Programa

El programa comprende 6 cursos. Se llevarán a cabo dos cursos simultáneos en cada horario.

Estos cursos se dividen en dos bloques de tres: cursos de matemáticas “aplicadas” (Diferencias finitas y ecuaciones diferenciales, Regresión: un enfoque moderno, Redes neuronales profundas) y cursos de matemáticas “básicas” (o “puras”) (Análisis y optimización, Sistemas dinámicos, Topología de 3-variedades).

Cada participante elige, al momento de hacer su solicitud, si desea asistir al bloque aplicado o básico. Más información acerca de cada curso (y sus profesores) se puede hallar en la pestaña correspondiente.

Descripción de los cursos

Matemáticas Aplicadas

EL MODELO DE REGRESIÓN EN UN SENTIDO AMPLIO: DE GAUSS A LA CIENCIA DE DATOS ACTUAL

Eloísa Díaz y Miguel Nakamura

La palabra ÇregresiónÉ como método evoca muchos significados en contextos diferentes, lo cual conduce a un entendimiento infortunado en cuanto a sus verdaderos alcances y sus limitaciones. Aquí, se concibe que la variabilidad patente en observaciones experimentales de una variable, llamada de respuesta, deberá explicarse a través de un modelo probabilístico, con base en otras variables concurrentes, llamadas explicativas. Para cada observación se registra así la variable de respuesta y las explicativas. El uso principal del modelo de regresión es para realizar predicciones de la variable de respuesta, la cual corresponde a fenómenos aleatorios de interés, cuantificando de manera probabilística la calidad de dichas predicciones, lo cual es muy importante en muchas aplicaciones. Por aparte de la predicción, los métodos de regresión también son utiles para descubrir relaciones ocultas entre variables involucradas.

Carl Friedrich Gauss, uno de los grandes matemáticos de la historia, también fue uno de los primeros estadísticos visionarios al proponer en 1809 las ideas principales del Modelo de Regresión actual. Este modelo estadístico es central hoy para muchas aplicaciones importantes prácticamente en cualquier área, por ejemplo, Finanzas, Medio Ambiente, Bioestadística, Industria, Epidemiología, Medicina y Geología.

En el curso se presentarán las ideas centrales del Modelo de Regresión Lineal y No Lineal, así como posibles extensiones, procurando mostrar aplicaciones prácticas en diversas áreas. Estos modelos estadísticos participan como ingredientes importantes en muchos métodos empleados actualmente en Ciencia de Datos, Redes Neuronales e Inteligencia Artificial.

Duración del curso: 5 sesiones de 90 minutos cada una.

Prerrequisitos: Haber cursado Cálculo Diferencial de varias variables, Algebra Lineal y un curso básico de Probabilidad y Estadística.

Referencias:

a) Dobson, A.J. (2002, 2a edición). An Introduction to Generalized Linear Models. Chapman & Hall/CRC.

b) Kalbfleisch, J. G. (1985, Cap. 14). Probability and Statistical Inference. Springer Verlag.

c) Draper, N.R. y Smith, H. (1998). Applied Regression Analysis. John Wiley & Sons.

DIFERENCIAS FINITAS DE ALTO ORDEN PARA RESOLVER ECUACIONES DIFERENCIALES

Reymundo Itzá

Los modelos matemáticos y computacionales desempeñan un papel fundamental, e incluso crucial, en la toma de decisiones en la actualidad. Muchos de estos modelos se basan en ecuaciones diferenciales y se resuelven mediante diversas aproximaciones numéricas. Estas metodologías son tan efectivas que a menudo se pasa por alto el hecho de que generan aproximaciones en lugar de soluciones exactas a los problemas planteados.

Hace medio siglo, es posible que no se hubieran aplicado estos modelos, o en su defecto, no se habrían obtenido soluciones con la misma velocidad y certeza con la que se utilizan en la actualidad. En este curso, nos enfocaremos en el análisis de uno de los métodos más sencillos para estimar derivadas, que es el método de diferencias finitas.

Examinaremos las capacidades de la formulación original propuesta por Euler en 1768 y, de manera progresiva, mejoraremos esta solución numérica hasta llegar a los métodos más avanzados de la actualidad. Estos últimos pueden alcanzar una precisión cercana a la precisión de la máquina, incluso con un número reducido de puntos. En otras palabras, la capacidad de estos métodos superan la capacidad computacional actual.

Programa del curso: 8 horas.

El curso se dividir ́a en una parte teórica (3 horas) y otra práctica (5 horas).

