Sistema de Ecuaciones: Sustitución

¿Qué es un sistema de ecuaciones?

Es un conjunto de dos o más ecuaciones con varias incógnitas en la que deseamos encontrar una solución común.

Ecuación lineal con dos variables

Es una igualdad en la que se desconocen dos términos a los que se le denominan incógnitas. La forma estándar para sistemas de ecuaciones lineales en dos variables es:

Ax+By=C

Donde A y B son coeficientes de la ecuación, X e Y las variables y C el término independiente.

Sistema de ecuaciones 2 x 2

Un sistema de ecuaciones 2x2 está compuesto por dos ecuaciones y dos incógnitas, se representa de la siguiente manera:

Ax + By= C

Dx + Ey= F

Ejemplo:

3x + y= 5

4x + 2y= 8

¿Cómo resolver un sistema de ecuaciones con dos incógnitas?

Existen varios métodos para solucionar ecuaciones lineales con dos incógnitas. Uno de estos métodos es el de Sustitución.

Método de sustitución

El método de sustitución consiste en aislar en una ecuación una de las dos incógnitas para sustituirla en la otra ecuación. Este método es aconsejable cuando una de las incógnitas tiene coeficiente 1.

Ejemplo 1:

1. Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones 2x2 mediante el método de sustitución:

3x + y = 5

4x + 2y = 8

Primero, nombramos cada ecuación de la siguiente manera:

Ecuación 1: 3x + y = 5

Ecuación 2: 4x + 2y = 8

Segundo, identificamos la variable que tenga coeficiente uno (1). Esta es la "Y" de la ecuación 1.

Tercero, aplicamos propiedad uniforme de la igualdad, restando a ambos lados de la igualdad "3x" para despejar "Y" en la ecuación 1, así:

3x - 3x + y = 5 - 3x

Luego, obtenemos:

0 + y = 5 - 3x

y = 5 - 3x

Cuarto, reemplazamos Y= 5 - 3x, en la ecuación 2, es decir, donde aparece "Y" escribimos 5 - 3x, así:

4x + 2(5 - 3x) = 8

Quinto, aplicamos la propiedad distributiva para desarrollar la ecuación, multiplicando 2 por 5 y 2 por -3x, de la siguiente manera:

4x + 2(5) - 2(3x) = 8

4x + 10 - 6x = 8

Sumamos o restamos términos semejantes, en este caso, 4x - 6x, así:

4x - 6x +10 = 8

-2x + 10 = 8

Sexto, aplicamos la propiedad uniforme de la igualdad, restando a ambos lados de la igualdad el número 10, y luego despejamos "X":

-2x + 10 -10 = 8 -10

-2x = -2

Luego, aplicamos la propiedad uniforme de la igualdad dividiendo a ambos lados por -2:

-2x/-2 = -2/-2

Por tanto, se obtiene: X=1

Séptimo, reemplazamos X=1 en la ecuación 1, así:

3(1) + y = 5

Obtenemos que:

3 + y = 5

Octavo, aplicamos la propiedad uniforme de la igualdad restando a ambos lados de la igualdad el número 3 para despejar "Y":

3 - 3 + y = 5 - 3

0 + y = 2

y = 2

De lo anterior se concluye que X=1 y Y=2

Noveno, finalmente reemplazamos X=1 y Y=2 en ambas ecuaciones para verificar el resultado:

3(1) + (2) = 5

4(1) + 2(2) = 8

Luego:

3 + 2= 5

4 + 4 = 8

Por tanto, la igualdad se cumple. Respuesta X=1 y Y=2

Ejemplo 2: Plantea las ecuaciones para la siguiente situación matemática y resuélvela:

La suma de dos número es 30, además la diferencia entre estos números es 8. ¿Cuáles son los números?

Primero, debemos plantear las ecuaciones, para ello, nombremos los números desconocidos con las letras "X" e "Y".

De acuerdo con el enunciado, la ecuación 1 queda de la siguiente forma:

x + y = 30

De acuerdo con el enunciado, la ecuación 2 queda de la siguiente forma:

x - y = 8

Por tanto, el sistema de ecuaciones queda así:

x + y = 30

x - y = 8

Segundo, seleccionamos una variable que tenga coeficiente uno (1). Esta puede ser "X" de la ecuación 1.

Tercero, aplicamos la propiedad uniforme de la igualdad, restando a ambos lados de la igualdad "Y" para despejar "X" en la ecuación 1, así:

x + y - y = 30 - y

x + 0 = 30 - y

x = 30 - y

Cuarto, reemplazamos X= 30 - y, en la ecuación 2, es decir, donde aparece "x" escribimos 30 - y, así:

x - y = 8 al reemplazar nos queda:

30 - y - y = 8

Sumamos o restamos términos semejantes, en este caso, -y - y

30 - 2y = 8

Quinto, aplicamos la propiedad uniforme de la igualdad, restando a ambos lados de la igualdad el número 30 y luego despejamos "Y":

30 - 30 - 2y = 8 -30

0 - 2y = - 22

-2y = -22

Luego, aplicamos la propiedad uniforme de la igualdad dividiendo a ambos lados por -2:

-2y/ -2 = -22/-2

Por tanto, se obtiene: Y=11

Sexto, reemplazamos Y=11 en la ecuación 1, así:

x + 11= 30

Séptimo, aplicamos la propiedad uniforme de la igualdad restando a ambos lados de la igualdad el número 11 para despejar "X":

x + 11 - 11 = 30 - 11

x + 0 = 19

x = 19

De lo anterior se concluye que X=19 y Y=11

Octavo, finalmente reemplazamos X=19 y Y=11 en ambas ecuaciones para verificar el resultado:

19 + 11 = 30

19 - 11 = 8

Luego:

19 + 11= 30

19 - 11 = 8

Por tanto, la igualdad se cumple. Respuesta X=19 y Y=11

1. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones 2x2 mediante el método de sustitución:

a. x + 4y = 21

2x - 3y = 9

b. 7x + y = 19

4x + 3y = 23

c. 6x - y = 17

x + 5y = 39

2. Plantea las ecuaciones para la siguiente situación matemática y resuélvela:

La suma del doble de un número más el segundo es igual a 31, el triple del primer número menos el segundo es igual a 14 ¿Cuáles serán los números?

3. Plantea las ecuaciones para la siguiente situación matemática y resuélvela:

En un juego, 3 fichas blancas y 2 fichas rojas otorgan 20 puntos; mientras que 1 ficha blanca más tres fichas rojas otorgan 23 puntos ¿A cuántos puntos corresponde una ficha roja, y a cuántos una ficha blanca?