Matematica III SEFA 2020/2021

A.A. 2020/2021, primo semestre. Matematica III (teoria ed esercitazioni), corso di laurea in Statistica, Economia, Finanza e Assicurazioni, 56 ore.

Orario: Mercoledi 16-18 aula III, Venerdì 14-17 aula III.

Orario di ricevimento: Giovedì 11-13, CU006 studio 120, oppure su appuntamento. Il ricevimento verrà svolto a distanza.

Libro di Testo: M. Bramanti, C. D. Pagani e S. Salsa. "MATEMATICA. Calcolo infinitesimale e algebra lineare". Seconda edizione. Zanichelli. In alternativa N. Fusco, P. Marcellini, C. Sbordone. Elementi di Analisi Matematica 2. Liguori editore.

Diario delle lezioni

Mercoledì 07/10, 16:00-18:00. Richiami su alcune definizioni e proprietà di R^n: spazio vettoriale, prodotto scalare euclideo, norma, distanza e loro proprietà. Elementi di topologia di R^n: insieme aperti, chiusi, frontiera, chiusura, interno e punti di accumulazione.

Venerdì 09/10, 14:00-15:00. Funzioni reali di più variabili reali. Dominio, grafico, insiemi di livello ed esempi.

Definizione di limite. Teoremi di unicità del limite, di somma, prodotto e quoziente (solo enunciati). Esempi. Successioni in R^n. Definizione di limite ed esempi.

15:00-17:00. Esempi di insiemi aperti, chiusi, frontiera, interno e chiusura. Verifiche di alcuni limiti.

Mercoledì 14/10, 16:00-18:00. Criterio per la non esistenza di limiti. Esempi. Funzioni vettoriali di più variabili reali, esempi, dominio, grafico. Definizione di limite per funzioni vettoriali di più variabili reali. Dimostrazione del seguente enunciato: Il limite di una funzione vettoriale esiste se e solo se esiste il limite di ciascuna componente. Funzioni continue: definizione con epsilon/delta e definizione mediante il limite.

Venerdì 16/10, 14:00:15:00. Funzioni continue: definizione con epsilon/delta e definizione mediante il limite. Prima il caso di una funzione scalare di più variabili e poi quello generale di una funzione vettoriale di più variabili. La somma, il prodotto, il quoziente (quando definito) e la composizione di funzioni continue sono ancora funzioni continue (enunciati senza dimostrazioni). Esempi: c_1x_1+...+c_nx_n è continua comunque si fissino c_1,...,c_n (con dimostrazione). Altri esempi di funzioni continue derivanti dal fatto che c_1x_1+...+c_nx_n è continua e dalle proprietà sopra elencate della somma/prodotto/quoziente e composizione.

15:00-17:00: Esercizi sui limiti.

Mercoledì 21/10, 16:00-18:00. Teorema degli zeri (solo enunciato). Esempi. Esempi per mostrare che le ipotesi di connessione e continuità sono necessarie. Insiemi compatti. Teorema di Weierstrass (solo enunciato). Esempi per mostrare che le ipotesi di compattezza e continuità sono necessarie. Caratterizzazione degli insiemi aperti e chiusi mediante funzioni continue. Proprietà di aperti e chiusi rispetto all'unione e all'intersezione (enunciati senza dimostrazioni).

Venerdì 23/10, 14:00-15:00. Derivate parziali. Richiami sulla definizione di derivata di una funzione reale di una variabile reale. Definizione, nel caso n=2, di derivata parziale rispetto ad x (rispetto ad y) in un punto (x_0,y_0). Esempi.

15:00-17:00. Coordinate polari ed esercizi sui limiti.

Venerdì 30/10, 14:00-15:00. Calcolo delle derivate di f(x,y)=x(y)^{1/3}. Definizione di gradiente. L'esistenza di derivate parziali non implica la continuità. Esempi. Definizione di funzione differenziabile. Formulazione equivalente mediante la nozione di o-piccolo.

15:00-17:00. Esercizi sul calcolo delle derivate.

Mercoledì 04/11, 16:00-19:00. Una funzione differenziabile in un punto è continua nel medesimo punto (enunciato e dimostrazione). Esempi di funzioni che hanno punti dove sono continue, esistono entrambe le derivate parziali, ma non sono differenziabili. La continuità delle derivate parziali in un aperto implica la differenziabilità (enunciato e dimostrazione). Esempi su come usare questo teorema per concludere che una funzione sia differenziabile. Definizione di funzione di classe C^1. Studio della differenziabilità della funzione f(x,y)=x(y)^(1/3).

