Statistics with Excel ตอนที่ 1 : ค่าสถิติที่สำคัญ

by Sira Ekabut | Jun 13, 2020 | Excel and Statistics | 0 comments

Statistics (สถิติ) นั้นเป็นศาสตร์ที่สามารถช่วยให้เราเปลี่ยนข้อมูลดิบ (Data) ให้เป็นข้อมูลที่มีประโยชน์ (Information) ได้ ซึ่งมีความจำเป็นและมีประโยชน์มากต่อการช่วยให้เราสามารถตัดสินใจด้วยข้อมูลได้ดีขึ้น เหมาะกับองค์กรในยุคปัจจุบันที่ต้องใช้ Data ในการตัดสินใจ หรือที่เรียกว่า Data-Driven Organization

ซึ่งในซีรีส์นี้เราจะมาเรียนรู้เรื่องสถิติกันตั้งแต่พื้นฐานกันเลยครับ

Version VDO บน YouTube (ฝาก subscribe ด้วยน้าาาา)

ภาพรวมของสถิติ

• • Descriptive Statistics (สถิติเชิงพรรณนา) = การสร้างตัวเลขมาบรรยายลักษณะข้อมูลที่มีอยู่ในรูปแบบของผลสรุปต่างๆ ไม่ว่าจะมาจากข้อมูลทั้งหมดหรือมาจากกลุ่มตัวอย่างก็ตาม ซึ่งสามารถแบ่งการสรุปออกเป็น 2 กลุ่มใหญ่ๆ คือ

    • • Central Tendency (แนวโน้มค่ากลาง) เช่น Mean (ค่าเฉลี่ยเลขคณิต), Median (มัธยฐาน)

      • Dispersion (การกระจาย) เช่น Standard Deviation (ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน)

  • Inferential Statistics (สถิติเชิงอนุมาน) = การนำข้อมูลจากตัวอย่างที่เก็บมาจำนวนน้อย ไปใช้อนุมาน (infer) เพื่อตอบคำถามเกี่ยวกับข้อมูลที่แท้จริงที่มีจำนวนมากกว่า ซึ่งเราไม่สามารถเก็บข้อมูลมาทั้งหมดได้จริงๆ โดยแบ่งเป็น

    • • Estimation (การประมาณค่า) = การเอาข้อมูลจาก Sample ไปสรุปหรือประมาณค่าของข้อมูล Population

      • Hypothesis Testing (การทดสอบสมมติฐาน) = การใช้หลักการสถิติไปตอบคำถามที่เราสนใจ เช่น ยาตัวใหม่ได้ผลจริงๆ หรือแค่มโนไปเอง

นิยามของข้อมูลทางสถิติ

• • ข้อมูลทั้งหมดที่เราสนใจเรียกว่า Population (ประชากร) ถ้าเราเลือกที่จะเก็บข้อมูล Population ทั้งหมดเลยเราจะเรียกข้อมูลนั้นว่า Census และสิ่งที่เป็นตัวแปรวัดค่าของมันจะเรียกว่า Parameter (ใช้ตัวอักษรกรีก)

  • แต่ถ้าเราเก็บตัวอย่างมาบางส่วน (เนื่องจากเก็บหมดไม่ไหว) เราจะสิ่งที่เราเก็บมาว่า Sample (กลุ่มตัวอย่าง) และมีตัวแปรวัดค่าที่เรียกว่า Statistic (ใช้ตัวอักษรโรมัน)

ข้อมูลทางสถิตินั้นแบ่งได้เป็น 2 ประเภทใหญ่ๆ คือ

• • Qualitative Data เมื่อข้อมูลนั้นถูกจัดอยู่ในประเภท หรือหัวข้อ เช่น สีต่างๆ, ผ่าน หรือ ตก, ต่ำ กลาง สูง และสามารถแบ่งย่อยออกเป็น 2 ประเภทคือ

    • • Nominal = เมื่อการเรียงของข้อมูลไม่มีความหมาย เช่น สีแดง เหลือง เขียว (การเรียงของสีไม่มีความหมาย)

