PROBLEMAS DEL TEOREMA DE PITAGORAS

Teorema de Pitágoras: sea un triángulo rectángulo de catetos a y b e hipotenusa h (el lado opuesto al ángulo recto). Entonces, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos:

Resolvemos:

En el rojo, la hipotenusa es b.
En el azul, la hipotenusa es a.
En el verde, la hipotenusa es a.
En el naranja no podemos hablar de hipotenusa y catetos porque no se trata de un triángulo rectángulo (es un triángulo obtusángulo).

Recordemos que:

el triángulo es rectángulo porque tiene un ángulo recto, es decir, un ángulo de 90 grados ó π/2 radianes;
la hipotenusa es el lado opuesto al ángulo recto;
las 3 últimas fórmulas anteriores se obtienen de la primera (haciendo la raíz cuadrada en ambos lados).

Nota: h siempre es mayor que los dos catetos, es decir, h > a y h > b.

Nota 2: en el Problema 12 ofrecemos una demostración geométrica del teorema.

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Curiosidades:

El teorema de Pitágoras es uno de los resultados más conocidos de las matemáticas y también uno de los más antiguos. Existen cientos de demostraciones del mismo.
La pirámide de Kefrén (siglo XXVI a. C.) fue construida en base al llamado triángulo sagrado egipcio, que es el triángulo rectángulo de lados 3, 4 y 5.
La comprensión del teorema es sencilla y tiene muchas aplicaciones en la vida cotidiana, como veremos en los problemas de esta página. No obstante, también tiene sus aplicaciones en las matemáticas avanzadas.

Problemas resueltos

Problema introductorio

Para poder aplicar el teorema de Pitágoras es importante distinguir la hipotenusa de los catetos. Señalad la hipotenusa de los siguientes triángulos:

Problema 1

Calcular la hipotenusa del triángulo rectángulo cuyos catetos miden 3 y 4 centímetros.
Calcular la hipotenusa del triángulo rectángulo cuyos catetos miden 1 centímetro.

Apartado 1: sabemos la medida de los catetos (a y b)

a = 3 cm, b = 4 cm

Aplicando el teorema de Pitágoras podemos calcular la hipotenusa:

Por tanto, la hipotenusa mide 5 centímetros. Representación del triángulo:

Problema 2

Si la hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 2cm y uno de sus lados mide 1cm, ¿cuánto mide el otro lado?

Resolvemos:

Llamamos a los catetos

a y b y a la hipotenusa h. Luego los datos que tenemos son:

Por Pitágoras, sabemos que tiene que cumplirse

H2 = a2 + b2

Ahora, despejamos la b2 en la ecuación:

Tenemos la b al cuadrado, para calcularla, hacemos la raíz cuadrada:

Nota: hemos escrito los signos positivo y negativo porque es lo que matemáticamente debemos hacer, pero como b representa la longitud de un cateto, no puede ser un número negativo. Por tanto, el cateto mide