Cursos

Análisis 

Espacios de Hilbert, ortogonalidad, aplicaciones unitarias. Subespacios cerrados y proyecciones ortogonales, espacios de Hardy. Operadores adjuntos. Matriz diagonal infinita, operadores integrales, en particular operadores de Hilbert-Schmidt. Operadores compactos. Teorema espectral. Espacios localmente convexos. Topologías débiles. Teorema de Alaoglu. Reflexividad. Espacios de funciones clásicos. Función maximal de Hardy-Littlewood y puntos de Lebesgue. Aproximaciones de la identidad.

Temas Básicos de Categorías 

Categorías: definición y ejemplos. Isomorfismos, monomorfismos y epimorfismos categóricos. Límites y colímites: productos, coproductos, objeto inicial, objeto final, Ker y Coker, egalizadores y coegalizadores. Push-outs y pull-backs. Límites y colímites. Funtores: definición y ejemplos. Transformaciones naturales. Funtores representables y funtores adjuntos, propiedades.

Matemática Aplicada 

Ecuaciones Diferenciales: Modelado de aplicaciones con ecuaciones diferenciales de primer y segundo orden (física, economía, etc.). Transformada de Laplace. Sistemas de ecuaciones diferenciales. Series y Transformada de Fourier. Aplicaciones. Aproximación numérica. Estadística: Distribuciones de variables aleatorias: caso multivariado. Métodos no paramétricos. Métodos multivariados: análisis descriptivo e inferencial. Regresión lineal multivariada. Muestreo estadístico. Métodos de selección de variables.

Taller de Tesis 

Introducción al conocimiento científico. Ciencia: definiciones, características, clasificación. Ciencias formales, ciencias naturales, ciencias sociales. La escritura técnica. Organización de reportes y artículos. Conceptos básicos para la comunicación oral y escrita del conocimiento científico. Elaboración del trabajo de tesis: definición del tema, el objeto de estudio y estructura de la tesis. Presentación de informes escritos de los avances alcanzados en el desarrollo de la tesis y su correspondiente exposición oral. Estructuración de una ponencia y socialización de los resultados parciales de la investigación.

1. Mejor Aproximación Local. 

El problema de mejor aproximación local para una función en uno y varios puntos en diferentes normas. Existencia, unicidad y caracterización del mejor aproximante local. Caso múltiplo y no múltiplo.

2. Teoría de la Aproximación de Funciones. 

Mejor aproximación en espacios normados. Existencia y unicidad de mejores aproximantes. Las normas Lp. Subespacios de Haar. Aproximación en norma Chebyshev. Teorema de alternancia de Chebyshev. Unicidad fuerte. Teorema de unicidad de Haar. Algoritmo de La Vallé Poussin. Algoritmo de Pólya. Aproximación por mínimos cuadrados. Polinomios ortogonales. Aproximación en la norma L1. Polinomios trigonométricos. Desigualdades polinomiales y aplicaciones.

3. Tópicos de Análisis Funcional. 

Dualidad en espacios normados. Operadores de Fredholm en espacios normados. Operadores de Fredholm en espacios de Banach. Operadores semi-Fredholm. Teoremas de índices. Propiedad de la extensión univaluada y propiedad de descomposición de Kato.

4. Álgebra Universal. Álgebras. 

Álgebras isomorfas y subálgebras. Retículos algebraicos y subuniversos. Congruencias y álgebra cociente. Homomorfismos, teoremas fundamentales de homomorfismos y de isomorfismos. Productos directos, congruencias factor y álgebras directamente no-descomponibles. Productos subdirectos, álgebras subdirectamente irreducibles y álgebras simples. Operadores sobre clases de álgebras del mismo tipo y variedades. Términos, álgebra de términos y álgebras libres. Identidades, álgebras libres y Teorema de Birkhoff. Condiciones de Malcev.

5. Introducción a la Lógica Matemática. 

Conectivos proposicionales y proposiciones. Sistemas axiomáticos. Semántica. Completitud. Lenguaje y sintaxis de primer orden. Teorías de primer orden. Estructuras e interpretaciones. La relación de consecuencia. Teoremas de completitud. El teorema de Löwenheim-Skolem. Teorema de Compacidad.