      • Ordinal = เมื่อการเรียงข้อมูลมีความหมาย เช่น ต่ำ กลาง สูง, หรือ เกรด A-F เป็นต้น

  • Quantitative Data เมื่อข้อมูลนั้นสามารถนับหรือวัดได้ ซึ่งสามารถแบ่งย่อยออกเป็น 2 อย่างคือ

    • • Discrete เมื่อข้อมูลนั้นวัดเป็นจำนวนเต็มได้เท่านั้น (สามารถนับเป็นชิ้นๆ ได้ เช่น จำนวนคนที่อยู่ในห้องเรียน)

      • Continuous เมื่อข้อมูลนั้นจะเป็นตัวเลขค่าอะไรก็ได้ (เช่น ส่วนสูง น้ำหนัก)

เอาล่ะเมื่อเห็นภาพรวมแล้ว ในตอนที่ 1 นี้เราจะมาเจาะลึกตัว Descriptive Statistics กัน และจะลองทำใน Excel กันด้วยครับ

ข้อมูลที่จะนำมาวิเคราะห์

ซึ่งข้อมูลก็ไม่มีอะไรมากครับ ให้ทุกคนสร้างเลข running 1-10 ใน Excel (โดยใส่ 1 แล้วคลิ๊กขวาที่ Fill Handle แล้วลากลงมา) จากนั้นให้เปลี่ยนเลขบางส่วนดังต่อไปนี้

• • เปลี่ยน 4 เป็นเลข 3

  • เปลี่ยน 8 เป็นเลข 7

  • เปลี่ยน 10 เป็น 100

สรุปจะได้ Data หน้าตาแบบนี้นะ ซึ่งผมตั้งชื่อ (Define Name) เจ้า Range A2:A11 นี้ ว่า data เพื่อให้ดูสูตรแล้วเข้าใจง่ายขึ้น และ copy paste ง่ายขึ้นด้วย

อันบนคือสูตรของ Variance ที่คิดจาก Population

อันล่างคือสูตรของ Variance ที่คิดจาก Sample

ถ้าดูสูตรทางคณิตศาสตร์จริงๆ แล้วก็จะงงๆ หน่อย แต่มันหมายถึงสิ่งที่ผมเขียนไปข้างบนนี่แหละ จะเข้าใจได้มากขึ้นผมอยากให้ดูรูปนี้ครับ สมมติว่าเส้นสีดำตรงกลางคือค่าเฉลี่ยของข้อมูล

เมื่อเราเอาระยะห่างของแต่ละจุดกับค่าเฉลี่ย มายกกำลังสอง ก็จะได้พื้นที่สี่เหลี่ยม จากนั้นเอาขนาดสี่เหลี่ยมทุกอันมาเฉลี่ยกันจะได้ Variance นั่นเอง

https://towardsdatascience.com/a-visual-interpretation-of-the-standard-deviation-30f4676c291c

ข้อเสียของ Variance คือ มีปัญหาเรื่องหน่วยที่ไม่เหมือนกับ Data ต้นฉบับ (เพราะดันมีการยกกำลังสอง)

Standard Deviation (ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน)

คือการเอาค่า Variance มาหารากที่สอง เพื่อแก้ปัญหาเรื่องหน่วยให้ได้หน่วยเดียวกับ Data จริงๆ

=STDEV.P(range)   // ใช้กับข้อมูลที่มาจาก Population ทั้งหมด =STDEV.S(range)   //ใช้กับข้อมูลที่มาจาก Sample ด้วยเหตุผลเดียวกับ VAR.S

รูปเอามาจาก https://towardsdatascience.com/understanding-boxplots-5e2df7bcbd51

ใน Excel version ใหม่ๆ เราก็สร้างกราฟแบบ Boxplot ได้ง่ายๆ เลยครับ โดยที่ Excel จะใช้ Quartile แบบ Exclusive มาสร้างกราฟนะครับ