Venerdì 06/11, 14:00-15:00. Definizione di piano tangente in punto. Il piano tangente in un punto esiste (ed è unico) se e solo se la funzione è differenziabile in quel punto (enunciato e dimostrazione). Esempi.

15:00-17:00. Esercizi sulla differenziabilità.

Mercoledì 11/11, 16:00-19:00. Derivate direzionali, definizioni ed esempi. Le derivate parziali come casi particolari di derivate direzionali. Formula del gradiente (enunciato e dimostrazione). L'esistenza di derivate direzionali non implica la continuità. L'esistenza di derivate direzionali e la continuità non implicano la differenziabilità. Esempi.

Interpretazione geometrica del vettore gradiente: se non è nullo e la funzione è differenziabile in quel punto indica la direzione in cui il tasso di accrescimento è massimo.

Venerdì 13/11, 14:00-15:00. Formule per il calcolo delle derivate di funzioni composte (enunciati senza dimostrazione). Esempi. Derivate seconde, definizioni ed esempi.

15:00-17:00. Esercizi su derivate direzionali e differenziabilità.

Mercoledì 18/11, 16:00-18:00. Teorema di Schwarz con dimostrazione. Matrice Hessiana, funzioni di classe C^2 in un aperto. Definizioni ed esempi. Formula di Taylor al secondo ordine con resto di Peano (enunciato e dimostrazione). Esempi.

Venerdì 20/11, 14:00-15:00. Estensione al caso di funzioni di più di due variabili dei concetti visti per funzioni in due variabili (enunciati senza dimostrazioni).

15:00-17:00. Esercizi su differenziabilità e derivate seconde.

Mercoledì 25/11, 16:00-18:00. Ripasso sulle forme quadratiche. Definizione di massimi e minimi (locali ed assoluti). Teorema di Fermat con dimostrazione. Definizione dei punti critici come i punti che annullano il gradiente.

Enunciato della condizione sufficiente del secondo ordine.

Venerdì 27/11, 14:00-15:00. Dimostrazione della condizione sufficiente del secondo ordine. Enunciato della condizione sufficiente del secondo ordine nel caso n=2. Esempi. Definizione ed esempi di sottoinsiemi di R^2 normali rispetto ad x o rispetto ad y.

15:00-17:00. Esercizi su massimi e minimi locali.

Mercoledì 02/12, 16:00-18:00. Insiemi normali in R^2. Definizione di integrale doppio di una funzione continua su un insieme normale. Formule di riduzione. Proprietà dell'integrale doppio: linearità, monotonia etc, etc. Funzioni vettoriali di più variabili: differenziabilità e matrice Jacobiana. Esempi. Formula per la matrice Jacobiana della composizione di due funzioni vettoriali. Enunciato del teorema di invertibilità locale. Esempi.

Venerdì 04/12, 14:00-15:00. Formula per il cambiamento di coordinate per integrali doppi. Uso delle coordinate polari per il calcolo di integrali doppi. Esempi. Integrali doppi generalizzati. Esempi.

15:00-17:00. Esercizi su integrali doppi.

Mercoledì 09/12, 16:00-18:00. Domini normali in R^3, integrali tripli e formule di riduzione. Esempi. Formula di cambiamento di coordinate per integrali tripli. Coordinate cilindriche e sferiche. Definizioni e calcolo delle Jacobiane.

Venerdì 11/12, 14:00-15:00. Teorema di derivazione sotto il segno di integrale. Funzioni implicite e teorema del Dini in due variabili. Esempi.

15:00-17:00. Esercizi su integrali tripli.

Mercoledì 16/12, 16:00-18:00. Massimi e minimi locali vincolati. Teorema dei moltiplicatori di Lagrange in due variabili (enunciato e dimostrazione). Teorema dei moltiplicatori di Lagrange in tre variabili sia nel caso di vincolo scalare che di vincolo vettoriale (enunciati senza dimostrazioni). Esempi.

18:00-19:00. Esercizi su massimi e minimi vincolati.

Venerdì 18/12, 14:00-17:00. Esercizi su massimi e minimi vincolati e integrali tripli.

