Istituzioni di Matematica 1 Canale 1 (Chimica) A.A. 2023-2024

ISTITUZIONI DI MATEMATICA I (a.a. 2022-23, Canale 1) Corso di Laurea Triennale in Chimica

Orario lezioni: le lezioni si svolgeranno  secondo il seguente orario:

Lunedì       13:00-15:00, Aula V, Edificio Castelnuovo (Matematica)

Martedì      10:00-12:00, Aula III, Edificio Caglioti (Chimica)

Mercoledì   08:00-10:00, Aula III, Edificio Caglioti (Chimica)

Giovedì       14:00-16:00, Aula V, Edificio Castelnuovo (Matematica)

Venerdì       12:00-14:00, Aula III, Edificio Caglioti (Chimica)

Inizio delle lezioni:  Lunedì 25 settembre 2023

Testo consigliato:  M.BRAMANTI, C.D.PAGANI, S.SALSA, Matematica - Calcolo Infinitesimale e Algebra Lineare, seconda edizione, Zanichelli.

Ricevimento: Giovedì 10:30-12:30 nel mio ufficio (stanza 120, dipartimento di Matematica).

Diario delle lezioni

25/09/2023, 13:00-15:00.  Insiemi e loro proprietà, prime definizioni. Principio di induzione. Cardinalità dell'insieme delle parti. Funzioni tra insiemi: iniettività e suriettività.

26/09/2023, 10:00-12:00. Sommatorie e loro proprietà elementari. Esempi. Progressione geometrica e sua somma. Fattoriale e permutazioni. Esempi.

27/09/2023, 08:00-10:00. Proprietà dei coefficienti binomiali. Il triangolo di Tartaglia e la formula di Newton. Nozione di gruppo ed esempi. Nozione di campo ed esempi. I numeri razionali formano un campo ordinato. 

28/09/2023, 14:00-16:00. Numeri reali, numeri irrazionali. Radice quadrata di 2 è irrazionale. Disuguaglianza triangolare e conseguenze. Intervalli di R. Insiemi illimitati, limitati, limitati superiormente (o inferiormente).

02/10/2023, 13:00-15:00. Massimo e minimo di un insieme. Insieme dei maggioranti ed estremo superiore. Insieme dei minoranti ed estremo inferiore. Esempi. Potenze, esponenziali e logaritmi.

 03/10/2023, 10:00-12:00. Definizione e proprietà elementari delle funzioni trigonometriche. Costruzione del campo dei numeri complessi. Unità immaginaria. 

04/10/2023, 08:00-10:00. Forma algebrica dei numeri complessi. Rappresentazione geometrica dei numeri complessi: il piano di Gauss. Coniugato e modulo di un numero complesso. 

05/10/2023, 14:00-16:00. Forma algebrica del quoziente di due numeri complessi. Forma trigonometrica dei numeri complessi. Argomento di un numero complesso. Esempi.

09/10/2023, 13:00-15:00. Esercizi.

10/10/2023, 10:00-12:00. Moltiplicazione e divisione di numeri complessi in forma trigonometrica. Formula di Eulero e formula di De Moivre. Esempi ed applicazioni.

11/10/2023, 08:00-10:00. Radici n-esime di un numero complesso. Enunciato e dimostrazione. Teorema fondamentale dell'algebra (solo enunciato). Radici n-esime dell'unità. Esempi. Equazioni algebriche di secondo grado a coefficienti complessi. Esempi.

12/10/2023, 14:00-16:00.  Successioni, definizioni ed esempi. Successioni limitate, limitate inferiormente/superiormente. Successioni convergenti. Definizione di limite di una successione. Esempi. Unicità del limite (con dimostrazione). Le successioni che hanno limite sono limitate (con dimostrazione). Successioni divergenti e successioni irregolari. Esempi.

16/10/2023, 13:00-15:00.  Esercizi.

17/10/2023, 09:00-11:00.  Successioni infinitesime. Successioni monotone: definizioni ed esempi. Una successione monotona ha sempre limite (senza dimostrazione). Limite di una progressione geometrica. Il prodotto tra una successione infinitesima ed una limitata è una successione infinitesima . Limite della somma, del prodotto e del quoziente di due successioni (con dimostrazione, solo somma e prodotto).

