Matemática Financeira

Nesta unidade vamos estudar a função da série de pagamentos na gestão financeira das empresas. 

O estudo de séries de pagamentos é fundamental em matemática financeira, pois fornece a base para entender e planejar uma grande variedade de operações financeiras que envolvem fluxos de caixa recorrentes, como empréstimos, financiamentos, investimentos e planos de aposentadoria.

Conhecer o comportamento de séries de pagamentos permite que empresas e indivíduos analisem o impacto do tempo e das taxas de juros em valores futuros e presentes, possibilitando a tomada de decisões financeiras mais informadas.

Ao dominar esses conceitos, os profissionais da área financeira conseguem calcular de forma precisa os valores a serem pagos ou recebidos ao longo do tempo, identificar a viabilidade de projetos, avaliar a atratividade de investimentos e desenvolver estratégias eficazes de gerenciamento de dívidas e de crescimento de capital. Dessa forma, o estudo de séries de pagamentos torna-se uma ferramenta indispensável para quem busca segurança financeira e um planejamento adequado para o futuro.

Vamos entender que as séries de pagamentos possuem algumas características fundamentais que determinam seu comportamento e aplicação em matemática financeira. Essas características ajudam a definir o tipo de série e as fórmulas mais adequadas para calcular o valor presente e futuro.

Bons estudos!

Vejamos, a seguir, como alguns autores conceituam a série de pagamentos.

Conforme Gitman e Zutter,

Série de pagamentos é uma sequência de valores financeiros pagos ou recebidos em intervalos regulares de tempo, podendo ser uniforme, quando os valores são constantes, ou variável, quando os valores diferem entre si. Essa série possibilita a análise de fluxos de caixa futuros ou presentes, considerando a taxa de juros e o período da operação. (Gitman; Zutter, 2012, p. 214).

Para Assaf Neto, 

Série de pagamentos consiste em uma sequência de pagamentos realizados em intervalos regulares, podendo ser constantes ou variáveis ao longo do tempo, e são fundamentais para o cálculo de valores presentes e futuros em operações financeiras. (Assaf Neto, 2014, p. 122).

Conforme Hoji, 

A série de pagamentos corresponde a uma sequência de valores que são pagos ou recebidos em intervalos regulares, sendo aplicada em operações financeiras que envolvem fluxos de caixa periódicos, como financiamentos, investimentos e planos de aposentadoria. (Hoji, 2010, p. 135).

Finalmente, para Puccini, 

A série de pagamentos representa uma sequência de desembolsos ou recebimentos, realizados em intervalos de tempo regulares, sendo de grande importância para cálculos financeiros que envolvem valor presente e valor futuro de fluxos de caixa. (Puccini, 2012, p. 67).

Uma série de pagamentos iguais refere-se a uma sequência de pagamentos ou recebimentos periódicos, de mesmo valor, realizados ao longo de um período de tempo. Esses pagamentos são conhecidos como parcelas e podem ocorrer em intervalos regulares, como mensalmente, anualmente, etc.

Esta modalidade de prestações (pagamentos e recebimentos) é usualmente conhecida como modelo Price, no qual todas as prestações têm o mesmo valor que, genericamente, representamos por PMT. 

O fato de as prestações terem o mesmo valor permite a obtenção de fórmulas simplificadas para capitalização e o desconto dessas parcelas, mediante a utilização da expressão para soma dos termos de uma progressão geométrica, conforme mostraremos no decorrer desta unidade. 

Consideremos o seguinte fluxo de caixa: 

O problema do tipo “dado PMT achar FV” consiste em determinar  o montante acumulado FV, no final de n períodos, a partir da capitalização das n prestações de uma série uniforme, todas com o mesmo valor e igual a PMT, com uma taxa de juros i por período, no regime de juros compostos. 

Observar que uma série PMT obedece à convenção de final de período, sendo portanto uma série de pagamentos postecipada. 

O montante FV, no final do período de ordem n, acumulado por essas prestações corresponde à soma dos montantes individualmente calculados para cada prestação até o mesmo período. 