ใน Data 1 จะเห็นว่าค่า Mean ที่ควรเป็นค่ากลางของข้อมูลมันดันเด้งออกมานอกกล่องด้วยซ้ำ (ช่างเป็นค่ากลางที่แย่จริงๆ 555) ผมเลยลองแก้ค่า 100 เป็น 10 จะเห็นว่าค่า Mean ที่เด้งออกไปนอกกล่องใน Data1 นั้นกลับเข้ามาในกล่องได้อย่างสวยงาม ซึ่งแสดงให้เห็นว่าถ้าเราไม่มีค่า Outlier มาดึง Mean แล้วล่ะก็ มันก็เป็นค่ากลางที่ดีใช้ได้เลยล่ะ (หรือจริงๆ เลข 100 ที่ได้มาเป็นเลขที่พิมพ์ผิดกันนะ)

และนี่คือการคำนวณพื้นฐานทางสถิติที่ควรจะรู้จักครับ เดี๋ยวในตอนหน้าเราจะมาดูเรื่องพื้นฐานของทุกสิ่งทุกอย่าง นั่นก็คือ “การนับและความน่าจะเป็น”

Statistics with Excel ตอนที่ 2 : ความน่าจะเป็น

by Sira Ekabut | Jun 15, 2020 | Excel and Statistics | 0 comments

ในตอนที่แล้วเราได้พูดถึงภาพรวมของสถิติและค่าทางสถิติเบื้องต้นกันไปแล้ว ในตอนนี้เราจะมาปูพื้นฐานอีกเรื่องที่สำคัญมากๆ นั่นก็คือเรื่อง ความน่าจะเป็น หรือภาษาอังกฤษว่า Probability นั่นเอง

Probability (ความน่าจะเป็น) คือ ค่าที่บอกให้รู้ว่าเหตุการณ์ที่เราสนใจจะมีโอกาสเกิดขึ้นมากหรือน้อยแค่ไหน 

โดยมีค่าตั้งแต่ 0 (ไม่มีทางเกิดขึ้น) ถึง 1 (เกิดขึ้นแน่นอน) หรือจะเขียนเป็น 0% – 100% ก็ได้ (เพราะ % คือหาร 100)

เช่น ความน่าจะเป็นของการถูกรางวัลเลขท้าย 2 ตัว คือ 1 ใน100 หรือ 0.01 หรือ 1% เราก็จะรู้ว่าโอกาสมันน้อยมาก…

การเข้าใจความน่าจะเป็น จะช่วยให้เราตัดสินใจได้ดีขึ้น (กว่าไม่รู้) ซึ่งเรื่องนี้เป็นเรื่องที่มีประโยชน์มากๆ

บอกเลยว่าบทความนี้ยาวมาก แต่ผมก็ตั้งใจเขียนบทความนี้มากๆ เช่นกัน และอยากให้ออกมาดีที่สุดเท่าที่ทำได้ หวังว่าทุกคนจะได้ศึกษาจนเข้าใจและใช้มันได้อย่างสนุกสนานด้วยนะครับ

นิยามของคำที่เกี่ยวข้อง

การที่เราจะเข้าใจเรื่องความน่าจะเป็นนั้นเราจะต้องทำความรู้จักคำศัพท์ต่างๆ เหล่านี้ก่อน ดังนั้นมาลุยกันเลย!

• • Trial = การทดลอง หรือ การสังเกตการณ์ ซึ่งมักจะเป็นเหตุการณ์ที่เราไม่รู้แน่ชัดถึงผลลัพธ์  เช่น Trial คือการโยนเหรียญ การทอยลูกเต๋า การการดึงไพ่ เป็นต้น ซึ่งความน่าจะเป็นนั้นจะให้ความสนใจถึงผลลัพธ์ของ Trial นั้นๆ

