Resúmenes - Optimización y EDP

En esta presentación, comenzaremos analizando la resolución de una ecuación diferencial no local de tipo Kirchhoff con presencia de campos eléctricos y magnéticos externos. El crecimiento del término fuente será crítico en el sentido de la inclusión de los espacios de Sobolev en espacios de Lebesgue, por lo que no podremos usar resultados típicos de compacidad y convergencia. En su lugar, explicaremos como combinar resultados de compacidad por concentración con técnicas del Cálculo de Variaciones y de la Teoría de Puntos Críticos para encontrar soluciones al problema dado. Finalmente, comentaremos sobre discretización de operadores no locales y resolución de ecuaciones fraccionarias mediante esquemas numéricos.

La charla involucra resultados de trabajos en colaboración con la Dra. Analía Silva (CONICET-UNSL) y los doctores María Medina y Félix del Teso, ambos de la Universidad Autónoma de Madrid.

Muchos problemas se pueden formular en términos de la optimización de una función (por ejemplo costo, beneficio o tiempo de espera) bajo restricciones. Un problema de programación lineal semi-infinita consiste en optimizar una función objetivo lineal sujeta a un conjunto posiblemente infinito de restricciones lineales, en R^n . Con frecuencia los coeficientes de las restricciones provienen de aproximaciones o son estimaciones y están sujetos a error, de tal forma que el problema que se analiza y se resuelve es, en realidad, un problema con datos perturbados. El estudio de la estabilidad de las soluciones óptimas obtenidas se relaciona directamente con la utilidad que dichos resultados presentan. En el caso en que tanto la función objetivo como las restricciones son lineales, si existe un valor óptimo para la función objetivo en el conjunto factible, éste se presenta en un punto en la frontera del mismo. En esta presentación se hablará sobre el estudio de la estabilidad de la frontera de conjuntos factibles de sistemas lineales semi-infinitos en R^n , analizando la semicontinuidad, en distintos sentidos, de la correspondencia conjunto frontera, que asocia a cada sistema, el nominal y sus perturbaciones, la frontera del correspondiente conjunto de soluciones, así como la regularidad métrica de las inversas de las correspondencias conjunto factible y conjunto frontera. Y se establece relaciones entre estas propiedades.

Se consideran problemas de optimización estocástica lineal de dos etapas, para los cuales se obtienen, aplicando la teoría conocida de optimización lineal semi-infinita (LSIP), condiciones suficientes para la existencia de soluciones factibles, así como de optimalidad y teoremas de dualidad. Entre los problemas estocásticos, sin restricción de información, la “generación y reducción de escenarios” constituye un enfoque numérico clásico basado en argumentos de estabilidad que involucran distancias entre medidas de probabilidad. Sin embargo, algunos de estos problemas presentan serias dificultades para su solución dadas ciertas medidas de probabilidad y, en la práctica, estas se reemplazan por alguna medida de probabilidad discreta. De esta forma, bajo supuestos adecuados, se pueden reducir a un problema de optimización lineal semi-infinita. El análisis se basa en el modelo desarrollado por R. Henrion y W. Römisch [Problem-based optimal scenario generation and reduction in stochastic programming. Math. Program. 183-205, 2022]. Finalmente, cuando las distribuciones de probabilidad de las variables aleatorias involucradas no están perfectamente definidas y, por ejemplo, solo se conocen restricciones de momentos de segundo orden, utilizando métodos de optimización robusta, también se puede reformular el planteo inicial como un problema LSIP para su análisis de factibilidad y optimalidad.

Los diagramas de Voronoi representan una forma de particionar el espacio. Dado un conjunto T ⊆ R^n que contiene al menos dos elementos, a los que llamaremos sitios, la celda de Voronoi de s ∈ T es el conjunto VT(s) que contiene a todos los puntos tales que la distancia (euclidea) a s es menor o igual a la distancia al resto de los puntos del conjunto T.

De manera similar, definimos las celdas de Voronoi con peso de s ∈ T como el conjunto VTω(s), que contiene a los puntos cuya distancia (euclidea) a s, menos un peso ωs, es menor o igual a la distancia a cualquiera de los puntos t del conjunto T, menos un peso ωt.

Estos diagramas han adquirido reconocimiento en los últimos años, principalmente, por sus aplicaciones en la geometría computacional. En este trabajo utilizamos diagramas de Voronoi para representar un tejido celular bidimensional, donde modelamos matemáticamente el nacimiento, movimiento y muerte de una célula, utilizando celdas de Voronoi con o sin peso, según se requiera. Para ello, analizamos las convergencias de estos conjuntos en el sentido de Kuratowski y de Hausdorff y realizamos un modelo computacional en Python para visualizarlas.

Este trabajo fue realizado en el marco de las Becas para Alumnos/as Avanzados/as 2021-2022 otorgadas por la Secretaría de Investigación, Internacionales y Posgrado de la Universidad Nacional de Cuyo, dirigido por la Dra. Andrea Ridolfi (FCAI – UNCuyo).