Assim temos: 

➡️ A 1ª prestação capitaliza juros durante (n-1) períodos, e o seu valor futuro no final do período n é igual a .........PMT (1 + i )n - 1 

➡️ A 2ª prestação capitaliza juros durante (n - 2) períodos, e o seu valor futuro no final do período n é igual a .........PMT (1 + i )n - 2

➡️ A penúltima prestação capitaliza juros durante 1 período, e o seu valor futuro no final do período n é igual a .........PMT (1 + i )

➡️ A última prestação não capitaliza juros, e seu valor no final do período n é igual a .........PMT.

Assim, o montante FV é obtido pela soma dessas parcelas, isto é:

Expressão 1:  FV = PMT [(    (1 + i ) n - 1 + (1 + i ) n - 2 +...+(1 + i) + 1 ] 

Os termos entre colchetes correspondem à soma dos termos de uma progressão geométrica, cuja a fórmula pode ser obtida multiplicando-se ambos os lados da expressão por (1 + i), obtém-se: 

Expressão 2:  FV (1 + i) = PMT [ (1 + i ) n  + (1 + i ) n - 1 +...+(1 + i) 2+ (1 + i ) ] 

Subtraindo-se da expressão 2 a expressão 1 

FV x i = PMT [ (1 + i ) n  -1- 1 ] 

O problema do tipo “dado PMT achar FV” envolve a obtenção do valor futuro  FV, a partir do valor de cada prestação PMT de uma série uniforme, e consiste na solução da expressão 3. 

Exemplos

1) Determinar o valor do Montante FV do fluxo de caixa que se segue, com uma taxa de 10% ao ano, no regime de juros compostos. 

2) Calcular o montante FV ao final do 7º mês de uma sequência de 7 depósitos mensais e sucessivos no valor de $800,00 cada, numa conta poupança que remunera a uma taxa de juros de 2,1% ao mês. 

Consideremos o seguinte fluxo de caixa: 

O problema do tipo “Dado FV achar PMT” envolve a obtenção do valor PMT de cada prestação, a partir do valor futuro FV, e consiste na solução: 

Exemplos: 

1) Determinar o valor de quatro depósitos trimestrais do fluxo de caixa que se segue, capaz de produzir o montante de $10.000,00 no final de 4º trimestre, com uma taxa efetiva de 3% ao trimestre, no regime de juros compostos. 

2) Determinar o valor de seis depósitos mensais, iguais e sucessivos, capazes de produzir um montante de $5.000,00 no final do 6º mês, sabendo que esses depósitos são remunerados com uma taxa de 12% ao ano, capitalizados mensalmente. 

O problema do tipo “Dado PMT achar PV” consiste em determinar o valor presente PV (principal) a partir do desconto das n prestações de uma série uniforme, todas com o mesmo valor e igual a PMT, com uma taxa de juros “i” por  período, no regime de juros compostos. 

Observar que a série uniforme PMT, obedece a convenção de final de período, sendo portanto uma série postecipada. 

O problema do tipo “ Dado PMT achar PV”, envolve a obtenção  do valor presente PV, a partir do valor de cada prestação PMT de uma série uniforme e consiste na solução conforme fórmula: 

Exemplos: 

1) Determinar o valor do principal de um financiamento realizado com uma taxa efetiva de 1% ao mês, no regime de juros compostos, e que deve ser liquidado em 12 prestações mensais, sucessivas e iguais a $1.000,00.

2) Determinar o valor do investimento necessário para garantir um recebimento anual de $10.000,00 no final de cada um dos próximos oito anos, sabendo-se que esse investimento é remunerado com uma taxa efetiva de 10% ao ano, no regime de juros compostos. 

O problema do tipo “Dado PV achar o PMT” envolve a obtenção do valor PMT de cada prestação, a partir do valor Futuro FV, e consiste na fórmula: 

Exemplos: 

1) Determine o valor das prestações anuais de um financiamento realizado com a taxa efetiva de 8% ao ano, no regime de juros compostos, sabendo-se que o valor do principal é $1000,00 e que o prazo da operação é de quatro anos. 

2) Uma loja financia seus produtos em seis prestações mensais, iguais e sucessivas, e obtém nessas operações uma remuneração efetiva de 1,5% ao mês, no regime de juros compostos. Determinar o valor dessas prestações para um financiamento com um principal de $ 3.000,00

Conforme Gitman e Zutter, 

A série de pagamentos antecipada é caracterizada por pagamentos iguais realizados no início de cada período. Em comparação com a série postecipada, os valores presentes e futuros são maiores devido à antecipação dos fluxos de caixa, reduzindo o tempo de incidência de juros sobre os valores pagos. (Gitman; Zutter, 2012, p. 107).