6. Lógica Algebraica. 

Álgebras, Fórmulas y Lógicas. Lógicas implicativas y su algebrización. Filtros lógicos y congruencias. Semántica algebraica. Lógicas alge- brizables. El teorema de isomorfismo. Teoremas puentes y de transferencias. La semántica de matrices. La congruencia de Leibniz. Matrices reducidas y L- álgebras.

7. Álgebras de Boole. 

Álgebras de Boole. Conexión con anillos Booleanos y retículos. Álgebras de conjuntos. Teorema de representación para álgebras de Boole finitas. Álgebras de Lindembaum-Tarski. Álgebras de Boole libres. Operaciones infinitas. Filtros e ideales, congruencias. Ultrafiltros e ideales maximales. Teorema de representación de Stone. Teorema del filtro primo. Espacios Booleanos y dualidad de Stone.

8. Geometría Fractal. 

Medidas y distribuciones de masa. Medida y dimensión de Hausdorff y definiciones equivalentes. Dimensión box-counting y packing. Técnicas para el cálculo de dimensiones: métodos básicos. Estructura local de fractales. Proyecciones. Aplicaciones y ejemplos: sistemas iterados de funciones, conjuntos auto-similares y auto-afines. *Opcional: Grafos de funciones. Sistemas dinámicos. Iteraciones de funciones complejas. Fractales aleatorios. Ejemplos de aplicaciones a la física y la economía.

9. Matemática Computacional. 

Algoritmos, métodos numéricos y métodos simbólicos. Entornos computacionales para desarrollo de actividades matemáticas. Computación de álgebra lineal numérica y ecuaciones diferenciales parciales. Métodos estocásticos: Montecarlo. Investigación asistida por computadoras: demostración automática de teoremas, búsqueda de grupos, pruebas de primalidad y factoriza ción. Criptografía. Geometría computacional.

10. Espacios de Orlicz. 

Funciones convexas, N-funciones, funciones complementarias, desigualdad de Young. Condiciones de crecimiento de funciones: delta 2, nabla 2, delta prima, etc. Espacios de Orlicz: clases, norma de Orlicz y norma de Luxemburg, desigualdad de Hölder. Operadores en espacios de Orlicz. Aplicaciones (en análisis armónico, teoría de mejor aproximación, cálculo de variaciones, etc).

11. Análisis de Datos Multivariados. 

Análisis de datos multivariados. Introducción a las técnicas de análisis de datos multivariados. Análisis exploratorio de datos multivariados. Análisis de cluster. Análisis de Componentes Principales. Análisis Discriminante y clasificación. Análisis factorial. Escalonamiento multivariado. Análisis de correspondencias. Uso de paquetes estadísticos.

12. Espacios de Órdenes y Espectros Reales Abstractos. 

Cuerpos formalmente reales. Órdenes en cuerpos. Espacios de órdenes abstractos. El espacio de órdenes asociado a un álgebra de Boole. Grupos especiales reducidos. Dualidad funtorial entre espacios de órdenes y grupos especiales. Aplicaciones. El espectro real de un anillo. Espectros reales abstractos. Conexión con las álgebras de Lukasiewicz trivalentes. La topología espectral y la topología constructible. Un teorema de representación para los espectros reales abstractos. Semigrupos reales. Dualidad funtorial entre espectros reales abstractos y semigrupos reales.

13. Matrices Inversas Generalizadas y Aplicaciones. 

Resultados básicos de análisis matricial, teorema fundamental del álgebra Lineal, descomposición espec- tral de una matriz. Teorema de Cochran. Factorización URV*. Descomposición en valores singulares. Descomposición de Hartwig-Spindelböck. Descomposición polar. Descomposición core-nilpotente. Diagonalización simultánea. Matrices in- versas generalizadas: {1}-inversas, {2}-inversas. Inversa de Moore-Penrose, el problema de mínimos cuadrados. Inversa de grupo. Inversa de Drazin. {2}-inversa con espacio columna y espacio nulo prescritos e inversa core. Aplicación a la resolución de ecuaciones lineales matriciales.