18/10/2023, 08:00-10:00. Teorema della permanenza del segno e teorema del confronto (entrambi con dimostrazione). Esempi ed applicazioni. Successioni infinite ed infinitesime dello stesso ordine, di ordine differente, non confrontabili. Esempi ed applicazioni. Il numero e come limite della successione (1+1/n)^n (senza dimostrazione)

19/10/2023, 14:00-16:00. Introduzione del concetto di serie. Definizione della successione delle somme parziali. Definizione di serie convergente/divergente/irregolare.  Esempi di serie convergenti: la serie associata ad una progressione geometrica e la serie di Mengoli. La serie armonica è divergente (con dimostrazione). Serie telescopiche: definizione ed esempi.

24/10/2023, 10:00-12:00. Il termine generale di una serie convergente tende a zero (con dimostrazione). Serie a termini non negative: definizioni e proprietà elementari. Criterio del confronto con dimostrazione.  Applicazioni ed esempi del criterio del confronto. Criterio del confronto asintotico e variazioni (con dimostrazione). Applicazioni ed esempi.

25/10/2023, 08:00-12:00. Criterio della radice con dimostrazione. Esempi e applicazioni. Criterio del rapporto (senza dimostrazione). Esempi e applicazioni. Serie con termini di segno qualunque. Convergenza assoluta. La convergenza assoluta implica la convergenza semplice (con dimostrazione). Esempi.

26/10/2023, 14:00-16:00. Serie a termini di segno alternato. Il criterio di Leibniz. Esempi. Funzioni reali di variabile reale: definizione, dominio codominio, immagine, grafico. 

31/10/2023, 10:00-12:00. Funzioni limitate, limitate superiormente, limitate inferiormente. Funzioni pari e dispari. Funzioni periodiche. Definizioni ed esempi. Composizione di funzioni. Definizione di punto di accumulazione. Esempi.

02/11/2023, 14:00-16:00. Altri esempi di punti di accumulazione. Definizione di limite di una funzione. Esempi. Limite destro e limite sinistro.

07/11/2023, 10:00-12:00.  Il limite esiste se e solo se i limiti destro e sinistro esistono e coincidono. Esempi. Il limite esiste se e solo se esiste per successioni. Esempi di limiti che non esistono. Proprietà fondamentali dei limiti: teorema del confronto, permanenza del segno, limite della somma/prodotto/quoziente di due funzioni.  Esempi. Forme indeterminate. Esempi. Limiti per x che tende a +/- infinito di polinomi e funzioni razionali. Limiti notevoli (prima parte).

08/11/2023, 10:00-12:00.  Limiti notevoli (seconda parte). Asintoti orizzontali, verticali ed obliqui. Esempi. Gerarchia degli infiniti.

09/11/2023, 14:00-16:00. Funzioni continue: definizioni, proprietà di base ed esempi. Funzioni continue in un intervallo chiuso e limitato. Il teorema degli zeri. Teorema di Weierstrass. Esempi per mostrare che le ipotesi del teorema sono necessarie.

14/11/2023, 10:00-12:00. Teorema dei valori intermedi (con dimostrazione). Definizione di derivata prima. Interpretazione geometrica della derivata prima. Retta tangente al grafico di una funzione. Derivata destra e derivata sinistra.

15/11/2023, 08:00-12:00. Derivata di funzioni elementari: funzione potenza, esponenziale, logaritmo, seno, coseno etc, etc. La derivabilità implica la continuità (con dimostrazione). Definizioni ed esempi di punti angolosi, cuspidi e punti a tangente verticale. Algebra delle derivate: formule per la derivata della somma, del prodotto e del quoziente di due funzioni derivabili (con dimostrazione). Esempi. Formula per la derivata di una funzione composta. Esempi e applicazioni.

16/11/2023, 14:00-16:00. Formula per la derivata della funzione inversa. Esempi. Definizione di massimi locali e minimi locali. Teorema di Fermat (con dimostrazione). Definizione di punti stazionari. Teorema di Lagrange (con dimostrazione).

21/11/2023, 10:00-12:00. Esonero.

22/11/2023, 10:00-12:00.  Interpretazione geometrica del teorema di Lagrande ed esempi. Teorema (test di monotonia) con dimostrazione. Una funzione derivabile in un intervallo è costante se e solo ha derivata nulla. Ricerca di massimi e minimi di una funzione in un intervallo chiuso e limitato. Esempi. Teorema di de l'Hopital. Esempi. Applicazioni del teorema di de l'Hopital alla "gerarchia degli infiniti".

