Tema 3
Potencias, notación científica, y raíz cuadrada.
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Este tema tiene dos partes principales (aunque la primera es bastante mayor que la segunda)
Potencias y notación científica
Raíz cuadrada.
Además, volveremos las operaciones combinadas de los temas 1 y 2.
PARTE 1: POTENCIAS Y NOTACIÓN CIENTÍFICA.
PARTE 1: POTENCIAS Y NOTACIÓN CIENTÍFICA.
Una potencia no es más multiplicar varias veces un mismo número. Llamamos potencia de base a y exponente n al producto de un número a por si mismo n-veces. De momento sólo vamos a considerar potencias dónde la base sea un número entero y el exponente sea un número natural o cero.
Para poder multiplicar o dividir potencias, es decir, para calcular el producto o hacer el cociente de dos potencias necesitamos que tengan misma base o mismo exponente.
Si las potencias tienen la mismo exponente:
Producto de potencias del mismo exponente.
Cociente de potencias del mismo exponente (b≠0).
Si las potencias tienen la misma base:
Producto de potencias de la misma base.
Cociente de potencias de la misma base (a≠0).
Potencia de una potencia.
Además:
1 elevado a cualquier número es uno.
0 elevado a cualquier número es cero.
-1 elevado a cualquier número es uno o menos uno, dependiendo de si el exponente es par (1) o impar (-1)
Cualquier número elevado a uno es él mismo.
Cualquier número elevado a cero es uno.
Pero, si cualquier número elevado a cero es 1 y cero elevado a cualquier número es 0, ¿cuánto vale 0 elevado a cero?
En este caso decimos que el valor de cero elevado a cero es indefinido o indeterminado (y no lo estudiaremos en este curso).
Ejercicios sobre operaciones con potencias
Al principio del tema dijimos "de momento sólo vamos a considerar potencias dónde la base sea un número entero y el exponente sea un número natural o cero". Pues bien, ha llegado el momento de usar potencias donde el exponente también pueda ser negativo.
Una potencia de exponente negativo es la inversa de la potencia con exponente positivo:
IMPORTANTE: Un exponente negativo no implica que el resultado sea negativo.
La notación científica se utiliza para expresar números muy grandes (la masa del Sol) o muy pequeñas (la masa de un glóbulo rojo) como potencias de 10. Los números en notación científica se escriben de la forma a·10^p, dónde es exponente p se llama orden de magnitud y a es cualquier número entre 1 y 9 (ambos incluidos).
En el ejemplo anterior, la base es 10 (y debe serlo siempre en notación científica), el orden de magnitud es 8 (porque el exponente de la potencia de base 10 es 8) y el 1,24 es el coeficiente, y su parte entera sólo podrá ser 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 o 9.
Ejemplos:
Un protón tiene un radio de 0,000 000 000 000 000 5 mm. Este número en notación científica sería 5·10^(-16) mm.
Saturno tiene una superficie de 42 700 000 000 km². Este número en notación científica sería 4,27·10^(10) km².
IMPORTANTE: Al usar la notación científica siempre hay que expresar el resultado con sus unidades.
PARTE 2: RAÍZ CUADRADA.
PARTE 2: RAÍZ CUADRADA.
Un número a es la raíz cuadrada exacta de otro número b si al elevar a al cuadrado se obtiene b. Un número es un cuadrado perfecto si su raíz cuadrada es exacta.
Ejemplos:
Como √4=2 (porque 2²=4) decimos que 2 es la raíz cuadrada de 4 y que 4 es un cuadrado perfecto.
Como √25=5 (porque 5²=25) decimos que 5 es la raíz cuadrada de 25 y que 25 es un cuadrado perfecto.
Como √100=10 (porque 10²=100) decimos que 10 es la raíz cuadrada de 100 y que 100 es un cuadrado perfecto.
Además, los números que son cuadrados perfectos se pueden representar formando cuadrados (al dibujarlos).
