1. Marco teórico
1.1 La integral definida como área
Dada una función continua f(x) en el intervalo [a,b], la integral definida
∫f(x) dx
representa el área algebraica comprendida entre la curva, el eje OX y las rectas verticales x=a y x=b. El resultado es positivo cuando la curva está por encima del eje y negativo cuando está por debajo.
1.2 Primitiva o antiderivada
Una función F(x) es primitiva de f(x) si F′(x)=f(x). Las primitivas de una misma función difieren en una constante:
F(x)+C, C∈R
Para calcular áreas se toma convencionalmente C=0.
1.3 Regla de Barrow
La Regla de Barrow conecta la primitiva con el cálculo del área:
∫(x) dx=[F(x)]ab=F(b)−F(a)\int_a^b f(x)\,dx = \Big[F(x)\Big]_a^b = F(b) - F(a)∫abf(x)dx=[F(x)]ab=F(b)−F(a)
Es decir, basta evaluar la primitiva en los extremos del intervalo y restar.
1.4 Áreas con cambio de signo
Cuando la función cambia de signo en el interior del intervalo, la integral algebraica no coincide con el área geométrica. En ese caso hay que:
Localizar las raíces de f(x)f(x) f(x) en [a,b][a, b] [a,b] — los puntos donde la curva corta al eje OX.
Dividir el intervalo en subintervalos donde ff f no cambia de signo.
Calcular la integral en cada subintervalo con Barrow.
Sumar los valores absolutos de cada área parcial:
Atotal=∣I1∣+∣I2∣+⋯+∣In∣
1.5 Problema inverso: hallar el límite dado el área
Un problema menos habitual —pero igualmente relevante, apareció en el examen de Junio 2026— es el inverso: conocida el área, encontrar el límite m>0 tal que
∫0mf(x) dx=S\int_0^m f(x)\,dx = S∫0mf(x)dx=S
El procedimiento es:
Calcular la primitiva F(x).
Aplicar Barrow: F(m)−F(0)=S.
Plantear la ecuación resultante (cuadrática o cúbica en mm m).
Resolver y tomar la solución positiva.