23/11/2023, 14:00-16:00. Limite della derivata e derivabilità: teorema con dimostrazione. Esempi. Derivate di ordine superiore. Esempi. Definizione di convessità/concavità e convessità/concavità per tangenti. Esempi. Una funzione derivabile due volte in (a,b) è convessa in (a,b) se e solo se è convessa per tangenti se e solo se la sua derivata seconda è non negativa. Esempi. Punti flesso, definizione, esempi e proprietà. Studio del grafico di una funzione. Esempi di studio del grafico di una funzione.

28/11/2023, 10:00-12:00. Definizione di o-piccolo. Proprietà ed esempi. Formula di MacLaurin all'ordine n con resto di Peano (con dimostrazione). 

29/11/2023, 08:00-10:00.  Esempi di sviluppo di Taylor all'ordine n in zero con resto di Peano.  Applicazioni al calcolo dei limiti. Applicazioni della formula di Taylor allo studio di punti critici. Formula di Taylor all'ordine n con resto secondo Lagrange (con dimostrazione nel caso n=1).

30/11/2023, 14:00-16:00. Alcune applicazioni della formula di Taylor con resto secondo Lagrange: convessità per tangenti e approssimazione di e. Differenziale in un punto. Definizione di integrale definito in [a,b] di una funzione limitata come limite delle somme di Cauchy-Riemann. Interpretazione geometrica dell'integrale definito come area del trapezioide individuato dal grafico di f in [a,b]. Le funzioni continue in [a,b] così come le funzioni monotone e limitate in [a,b] sono integrabili (senza dimostrazione). Esempi di funzioni non integrabili: la funzione di Dirichlet. Proprietà dell'integrale definito: linearità, additività rispetto all'intervallo di integrazione, positività e monotonia (senza dimostrazione). 

05/12/2023, 08:00-10:00. Teorema della media (con dimostrazione). Definizione di valor medio di f in [a,b]. Definizione di primitiva e proprietà elementari. Primo teorema fondamentale del calcolo integrale (con dimostrazione). Esempi. Definizione di integrale indefinito. Esempi di integrale indefinito di alcune funzioni elementari.

06/12/2023, 08:00-10:00. Integrazione per sostituzione. Esempi. Integrazione di alcune funzioni razionali. Esempi.

07/12/2023, 14:00-16:00. Integrazione per parti. Esempi. Integrale definito di funzioni con al più un numero finito di discontinuità "a salto". Integrazione di funzioni continue in [a,b) ma illimitate: definizioni, esempi e proprietà. Integrale generalizzato di funzioni definite su intervalli illimitati: definizione, esempi e proprietà. Altri esempi di integrali su intervalli illimitati. Applicazioni alla convergenza di serie. Esempi.

11/12/2023, 13:00-15:00. Definizione di funzione integrale. Secondo teorema fondamentale del calcolo integrale (con dimostrazione). Proprietà fondamentali. Funzioni di classe C^k. Esempi. Introduzione alle equazioni differenziali. Definizioni ed esempi. Equazioni differenziali lineari di ordine 1. Equazioni complete ed equazioni omogenee. L'integrale generale di un'equazione differenziale lineare di ordine 1 completa si ottiene aggiungendo una soluzione particolare all'integrale generale della corrispondente equazione omogenea.

12/12/2023, 10:00-12:00.  Costruzione dell'integrale generale dell'equazione omogenea associata e costruzione di una soluzione particolare dell'equazione completa mediante il metodo di variazione della costante. Esempi. Esempi ed esercizi su equazioni lineari di ordine 1. Problema di Cauchy. Equazioni differenziali lineari del secondo ordine. Definizione e generalità. Struttura dell'integrale generale. Esistenza ed unicità del problema di Cauchy per equazioni in forma normale.

13/12/2023, 08:00-10:00. Le soluzioni di un'equazione differenziale lineare omogenea di ordine 2 in forma normale costituiscono uno spazio vettoriale di dimensione 2. Risoluzione di equazioni differenziali lineari omogenee del secondo ordine a coefficienti costanti.

19/12/2023, 10:00-12:00. Ricerca di soluzioni particolari di equazioni differenziali lineari del secondo ordine a coefficienti costanti non omogenee: metodo di somiglianza quando il termine noto è una funzione polinomiale. Metodo di somiglianza quando il termine noto è una funzione esponenziale. Esempi. Metodo di variazione delle costanti. Esempi.