Como 3²=9 (recuerda que esto significa 3²=3·3=9), la raíz cuadrada de 9 vale 3 (es decir, √9=3).
Pero, (-3)² también vale 9, porque (-3)²=(-3)·(-3)=+9, por lo tanto la raíz cuadrada de 9 también vale -3 (es decir, √9=-3).
Todas las raíces cuadradas tienen dos soluciones: √9=3 y √9=-3
Podemos escribirlo como en el caso anterior (√9=3 y √9=-3) o usar un nuevo signo: el "más/menos" y decir que √9=±3
Por lo tanto:
Si a>0, √a tendrá dos soluciones, y ambas serán opuestas (de signo distinto).
Si a=0, √a tendrá una solución, el cero (pues 0²=0 y +0 y -0 son el mismo número).
Si a<0, √a no tendrá soluciones reales.
Cuando el número no es un cuadrado perfecto (como en el caso del 14), no podemos obtener un cuadrado al dibujarlo, y decimos que la raíz no es exacta (es decir, no hay ningún número natural que elevado al cuadrado nos de 14).
Pero, si nos fijamos en el dibujo, sí vemos que hemos formado un cuadrado de 3x3 (9 bolitas) y nos sobran 5, por lo tanto, podemos decir que √14=3 con resto=5, siendo el resto el número de bolitas que nos sobran al haber construido el cuadrado lo más grande posible (podemos construir un cuadrado de 3x3 bolitas, pero ya no tenemos suficientes para un cuadrado de 4x4).
IMPORTANTE:
√14=3 con resto=5 significa que la raíz de 14 es un número que está entre 3 (puedo formar un cuadrado 3x3) y 4 (no puedo formar un cuadrado 4x4), por lo tanto, 3<√14<4.
En el caso de √14 es fácil verlo porque es un número pequeño y puedo pintar bolitas, pero, ¿cómo estimo el valor de números más grandes?
Ejemplo:
Para estimar la raíz de 123, buscamos un número que al cuadrado sea cuadrado perfecto y que sea menor que 123. Por ejemplo, 100 es menor que 123 y √100=10, por lo tanto, 10²<123.
¿Será 11² también menor que 123? Sí, porque 11²=11·11=121, por lo tanto 11²<123.
¿Será 12² también menor que 123? No, porque 12²=12·12=144, que es mayor, por lo tanto ya sabemos que 11²<123<12², es decir, la raízde 123 estará entre 11 y 12 (11<√123<12)
REPASO: JERARQUÍA DE LAS OPERACIONES.
REPASO: JERARQUÍA DE LAS OPERACIONES.
Si tenemos una operación combinada en la que aparezcan potencias o raíces cuadradas, esto será lo primero que hay que hacer después de quitar los paréntesis, por lo tanto, la jerarquía de las operaciones queda de la siguiente forma:
Los paréntesis. Siempre, es lo más importante. Si hay muchos paréntesis, resolvemos de dentro hacia afuera.
Las potencias y raíces. En el caso de que haya más de una, las resolvemos de izquierda a derecha. ¡Cuidado con los signos!
Las multiplicaciones y divisiones. En el caso de que haya más de una, de izquierda a derecha respetando siempre la regla de los signos.
Las sumas y restas. En el caso de que haya más de una, las resolvemos de izquierda a derecha.
Pero, ¿Y cómo calculamos las potencias y raíces de fracciones?
La potencia de una fracción ya sabemos lo que vale, es lo mismo que calcular el cociente de potencias del mismo exponente (b≠0).
En el caso de que el exponente sea negativo, lo mismo, simplemente tenemos que usar la fracción inversa (a≠0, b≠0).
Y con las raíces, exactamente igual: la raíz de una fracción es la raíz del numerador partido por la raíz del denominador (b≠0).
Vamos a practicar las operaciones combinadas. Pulsa en el siguiente botón. ACTIVA las opciones de raíces ni potencias.
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