Tema 1
Divisibilidad. Números enteros.
Este tema tiene dos partes principales.
En la segunda parte trabajaremos con múltiplos y divisores, factorizaremos números y calcularemos el mcm y el mcd.
En segunda parte trabajaremos con números enteros y sus operaciones.
PARTE 1: MÚLTIPLOS Y DIVISORES.
Un número es múltiplo de otro si es el resultado de multiplicar el segundo por algún número natural, y un número es divisor o factor de otro si la división del segundo entre el primero es exacta (es decir, el resto de dividir uno entre otro es cero).
Además, al hablar de la relación entre dos números a y b cuya división a:b es exacta, podemos decir que a es múltiplo de b, que b es divisor de a, o que a es divisible entre b. Todos estos enunciados significan lo mismo.
Por ejemplo, el número 8 es múltiplo de 4, porque existe un número natural (el 2) que al multiplicarlo por 4, nos da 8 (4·2=8).
El número 8 no es múltiplo de 3, porque no hay ningún número natural que al multiplicarlo por 3 nos de 8 (3·2=6 pero 3·3 ya es 9).
Además, 4 es divisor de 8, porque 8:4=2, y como el resto es cero, la división es exacta (8 es divisible entre 4)
Pero al dividir 8 entre 3 obtenemos que el cociente es igual a 2 y nos queda también 2 de resto, por lo que 3 no es divisor de 8.
Para saber si un número es divisor de otro, hay una serie de criterios que nos permiten saber si un número es divisible entre otro sin tener que hacer la división. Pulsa en los siguientes botones para ver (y practicar) esos criterios.
Vamos a practicar el cálculo de múltiplos y divisores.
INSTRUCCIONES
Haz click para explotar cada globo, según nos pidan que sea o no múltiplo
Cada pantalla completada vale 1.5 puntos, pero los fallos penalizan 1 punto
Podemos hacer tantas pantallas como queramos
Se conservará la información de la nota más alta alcanzada
Cuando hayamos explotado todos los globos pedidos, pulsamos en "Ya tengo todos" para que se sumen los puntos
Utiliza los criterios del 2, 3, 5, 9, 10 y 11 para pinchar en los globos que nos pidan.
(Si no cargase la actividad, pincha aquí)
Utiliza los criterios del 4, 6, 7, 9 y 11 para pinchar en los globos que nos pidan.
(Si no cargase la actividad, pincha aquí)
Una vez calculados todos los divisores de un número, decimos que un número es primo si solo tiene dos divisores, el 1 y él mismo. Si tiene más de dos divisores es un número compuesto.
¿Y el número 1? ¿Es primo o compuesto?
Pues ni una cosa ni la otra. El número 1 solo tiene un divisor: el 1, y para ser primo se necesitan dos (y para ser compuesto más de dos), por lo que el 1 no es primo ni compuesto, y solemos decir que es una unidad.
¿Y el número 0?
Del número cero no vamos a hablar en este tema por dos motivos. El primero es que hemos considerado que el cero no es un número natural (y sí, es una consideración, recuerda lo que hablamos en clase), pero el segundo motivo y más fundamental es que no se puede dividir entre cero. Pero de eso hablaremos en los siguientes temas.
Pincha en los números primos o en los que no sean primos (según pida el ejercicio una cosa u otra).
(Si no cargase la actividad, pincha aquí)
Vamos a calcular todos los divisores de dos números, por ejemplo, el 30 y el 36:
Divisores del 30: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15 y 30
Divisores del 36: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 y 36
Si nos fijamos en los divisores que hemos obtenido, podemos ver que algunos divisores son comunes a los dos números, es decir, están entre los divisores del 30 y los del 36.
Divisores del 30: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15 y 30
Divisores del 36: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 y 36
Al máximo de estos divisores comunes le damos el nombre de máximo común divisor (sí, los matemáticos no somos muy originales poniendo nombres).
En el caso de que el máximo común divisor de dos números sea el 1 (porque el 1 siempre es divisor), decimos que esos dos números son primos entre sí.
Por ejemplo, el 30 y el 77 son primos entre sí, porque el único divisor común que tienen (y por lo tanto, el máximo) es el 1.
Divisores del 30: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15 y 30
Divisores del 77: 1, 7, 11 y 77
Vamos a calcular ahora algunos múltiplos de esos dos números (mayores que cero). Esta vez no podemos calcular todos, porque múltiplos hay infinitos.
Múltiplos del 30: 30, 60, 90, 120, 150, 180, 210, 240, 270...
Múltiplos del 36: 36, 72, 108, 144, 180, 216, 252, 288, 324...
Si volvemos a fijarnos, también podemos encontrar múltiplos comunes:
Múltiplos del 30: 30, 60, 90, 120, 150, 180, 210, 240, 270...
Múltiplos del 36: 36, 72, 108, 144, 180, 216, 252, 288, 324...
Al mínimo de estos múltiplos comunes le damos el nombre de (adivina...) mínimo común múltiplo.
En los casos de nuestro ejemplo diríamos que mcm(30,36)=180 y mcm(30,36)=6
Volvamos de nuevo a ver los divisores (o factores) del número 30:
Divisores del 30: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15 y 30
Si nos fijamos de nuevo, hay algunos divisores que además de ser factores del número 30, son números primos.
Divisores del 30: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15 y 30
A estos factores que además de divisores, también son primos, les llamamos factores primos.