20/12/2023, 08:00-10:00. Equazioni differenziali del primo ordine a variabili separabili: definizione, risoluzione ed esempi. Esercizi.

AVVISO 1. Contrariamente a quanto comunicato in precedenza la lezione di giovedì 26/10/2023 si svolgerà regolarmente nell'aula V del dipartimento di Matematica dalle 14:00 alle 16:00.

AVVISO 2. Data primo esonero: 21/11/2023 Aula III (Caglioti), 10:15-11:45. E' obbligatorio presentarsi muniti di un documento di identità. Informazioni e regolamento nel pdf sottostante "Regolamento esonero".

AVVISO 3. La lezione di mercoledì 8 novembre si terrà dalla 10:00 alle 12:00 (sempre in aula III).

AVVISO 4. Tutoraggio di Istituzioni di Matematica 1 Canale 1. Date, orario ed aule: (Novembre) 15/11, 17:00-19:00, Aula A (Edificio Cannizzaro); 21/11, 16:00-18:00, aula 1 (Edificio Caglioti); Il tutoraggio del 29/11 è annullato; (Dicembre) 06/12, 17:00-19:00, Aula A (Edificio Cannizzaro); 12/12, 16:00-18:00, aula 1 (Edificio Caglioti); 20/12, 17:00-19:00, aula A (Edificio Cannizzaro); (Gennaio) 09/01, 14:30-16:30, aula 1 (Edificio Caglioti); 16/01, 14:30-16:30, aula 1 (Edificio Caglioti); 23/01, 14:30-16:30, aula 1 (Edificio Caglioti); 30/01, 14:30-16:30, aula 1 (Edificio Caglioti); (Febbraio) 06/02, 14:30-16:30, aula 1 (Edificio Caglioti).

Ulteriore tutoraggio nei mesi di Gennaio/Febbraio: 11/01, 14:00-16:00, Aula V (Matematica);15/01, 14:00-16:00, Aula V (Matematica); 25/01, 14:00-16:00, Aula V (Matematica); 30/01, 14:00-16:00, Aula V (Matematica); 07/02, 14:00-16:00, Aula V (Matematica);

AVVISO 5.  Informazioni esami. Per sostenere l'esame è obbligatorio prenotarsi su infostud e presentarsi alla prova scritta con un documento di riconoscimento.

La prova scritta completa dura 2 ore e 30 minuti, l'esonero 2 ore. Durante la prova potrete consultare un foglio con appunti (due facciate) sul quale potete annotare quello che volete. Tutto il resto è vietato.

L'orale è obbligatorio nei seguenti casi: se il voto dello scritto è superiore a 26 o se viene deciso dal docente. Salvo diversa disposizione da parte del docente è facoltativo se il voto dello scritto è inferiore a 27.

Primo appello: 17/01/2024 dalle 09:30 alle 12:00, Aula III (Dipartimento di Matematica). Cercate di presentarvi per le 09:15. Orali: 26/01/2024, dalle 14:00 in aula VII (Caglioti).

Secondo appello: 08/02/2024 dalle 09:30 alle 12:00, Aula III (Dipartimento di Matematica). Cercate di presentarvi per le 09:15. Orali: 15/02/2023, ore 10:30.

E' possibile sostenere lo scritto al primo appello e l'orale al secondo appello. Non è possibile sostenere lo scritto nella sessione d'esami invernale e l'orale in una sessione d'esami successiva.

Appello straordinario: 09/04/2024 dalle 12:15 alle 14:45, aula D, Dipartimento di Chimica, edificio Cannizaro. L'appello è riservato solamente agli aventi diritto. Consultare il pdf sottostante "Categorie aventi diritto all'appello straordinario" per maggiori informazioni. Per sostenere l’appello straordinario è necessario inviare una certificazione all’indirizzo bei@mat.uniroma1.it  (o francesco.bei@uniroma1.it)  attestante l’appartenenza ad una delle categorie aventi diritto entro e non oltre il 03/04/2024. In caso di mancata certificazione la prenotazione verrà annullata e non sarà possibile sostenere l'esame.

Terzo appello: 13/06/2024.

Quarto appello: 04/07/2024.

E' possibile sostenere lo scritto al terzo appello e l'orale al quarto appello. Non è possibile sostenere lo scritto nella sessione d'esami di giugno-luglio e l'orale nella sessione di settembre.

Quinto appello: 13/09/2024.