Para Assaf Neto, 

Uma série de pagamentos antecipada ocorre quando os pagamentos são realizados no início de cada período. Essa antecipação influencia o valor presente e o valor futuro, pois os pagamentos têm um impacto financeiro mais próximo do ponto inicial do fluxo de caixa. (Assaf Neto, 2014, p. 89).

Uma série de pagamentos antecipada é uma sequência de pagamentos iguais realizados em intervalos regulares, cujos pagamentos ocorrem no início de cada período. Esse tipo de série é comum em situações nas quais o pagamento é feito antes do uso do serviço ou do período ao qual ele se refere, como aluguéis ou seguros..

Características principais: 

• Momento do pagamento: Os pagamentos são realizados no início de cada período (diferentemente da série postecipada, na qual o pagamento ocorre no final do período).

• Impacto no valor presente (VP) ou no valor futuro (VF): Cada pagamento está mais próximo do início, o que aumenta o valor presente e o valor futuro em comparação à série postecipada, pois o dinheiro fica "menos tempo" sujeito aos juros.

Exemplo:  

Um  financiamento de $1000,00 de principal deve ser amortizado em cinco prestações mensais, iguais e sucessivas. Sabendo-se que a taxa efetiva de juros é de 1% ao mês, no regime de juros compostos, determinar o valor da prestação mensal desse financiamento, nas seguintes hipóteses: 

a) pagamento da 1ª prestação ocorrendo um mês após a liberação dos recursos (série Postecipada). 

b) pagamento da 1ª prestação ocorrendo no ato da liberação dos recursos (série antecipada). 

b) Série Antecipada

Inicialmente o principal de $ 1000.00 deve ser puxado um mês para trás, com taxa de juros do financiamento de (1% ao mês) o que é alcançado pela operação: 

Exercício: 

Um financiamento cujo principal é igual a $10.000,00 deve ser liquidado com 10 prestações mensais, sucessivas e iguais com uma taxa de 1,2% ao mês, no regime de juros compostos. Determinar o valor dessas prestações nas hipóteses:

1. 1ª prestação deve ser paga 30 dias após a liberação dos recursos 

2. 1ª prestação deve ser paga no ato de liberação dos recursos a título de entrada. 

1. O que são séries de pagamentos em matemática financeira? 

2. Qual o conceito de série de pagamentos postecipada? 

3. Qual o conceito de série de pagamentos antecipada? 

4. O que significa PMT, PV e FV em série de pagamentos em matemática financeira?

Uma situação prática comum cujas séries de pagamentos são aplicadas em empresas é no financiamento de projetos de capital ou na aquisição de equipamentos para operações. Vamos criar um cenário para ilustrar isso:

Cenário: Uma empresa de médio porte na área de manufatura precisa adquirir uma nova máquina para expandir sua capacidade de produção. A máquina custa $250.000,00, e a empresa não dispõe de recursos suficientes para comprar o equipamento à vista. Para financiar a compra, a empresa decide contratar um financiamento com pagamento em prestações mensais.

Detalhes do Financiamento:

• Valor financiado (PV): $ 250.000,00

• Número de prestações (n): 36 meses

• Taxa de juros mensal (i): 1% ao mês

• Tipo de série de pagamento: postecipada

Cálculo das Prestações: A empresa usará a fórmula da série de pagamentos postecipados para Calculando o valor das prestações:

PMT = $ 8.303,57

Portanto, a empresa terá que pagar prestações mensais de aproximadamente $8.303,57 por 36 meses para financiar a nova máquina.

Aplicação Prática: Este financiamento permite que a empresa adquira a máquina necessária sem comprometer seu fluxo de caixa de uma só vez. Ao fazer pagamentos mensais, a empresa pode planejar melhor suas finanças e garantir que a expansão da capacidade produtiva gere receitas suficientes para cobrir os custos das prestações. Além disso, a empresa pode considerar a dedução dos pagamentos de impostos como despesas operacionais, o que pode ter benefícios fiscais.

