries de Fourier em L^2.

John B. Conway; A Course in Functional Analysis. Springer New York (2010).

Gerald Folland; Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications. Wiley (1999)

Transformada de Fourier em L^1. Propriedades. Teorema de Inversão em L^1. Transformada de Fourier em L^2.

Gerald Folland; Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications. Wiley (1999)

Gerald Folland; Fourier Analysis and Its Applications (Pure and Applied Undergraduate Texts). American Mathematical Society (2009)

Elias Stein e Ravi Shakarchi; Fourier Analysis: An Introduction. Princeton University Press (2003)

Amostragem e interpolação. Sinais de banda limitada. O Teorema de Shannon-Nyquist (-Whittaker) A Transformada de Fourier Discreta. A Transformada de Fourier Rápida.

Brad G. Osgood; Lectures on the Fourier Transform and Its Applications. American Mathematical Society (2019)

Avaliação 

P1, P2, P3, valendo 30%, 40% e 30% da nota respectivamente. 

Horário e sala

Terças e quintas-feiras, de 10 hs às 12 hs. Sala ainda não determinada.

Formulário

Quem tiver interesse em cursar a disciplina por favor preencha o seguinte formulário aqui.

Ementa da disciplina

(1) Geometria em Dimensões Altas. Análise Funcional Geométrica.

(2) Concentração de Somas de Variáveis Aleatórias Independentes. Desigualdades de Chernoff, Hoeffding, Mc Diarmid e Bernstein.

(3) Álgebra Linear Aleatória em Dimensão Alta. Concentração da norma. Matrizes de Covariância e PCA. Aplicações a Grafos Aleatórios. Estimativas da norma de matrizes aleatórias. Aplicações: detecção de comunidades em redes, estimação de covariância e clustering.

(4) Concentração sem Independência. Lema de Johnson - Lindenstrauss. Aplicações: detecção de comunidades em redes esparsas, estimação de covariância para distribuições gerais.

(5) Tópicos e Aplicações: dependendo do tempo e interesse dos estudantes, estudaremos alguns dos seguintes tópicos. Desigualdades de log Sobolev. Teorema de Gordon (“Escape through the mesh”); Teorema de Dvoretzky - Milman; Completamento de matrizes; Largo Esférico, Largo Gaussiano e Aplicações a Estatística; Aplicações ao Análise de Fourier em Grafos; Aplicações à Álgebra Linear Numérica. 

Pré-requisitos

Bom conhecimento de Álgebra Linear (incluindo Teoremas Espectrais e SVD). Cálculo das Probabilidades I e II da Graduação em Estatística ou equivalentes. Conhecimento básico de Teoria da Medida e Integração não é estritamente um pré-requisito, mas conhecer e saber usar a teoria ajuda muito.

Avaliação 

Projeto final escrito (10 - 12 páginas sobre tópico avançado relacionado à  ementa).

Bibliografia

Seguiremos o livro "High Dimensional Probability", de Roman Vershynin, disponível nesse site.