Y estos factores primos son especialmente interesantes porque todos los números que no sean primos pueden descomponerse en un producto de varios números hasta llegar al punto de que todos esos números sean primos. El 30 no es primo, es compuesto, así que podemos descomponerlo de esta forma:
30=15·2
Pero aquí no paramos, porque 15 es igual a 3 · 5, por lo tanto:
30=2·3·5
Y ya está, ya tenemos el número 30 expresado como un producto de factores primos. Ya hemos factorizado el número 30.
¡Vamos a practicar la factorización!
(Si no cargase la actividad, pincha aquí y ajusta la pantalla para que coincidan los números con la barra de factorización)
Factorizar un número es muy útil para varias cosas, y entre ellas está que nos facilita mucho calcular el mcm y el mcd de varios números.
El máximo común divisor de varios números es igual al producto de sus factores primos comunes elevados al menor exponente.
El mínimo común múltiplo de varios números es igual al producto de sus factores primos comunes y no comunes, elevados al mayor exponente.
Si factorizamos los número 30 y 36 obtenemos:
30=2·3·5
36=2·2·3·3=2²·3²
Por lo tanto, el máximo común divisor será el producto de los factores primos comunes elevados al menor exponente (2·3=6) y el mínimo común múltiplo será el producto de los comunes y no comunes elevados al mayor exponente (2²·3²·5=180), que coincide con los que habíamos calculado antes por el método de los múltiplos y divisores.
Vamos a esta parte del tema resolviendo varios problemas para practicar el cálculo del mcm y el mcd.
PARTE 2: NÚMEROS ENTEROS
Los números surgen por la necesidad de contar. Los pueblos primitivos usaban para contar los dedos, muescas, piedras, etc. Cuando necesitaron escribir cantidades cada vez más grandes, aparecieron los distintos sistemas de numeración. Nosotros usamos principalmente el sistema decimal (llamado así porque utiliza 10 números, del 0 al 9), pero también existen otros muchos sistemas como el binario (usado por los ordenadores), el sexagesimal (utilizado en la antigua babilonia) o el sistema de numeración romano (I, II, III, IV, V...).
La ventaja del sistema decimal frente al resto es que es un sistema posicional, es decir, el valor que representa una cifra en un número depende de la posición que ocupe en dicho número.
Por ejemplo, en el número 303, vemos que aparece dos veces el número 3, pero ambos significan cosas distintas, pues el primer 3 está representando 3 centenas (300 unidades) mientas que el último tres son tan sólo tres unidades.
El conjunto de los números naturales {1, 2, 3, 4…} se representa con la letra ℕ. (Recuerda que en ocasiones incluimos también al 0 dentro de los números naturales)
¿Pero, y qué pasa cuando queremos expresar deudas? Existen situaciones de la vida diaria en la que la utilización de los números naturales no es suficientes. Debemos entonces construir un nuevo tipo de números.
El conjunto de los números enteros {...-2, -1, 0, 1, 2...} se representa con la letra ℤ, y dentro de él están todos los números positivos (1, 2, 3, 4...), todos los números negativos (-1, -2, -3, -4...) y el cero.
Además, todos los números naturales son enteros, pero no todos los enteros son naturales.
Para representar los números en la recta numérica, primero señalamos el cero (el origen), y escribimos el 1 a su derecha, a cualquier distancia. Con esa misma distancia realizamos marcas a su izquierda y derecha para construir así el resto de números.
El valor absoluto de un número entero a representa su distancia al cero, y lo denotamos por |a|. El opuesto de un número entero a es otro número entero con el mismo valor absoluto y signo contrario, y lo denopamos por Op(a)
Vamos a calcular el valor absoluto y el opuesto de los siguientes números enteros:
+3 |+3| = +3 Op(3) = -3
-5 |-5| = +5 Op(-5) = +5
-19 |-19| = +19 Op(-19) = +19
+20 |+20| = +20 Op(+20) = -20
Para ordenar números enteros los ordenamos tal y como aparecen en la recta numérica, de izquierda a derecha.
Por último, al sumar, restar, multiplicar y dividir números enteros seguimos utilizando las mismas propiedades que ya conocíamos para los números naturales:
Propiedad conmutativa: a+b=b+a a·b=b·a
Propiedad asociativa: (a+b)+c=a+(b+c) (a·b)·c=a·(b·c)
Propiedad distributiva: x·(a+b)=xa+xb (si la hacemos en sentido contrario se le suele llamar "sacar factor común")
Elemento neutro: a+0=0+a=a a·1=1·a=a
Vamos a practicar estas propiedades. Pulsa en los botones para decidir qué propiedad quieres repasar.
Pero, ¿y qué pasa si aparecen varias operaciones a la vez?
En ese caso tenemos que definir una forma de realizar todas las operaciones en un orden determinado. Es lo que llamamos prioridad de operaciones, y el orden en el que las realizamos es el siguiente:
Los paréntesis. Siempre, es lo más importante. Si hay muchos paréntesis, resolvemos de dentro hacia afuera.
Las multiplicaciones y divisiones. En el caso de que haya más de una, las resolvemos de izquierda a derecha.
Las sumas y restas. En el caso de que haya más de una, las resolvemos de izquierda a derecha.
Además, para multiplicar números enteros utilizamos la llamada regla de los signos.
Vamos a practicar las operaciones combinadas. Pulsa en el siguiente botón. No actives las opciones de raíces ni potencias, que esas forman parte de los siguientes temas (no las hemos visto aún).