Modalità d'esame:

La prenotazione su infostud è obbligatoria. Per la prova scritta gli studenti possono consultare un foglio (due facciate) sul quale hanno precedentemente scritto tutto ciò che ritengono possa essere loro utile. Non è possibile consultare altro.

La prova orale è obbligatoria se allo scritto si prende un voto maggiore di 26. Salvo diversa disposizione da parte del docente la prova orale è facoltativa se allo scritto si prende un voto minore di 27 (in questo caso si può confermare il voto preso allo scritto). Per l'accesso alla prova orale è necessario prendere almeno 18.

E' possibile sostenere l'esame scritto al primo appello e (l'eventuale) orale al secondo appello.

Calendario esami:

1° appello: 15/01/2021, 14:30-16:00. Orali: 22/01/2021, 26/01/2021 e 27/01/2021.

2° appello: 01/02/2021, 10:30-12:00. Orali: 08/02/2021, 09/02/2021, 10/02/2021, 11/02/2021 e 12/02/2021.

In base alle regole attuali le prove del primo e del secondo appello possono essere svolte sia a distanza che in presenza. Spetta allo studente optare per una delle due. Ovviamente la modalità "in presenza" può essere soggetta a cambiamenti dell'ultimo minuto (compreso il suo annullamento) dovuti all'andamento dell'epidemia e a nuove (possibili) restrizioni.

Chiunque intenda sostenere lo scritto in presenza (se sarà effettivamente possibile) deve comunicarmelo via email entro il 12/01/2021 (entro il 27/01/2021 per il secondo appello). In caso di mancata comunicazione verrà dato per scontato che si intende sostenere la prova a distanza.

Le istruzioni per la modalità "a distanza" le trovate nel pdf "istruzioni esame scritto a distanza." Per l'esame useremo Exam.net. Per collegarci useremo Google Meet.

In tutti i casi ricordo che la prenotazione su Infostud è obbligatoria.

Avviso: Al fine di permettere la partecipazione degli studenti iscritti all'ultimo anno la data dell'appello straordinario è stata spostata al 09/04/2021.

1° appello straordinario: 09/04/2021, 10:00-11:30. Riservato solo agli aventi diritto. In base a quanto stabilito nell'ultimo Consiglio di Dipartimento possono partecipare all'appello straordinario anche gli studenti iscritti all'ultimo anno (terzo anno della triennale o secondo anno della magistrale).

Orali: 15-16 aprile.

Avviso: Chi intende sostenere l'appello straordinario in quanto studente lavoratore deve inviare la relativa documentazione entro il 20 marzo. Qui trovate i dettagli:

https://www.uniroma1.it/it/notizia/appelli-straordinari-aperti-anche-agli-studenti-lavoratori

3° appello: 01/06/2021, 10:00-11:30, aula Gini, dipartimento di Statistica. Orali 14-15 giugno. E' possibile sostenere lo scritto nel 3° appello e l'orale nel 4° appello.

4° appello: 12/07/2021, 10:00-11:30. Orali 16/07 e 19/07.

5° appello: 09/09/2021, 10:00-11:30. Aula 2 (Statistica) e aula 14 (CU007). Per quanto riguarda la modalità d'esame valgono le stesse regole usate per gli appelli di giugno/luglio. Le trovate nell'avviso sottostante. Orali: 14/09 e 15/09.

Avviso: in base a quanto stabilito dal senato accademico gli esami della sessione estiva saranno svolti in presenza. In caso di motivate esigenze da parte dello studente (ad esempio quarantena o fuori sede) resta comunque la possibilità di svolgere l'esame a distanza. In tal caso lo studente dovrà informare il docente spiegando le motivazioni della richiesta.

2° appello straordinario: 12/10/2021, 14:30-16:00, Aula 2 Statistica. Orali 19/10/2021. L'appello è riservato solo agli aventi diritto: studenti part-time, fuori corso, iscritti per l’A.A. 2020-2021 al terzo anno della laurea e al secondo anno della laurea magistrale, studenti genitori, studenti con disabilità e con D.S.A. e studenti lavoratori. Avviso: Chi intende sostenere l'appello straordinario in quanto studente lavoratore deve inviare la relativa documentazione. Qui trovate i dettagli:

https://www.uniroma1.it/it/notizia/appelli-straordinari-aperti-anche-agli-studenti-lavoratori