Nesta unidade pudemos compreender que as séries de pagamentos são fundamentais na gestão financeira, pois elas estão presentes em uma ampla variedade de operações financeiras cotidianas, desde empréstimos e financiamentos, até investimentos e planos de poupança. A habilidade de analisar e calcular séries de pagamentos permite que indivíduos e empresas façam escolhas mais informadas e eficientes em termos financeiros.

Para as pessoas, entender séries de pagamentos é fundamental ao tomar decisões sobre financiamentos de imóveis, veículos, ou mesmo, ao escolher a melhor opção de pagamento no crédito. Saber como os juros são calculados e como eles afetam o valor total a ser pago ao longo do tempo ajuda a evitar armadilhas financeiras e a planejar melhor o orçamento pessoal.

Para as empresas, o conhecimento sobre séries de pagamentos é essencial para uma gestão financeira eficaz. Empresas usam esses conceitos para avaliar diferentes opções de financiamento de projetos, para estruturar planos de pagamento de dívidas e para avaliar investimentos. Além disso, o entendimento das séries de pagamentos é crucial para a avaliação de ativos, como títulos e ações, e para o cálculo do valor presente de fluxos de caixa futuros, o que é fundamental na análise de viabilidade econômica de projetos de investimento.

Compreender as séries de pagamentos postecipadas e antecipadas é crucial na matemática financeira, pois influenciam a estruturação e a análise de várias transações financeiras. A escolha entre elas afeta, significativamente, os custos de empréstimos ou os retornos de investimentos, dependendo da capitalização dos juros.

Para consumidores, entender a diferença é crucial em contratos de empréstimos, especialmente em compras de alto valor. Pagamentos postecipados podem resultar em custos totais maiores devido aos juros sobre o saldo devedor antes do primeiro pagamento. Enquanto que, os pagamentos antecipados podem gerar economias em juros ao reduzir o saldo devedor mais cedo.

Para empresas, entender esses conceitos é essencial para gestão de caixa e decisões financeiras. Empréstimos corporativos, leasing e contratos de serviços, frequentemente, envolvem séries de pagamentos, e a escolha entre postecipada ou antecipada pode impactar a estrutura de capital e os resultados financeiros da empresa.

Profissionais de finanças, como analistas, consultores e gestores financeiros, devem dominar o cálculo e a análise de séries de pagamentos para oferecer recomendações precisas e tomar decisões estratégicas que maximizem o valor para os acionistas ou para os clientes.

REFERÊNCIAS 

ASSAF NETO, Alexandre. Matemática financeira e suas aplicações. 11.ed. São Paulo: Atlas, 2009. 278 p. ISBN 978-85-224-5531-7

BRUNI, Adriano Leal; FAMÁ, Rubens. Gestão de custos e formação de preços: com aplicações na calculadora HP 12C e Excel. 3.ed. São Paulo: Atlas, 2004. 551 p.

FARO, Clovis de. Fundamentos da matemática financeira: uma introdução ao cálculo financeiro e à análise de investimento de risco. São Paulo, 2006. 459 p. ISBN 85-02-05527-5

GITMAN L. J; ZUTTER C. J. Princípios de administração financeira.14. ed. São Paulo: Pearson, 2012.

HOJI, Masakazu. Administração financeira e orçamentária: matemática financeira aplicada, estratégicas financeiras, orçamento empresarial. 12.ed. São Paulo: Atlas, 2018. 555 p. ISBN 978-85-97-00285-0.

MATHIAS, Washington Franco; GOMES, José Maria. Matemática financeira. 2.ed. São Paulo: Atlas, 1993. 453 p. ISBN 85-224-0812-2

PUCCINI, Abelardo de Lima. Matemática financeira: objetiva e aplicada. 9.ed. rev. e atual. Rio de Janeiro: Elsevier, 2011. 353 p. ISBN 978-85-352-4672-8.

SAMANEZ, Carlos Patrício Mercado. Matemática financeira. 5. ed. São Paulo, SP: Pearson, 2010. E-book. 

WAKAMATSU, André (org.). Matemática financeira. 2. ed. São Paulo, SP: Pearson, 2018. E-book. Disponível em: https://plataforma.bvirtual.com.br. Acesso em: 13 maio 2024.