Los temas son:

a) Introducción.

b) Diferencias finitas y series de Taylor.

c) Diferencias finitas y la teor ́ıa de la onda plana.

d) Métodos estándar de diferencias finitas de distintos ordenes de precisión.

e) Diferencias finitas de alto orden de alto orden de precisión usando formulaciones implícitas.

f ) Ejemplos y ejercicios de práctica.

Información adicional:

Nivel: Avanzado.

Prerrequisitos de los asistentes al curso: Cursos de Cálculo y Métodos Numéricos. De preferencia un curso básico de Ecuaciones Diferenciales.

Requisitos de hardware, software y material para impartir el curso: Matlab (equivalentemente Octave).

Referencias:

a) LeVeque, R. J. (2007). Finite difference methods for ordinary and partial differential equations: steady-state and time-dependent problems. Society for Industrial and Applied Mathematics.

b) Liu, Y., & Sen, M. K. (2009). A practical implicit finite-difference method: examples from seismic modelling. Journal of Geophysics and Engineering, 6(3), 231-249.

c) Uh Zapata, M., & Itza Balam, R. (2017). High-order implicit finite difference schemes for the two-dimensional Poisson equation. Applied Mathematics and Computation, 309, 222-244.

REDES NEURONALES PROFUNDAS

Mariano Rivera

En este curso de introducción a redes neuronales profundas se revisan los conceptos esenciales y revisan las técnicas utilizadas en el campo de la inteligencia artificial y el aprendizaje profundo. En este curso, los estudiantes adquieren una comprensión sólida de cómo funcionan las redes neuronales profundas, que son modelos de aprendizaje automático (machine learning) inspirados en la estructura del cerebro humano.

A través de una combinación de teoría y práctica, los participantes aprenden sobre la arquitectura de redes neuronales, la retropropagación, las funciones de activación, la optimización, y cómo aplicar estas redes para resolver problemas en campos como procesamiento de imágenes, visión por computadora y mucho más. Este curso sienta las bases para explorar temas más avanzados en el emocionante mundo del aprendizaje profundo.

Prerrequisitos:

Conocimiento del lenguaje de programación PYTHON.
Cálculo diferencial.
Deseable conocimiento de métodos numéricos y optimización básica (descenso de gradiente).

Matemáticas Básicas

MATEMÁTICAS A PARTIR DE LA OPTIMIZACIÓN

Héctor Chang

Entender las características de configuraciones óptimas es un problema recurrente en matemáticas y sus aplicaciones. Pasando por el Principio de Fermat, las ecuaciones de Euler-Lagrange, el Principio de Dirichlet, el principio de programación dinámica, la teoría de juegos, y finalmente las herramientas que sustentan los softwares de inteligencia artificial, todo se trata de un problema de optimización.

Sin embargo, para comprender a fondo la formulación de estos desafíos, se requiere una visión más amplia de la que comúnmente se adquiere en los cursos tradicionales de cálculo. El propósito de este taller es emprender este enriquecedor viaje.

Requisito: Cálculo multivariable.

TOPOLOGÍA DE LAS 3-VARIEDADES

Jesús Rodríguez

En este mini-curso estudiaremos variedades topológicas de dimensión 3. Estos objetos han sido ampliamente estudiados desde hace ya m ́as de cien años y se han logrado grandes avances en ellos como la prueba de G. Perelman de la conjetura de Poincaré.

El ́area de las matemáticas que trabaja con 3-variedades se llama Topología en Dimensión Baja; además de las 3-variedades se estudian otros objetos de baja dimensión como son los nudos, las superficies y las 4-variedades.

Iniciaremos revisando el caso 2-dimensional (el teorema de clasificación de Superficies) y brincaremos a dimensión 3 donde probaremos varios teoremas de descomposición de 3-variedades, algunos podrían ser la suma de factores primos, la descomposición JSJ y por ́ultimo el Teorema de Lickorish-Wallace sobre cirugías.

Prerrequisitos: Haber tomado un curso de Topología, en especial conocer la propiedad universal de la topología cociente. (Repasar el capítulo de topología cociente de [M])

[M] Introduction to Topology Class Notes General Topology Topology, 2nd Edition, James R. Munkres: https://faculty.etsu.edu/gardnerr/5357/notes/Munkres-22.pdf

SISTEMAS DINÁMICOS

Renato Iturriaga

Mostraremos cinco ejemplos de sistemas dinámicos que dan una impresión de los métodos y tipos de preguntas que se hacen en el ́area.

Sistemas lineales: Tiempo continuo y discreto.
Rotaciones en el círculo.
Shifts y transformaciones expansivas en el círculo.
Herradura de Smale.
Transformaciones ÒlinealesÓ en el toro. ́

Prerrequisitos: Cálculo en varias variables, ecuaciones diferenciales ordinarias y ́algebra lineal.

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