Invitados

 Mini-Curso: Superficies algebraicas singulares y 4-variedades diferenciables exóticas 

Resulta que la dimensión 4 resalta entre todas las dimensiones a través de fenómenos patológicos únicos. A su vez, la dimensión 4 está en directa interacción con superficies complejas algebraicas no singulares y singulares. Nuestro foco estará en las singulares y como estas producen variedades diferenciables exóticas. Las charlas se centrarán en el problema de encontrar estructuras exóticas en blow-ups del plano proyectivo complejo. En la primera charla hablaremos sobre el plano proyectivo, configuraciones de curvas planas racionales, y blow-ups. En la segunda mostraremos cómo estas configuraciones se usan para construir blow-ups exóticos del plano, enunciando problemas abiertos. 

 Mini-Curso:  Variedades diferenciables exóticas y sus simetrías

En la primera de dos charlas voy a hablar sobre esferas exóticas y variedades exóticas en general, cómo pueden construirse y cómo pueden clasificarse. En la segunda charla abordaremos la siguiente pregunta: sea M una variedad diferenciable compacta y N una variedad diferenciable homeomorfa pero no difeomorfa a M, ¿qué tan simétrica puede llegar a ser N con respecto a M?

 Conferencia: Álgebras de Lie y sus representaciones irreducibles

En esta charla introductoria, se mostrarán las ideas básicas en teoría de representaciones y uno de sus problemas fundamentales, el cual es encontrar todas las representaciones irreducibles. Nos centraremos en el caso de álgebras de Lie simples y afines. Para el primer caso, se dará un recorrido histórico mostrando cómo parte de su solución se alcanza realizando las representaciones en términos geométricos. Para el segundo caso, se mostrarán algunos resultados clásicos y luego se presentarán algunos resultados recientes para álgebras de Lie afines sobre sus representaciones irreducibles, categorías y bases canónicas.  

 Conferencia: Invariantes de $4$-variedades y teoría cuántica de campos

La topología de baja dimensión ha experimentado varias revoluciones en los últimos cuarenta años. Para muchas de ellas, las semillas de la revolución fueron sembradas en la física teórica y, más particularmente, en el trabajo de Edward Witten. Esta conferencia ofrecerá una revisión informal de algunos de los antecedentes detrás de estas ideas.

Conferencia: ¿Cuáles manifolds proyectivos admiten fibrado Tangente Ulrich? 

En la década de los años 80, Ulrich introdujo los Módulos Cohen-Macaulay lineales máximamente generados en contextos algebraicos, los cuales posteriormente se denominaron Módulos de Ulrich. En los primeros años del 2000, D. Eisenbud y F. Schreyer, en su trabajo titulado "Resultants and Chow forms via exterior syzygies", establecieron por primera vez un vínculo explícito entre los Módulos de Ulrich y la geometría algebraica. Posteriormente, A. Beauville, con sus contribuciones en 2015 y 2016, revitalizó estos objetos en el ámbito de la geometría algebraica, marcando el inicio de una fase activa y dinámica en la investigación.

En este contexto, la pregunta central en este campo se centra en determinar si, para toda variedad proyectiva suave X y divisor amplio L en X, existe o no un fibrado de Ulrich asociado. Este problema ha sido extensamente explorado, y se han obtenido algunos resultados significativos. Por ejemplo, se ha demostrado que todas las superficies abelianas y las superficies K3 admiten fibrados de Ulrich. También se ha establecido que las curvas 3-folds de Fano con índice par poseen dichos fibrados.

En colaboración con Pedro Montero, Yulieth Prieto y Vladimiro Benedetti, se ha demostrado que las únicas variedades que admiten un fibrado tangente de Ulrich son la cúbica torcida y la superficie de Veronese.

En esta charla, daremos una pequeña introducción a los fibrados de Ulrich y presentaremos el resultado principal del paper publicado como "Projective manifolds whose tangent bundle is Ulrich"  

Conferencia: Estructuras de Conglomerado vía Teoría de Representaciones de álgebras

De un lado, en 2002 Fomin y Zelevinsky introdujeron las álgebras de conglomerado con el propósito de usarlas en el estudio de bases canónicas duales, sin embargo, en poco tiempo aparecieron conexiones interesantes o sorprendentes con otras áreas que aumentaron la curiosidad sobre estas álgebras.

De otro lado, actualmente es común que la teoría de representaciones de álgebras se ocupe del estudio de objetos inescindibles en categorías construidas a partir de las álgebras.

En esta charla evidenciaremos que las álgebras de conglomerado y la teoría de representaciones tienen una interesante conexión. Prestaremos especial atención a la relación presentada por Caldero-Chapoton en el 2005 para los diagramas ADE de tipo Dynkin.

Mediante ejemplos mostraremos cómo asociarle una categoría a un objeto combinatorio que podría ser una triangulación de una superficie o un diagrama de cuerdas conocido como diagrama de Postnikov.

Durante el proceso hablaremos de algunos resultados interesantes de trabajos conjuntos con Labardini-Fragoso y Baur-Pasquali.