Ecuación de la recta 

En geometría analítica, una recta es un conjunto infinito de puntos alineados en una dirección. La ecuación de la recta es una expresión matemática que describe todos los puntos (x,y)(x,y) que pertenecen a esa recta. Dependiendo de cómo se exprese esta relación, existen diferentes formas de representar la ecuación de una recta. Las dos formas más comunes son:

1. Ecuación explícita de la recta

La ecuación explícita de una recta es la forma más utilizada y se expresa como:

y=mx+by=mx+b

Donde:

• mm es la pendiente de la recta, que indica su inclinación.

• bb es la ordenada al origen, que es el punto donde la recta corta al eje yy (es decir, el valor de yy cuando x=0x=0).

Características de la ecuación explícita:

• Es muy útil porque directamente relaciona yy con xx.

• La pendiente mm nos dice cómo cambia yy respecto a xx. Si m>0m>0, la recta es creciente; si m<0m<0, es decreciente; y si m=0m=0, la recta es horizontal.

• Es fácil graficar la recta con esta ecuación, ya que solo necesitas conocer la pendiente y el punto de corte con el eje yy.

Ejemplo:

La ecuación y=2x−3y=2x−3 tiene:

• Pendiente m=2m=2 (la recta es creciente).

• Ordenada al origen b=−3b=−3 (corta al eje yy en (0,−3)(0,−3)).

2. Ecuación implícita de la recta

La ecuación implícita de una recta se expresa en la forma:

Ax+By+C=0Ax+By+C=0

Donde:

• AA, BB y CC son constantes (números reales).

• AA y BB no pueden ser ambos cero al mismo tiempo.

Características de la ecuación implícita:

• Esta forma es más general que la explícita, ya que puede representar cualquier recta, incluidas las verticales (que no pueden expresarse en la forma explícita y=mx+by=mx+b).

• Es útil para realizar operaciones algebraicas, como encontrar intersecciones entre rectas o calcular distancias.

• Si B≠0B=0, puedes convertirla a la forma explícita despejando yy:

y=−ABx−CBy=−BA​x−BC​

Ejemplo:

La ecuación 2x−3y+6=02x−3y+6=0 es una ecuación implícita. Para convertirla a la forma explícita, despejamos yy:

−3y=−2x−6  ⟹  y=23x+2−3y=−2x−6⟹y=32​x+2

Aquí, la pendiente es m=23m=32​ y la ordenada al origen es b=2b=2.