14. Introducción a Órdenes Parciales Matriciales. 

Pre-orden espacio. Orden parcial menos. Orden parcial estrella. Orden grupo. Pre-orden de Drazin. Orden core. Propiedades y caracterizaciones de cada uno de ellos. Introducción y propiedades de las matrices EP. Orden parcial estrella en el conjunto de matrices EP.

15. Cálculo de Variaciones. 

Breve historia del Cálculo de Variaciones. Funciones de variación acotada y absolutamente continuas. Espacios de Sobolev. Método direc- to del cálculo de variaciones. Repaso de topologías débiles. Teorema de Banach- Alaglou. Integrales de acción. Condiciones para la direfenciabilidad. Teorema de Krasnoselski. Semicontinuidad inferior debil. Teorema de continuidad de Tonelli. Teorema de existencia de mínimos de Tonelli. Ejemplo de Weierstrass. Soluciones periódicas de sistemas Hamiltonianos.

16. Categorías, Anillos y Módulos. 

Categorías y funtores. Definiciones y ejemplos. La categoría de módulos sobre un anillo. Estudio de anillos artinianos, noetheria- nos, simples y semisimples y su categoría de módulos.

17. Introducción a la Teoría de Representaciones. 

Álgebras y módulos: Estructura de k-álgebra. Morfismos entre k-álgebras. Álgebras indescomponibles. Álgebras Morita equivalentes. Módulos sobre una k-álgebra. Módulos proyectivos y simples. Descomposición en sumas directas. Teorema de Krull-Schmidt. Radical de un álgebra y de un módulo. Teorema de Wedderburn-Artin. Cubiertas proyectivas. El álgebra de carcaj: Carcaj y álgebra de carcaj. Propiedades. Ideales admisibles y cocientes de álgebras de carcaj. El carcaj asociado a una k-algebra de dimensión finita: Teorema de Gabriel. Representaciones de carcajes: Representaciones de carcajes con relaciones. Morfismos de carcajes con relaciones. Correspondencia entre módulos y representaciones. Equivalencia entre ambas categorías. Descripción de algunos módulos.

18. Introducción al Álgebra Homológica. 

Categorías abelianas. Objetos libres, proyectivos, inyectivos. Complejos de cadena en categorías abelianas. Homotopía, resoluciones. Morfismos y cuasi-isomorfismos. Funtores derivados. La sucesión exacta larga de homología. Extensiones de módulos. El funtor Ext. Cálculo de algunos grupos Ext. El funtor Tor. Extτ n-extensiones. (Co)-homología de grupos. Los grupos Hn, H0 ,H1 y Hi . El ideal de aumentación. Derivaciones. (Co)- homología de grupos finitos. H y extensiones.

19. Modelos de asignación bilateral I. 

Juegos de asignación uno-a-uno. Modelo Formal y Definición de asignaciones. Asignación Estable. Distintos modelos y Propiedades. Teorema de existencia y optimalidad. Teorema del hospital rural. Programación Lineal. Juegos de asignación muchos-a-uno y muchos-a-muchos. Preferencias. Distintos conceptos de estabilidad. Relaciones entre conceptos de estabilidad. Teoremas de existencia. Optimalidad. Reticulados.

20. Modelos de asignación bilateral II. 

Juegos de asignación uno-a-uno con indiferencias. Modelo Formal. Distintos conceptos de estabilidad. Relaciones entre conceptos de estabilidad. Optimalidad. Reticulado. Incentivos. Mecanismos estables optimales. Mecanismos estables no manipulables. Teorema de imposibilidad de Roth. Mecanismos estables no manipulables: Restricción de dominio. Parcial no manipulabilidad. Equilibrios de Nash y estabilidad. Parcial estabilidad por grupos. Equilibrios de Nash información incompleta.

21. Introducción a la Teoría de Juegos. 

Juegos normales. Juegos extensivos. Juegos repetidos. Equilibrio de Nash. Eliminación de estrategias dominadas. Equilibrio correlacionado. Equilibrio de subjuego perfecto.