Tema 1

Los números surgen por la necesidad de contar. Los pueblos primitivos usaban para contar los dedos, muescas, piedras, etc. Cuando necesitaron escribir cantidades cada vez más grandes, aparecieron los distintos sistemas de numeración. Nosotros usamos principalmente el sistema decimal (llamado así porque utiliza 10 números, del 0 al 9), pero también existen otros muchos sistemas como el binario (usado por los ordenadores), el sexagesimal (utilizado en la antigua babilonia) o el sistema de numeración romano (I, II, III, IV, V...).

La ventaja del sistema decimal frente al resto es que es un sistema posicional, es decir, el valor que representa una cifra en un número depende de la posición que ocupe en dicho número.

El conjunto de los números naturales {1, 2, 3, 4…} se representa con la letra ℕ

Las principales operaciones que podemos hacer con los números naturales son la suma, resta, multiplicación y división. Vamos a repasar algunas de sus propiedades más importantes:

Propiedad conmutativa: 13+87=87+13 11·2=2·11

Propiedad asociativa: (4+5)+6=4+(5+6) (2·3)·4=2·(3·4)

Propiedad distributiva: 2·(3+4)=2·3+2·4 (si la hacemos en sentido contrario se le suele llamar "sacar factor común")

Pero, ¿y qué pasa si aparecen varias operaciones a la vez?

En ese caso tenemos que definir una forma de realizar todas las operaciones en un orden determinado. Es lo que llamamos prioridad de operaciones, y el orden en el que las realizamos es el siguiente:

1. Los paréntesis. Siempre, es lo más importante. Si hay muchos paréntesis, resolvemos de dentro hacia afuera.

2. Las multiplicaciones y divisiones. En el caso de que haya más de una, las resolvemos de izquierda a derecha.

3. Las sumas y restas. En el caso de que haya más de una, las resolvemos de izquierda a derecha.

Un número es múltiplo de otro si es el resultado de multiplicar el segundo por algún número natural, y un número es divisor o factor de otro si la división del segundo entre el primero es exacta (es decir, el resto de dividir uno entre otro es cero).

Además, al hablar de la relación entre dos números a y b cuya división a:b es exacta, podemos decir que a es múltiplo de b, que b es divisor de a, o que a es divisible entre b. Todos estos enunciados significan lo mismo.

Para saber si un número es divisor de otro, hay una serie de criterios que nos permiten saber si un número es divisible entre otro sin tener que hacer la división. Pulsa en los siguientes botones para ver (y practicar) esos criterios.

Una vez calculados todos los divisores de un número, decimos que un número es primo si solo tiene dos divisores, el 1 y él mismo. Si tiene más de dos divisores es un número compuesto.

¿Y el número 1? ¿Es primo o compuesto?

Pues ni una cosa ni la otra. El número 1 solo tiene un divisor: el 1, y para ser primo se necesitan dos (y para ser compuesto más de dos), por lo que el 1 no es primo ni compuesto, y solemos decir que es una unidad.

¿Y el número 0?

Del número cero no vamos a hablar en este tema por dos motivos. El primero es que hemos considerado que el cero no es un número natural (y sí, es una consideración, recuerda lo que hablamos en clase), pero el segundo motivo y más fundamental es que no se puede dividir entre cero. Pero de eso hablaremos en los siguientes temas.

Vamos a calcular todos los divisores de dos números, por ejemplo, el 30 y el 36:

Divisores del 30: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15 y 30

Divisores del 36: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 y 36

Si nos fijamos en los divisores que hemos obtenido, podemos ver que algunos divisores son comunes a los dos números, es decir, están entre los divisores del 30 y los del 36.

Divisores del 30: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15 y 30

Divisores del 36: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 y 36

Al máximo de estos divisores comunes le damos el nombre de máximo común divisor (sí, los matemáticos no somos muy originales poniendo nombres).

En el caso de que el máximo común divisor de dos números sea el 1 (porque el 1 siempre es divisor), decimos que esos dos números son primos entre sí.

Vamos a calcular ahora algunos múltiplos de esos dos números (mayores que cero). Esta vez no podemos calcular todos, porque múltiplos hay infinitos.

Múltiplos del 30: 30, 60, 90, 120, 150, 180, 210, 240, 270...

Múltiplos del 36: 36, 72, 108, 144, 180, 216, 252, 288, 324...

Si volvemos a fijarnos, también podemos encontrar múltiplos comunes:

Múltiplos del 30: 30, 60, 90, 120, 150, 180, 210, 240, 270...

Múltiplos del 36: 36, 72, 108, 144, 180, 216, 252, 288, 324...

Al mínimo de estos múltiplos comunes le damos el nombre de (adivina...) mínimo común múltiplo.

Volvamos de nuevo a ver los divisores (o factores) del número 30:

Divisores del 30: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15 y 30

Si nos fijamos de nuevo, hay algunos divisores que además de ser factores del número 30, son números primos.

Divisores del 30: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15 y 30

A estos factores que además de divisores, también son primos, les llamamos factores primos.

Y estos factores primos son especialmente interesantes porque todos los números que no sean primos pueden descomponerse en un producto de varios números hasta llegar al punto de que todos esos números sean primos. El 30 no es primo, es compuesto, así que podemos descomponerlo de esta forma:

30=15·2

Pero aquí no paramos, porque 15 es igual a 3 · 5, por lo tanto:

30=2·3·5

Y ya está, ya tenemos el número 30 expresado como un producto de factores primos. Ya hemos factorizado el número 30.

Factorizar un número es muy útil para varias cosas, y entre ellas está que nos facilita mucho calcular el mcm y el mcd de varios números.

El máximo común divisor de varios números es igual al producto de sus factores primos comunes elevados al menor exponente.

El mínimo común múltiplo de varios números es igual al producto de sus factores primos comunes y no comunes, elevados al mayor exponente.

Vamos a terminar el tema resolviendo varios problemas para practicar el cálculo del mcm y el mcd.