  • Sample Space (S) = ผลลัพธ์ทั้งหมดที่เป็นไปได้ของ Trial 

  • เช่น การโยนเหรียญ ซึ่งหน้าเหรียญที่เป็นไปได้มี 2 แบบ คือ h=หัว, t= ก้อย

    • • ถ้า Trial เป็นการโยนเหรียญ 1 ครั้ง S ={h,t} คือมีทั้งหมด 2 แบบ

      • ถ้า Trail เป็นการโยนเหรียญ 2 ครั้ง S = {(h, h), (h, t), (t, h), (t, t)} ซึ่งจะมีทั้งหมด 4 แบบ

  • Events (E) = เหตุการณ์ใน Sample Space ที่เราสนใจ เช่น เหตุการณ์ที่เหรียญออกหัวอย่างน้อย 1 ครั้ง ในการโยนเหรียญ 2 ครั้ง คือ E={(h, h), (h, t), (t, h)} ซึ่งเป็นไปได้ 3 แบบ

ดังนั้น ความน่าจะเป็นของสิ่งที่เราสนใจ จะเขียนได้ว่า 

Probability of Event หรือ P(E) = จำนวน Event E / จำนวน Sample Space = E/S

• • S = {(h, h), (h, t), (t, h), (t, t)} = 4 แบบ

  • E = {(h, h), (h, t), (t, h)} = 3 แบบ

ดังนั้น P(ออกหัวอย่างน้อย 1 ครั้งในการโยนเหรียญ 2 ครั้ง) = 3/4 = 0.75 หรือ 75% นั่นเอง

Counting Theory  (กฎการนับ)

การที่จะคำนวณความน่าจะเป็นได้ดีแบบไม่ต้องมานั่งเขียนผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ทีละตัวนั้น เราจะต้องนับ Event และ Sample Space ให้ถูกต้องโดยใช้หลักการต่างๆ เหล่านี้ให้เป็นเสียก่อน

กฏพื้นฐานของการนับ (Fundamental Principle of Counting)

มีกฎ หลักๆ 2 อันในการหาจำนวนผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ คือ

• 1. ถ้าสิ่งที่ต้องทำมีหลายขั้นตอน ให้เอาจำนวนทางเลือกแต่ละขั้นตอนคูณกัน

  2. ถ้าสิ่งที่ต้องทำเป็นไปได้หลายกรณี ให้เอาจำนวนผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ในแต่ละกรณีบวกกัน (ระวังบวกเบิ้ลหากมีความเป็นไปได้ที่จะเกิดทั้ง 2 กรณีพร้อมกัน)

ตัวอย่าง : แต่งตัวเล่นละคร Titan

สมมติว่าในการเล่นละครเวทีคุณต้องเลือกว่าจะเล่นเป็นฝ่ายมนุษย์ หรือฝ่าย Titan (ยักษ์)

• • ถ้าเป็นฝ่ายมนุษย์ : จะมีเสื้อให้เลือก 4 แบบ กางเกง 2 แบบ

  • ถ้าเป็นฝ่าย Titan : จะเลือกใส่ชุดได้ 9 ชุด แต่ละชุดมี 3 สี

ถามว่ามีความเป็นไปได้ในการแต่งตัวเล่นละครเวทีทั้งหมดกี่แบบ?

แบบนี้จะเห็นว่ามี 2 กรณี คือ กรณีเล่นเป็นมนุษย์ กับเล่นเป็นฝ่าย Titan ซึ่งเราต้องคิดแยกกรณีกัน แล้วเอามาบวกกัน

ฝ่ายมนุษย์ : มีเสื้อ 4 แบบ กางเกง 2 แบบ จะแต่งตัวได้กี่แบบ = มีขั้นตอนต้องทำ 2 ขั้นคือ เลือกเสื้อกับเลือกกางเกง 

ดังนั้นต้องเอารูปแบบของทั้ง 2 ขั้นตอนคูณกัน = ใส่เสื้อ ได้ 4 แบบ * ใส่กางเกงได้ 2 แบบ = มีการใส่เสื้อผ้า 8 วิธี

ฝ่าย Titan : มี 9 ชุด 3 สี = มีขั้นตอนต้องทำ 2 ขั้นคือ เลือกชุดกับเลือกสี 

ดังนั้นต้องเอารูปแบบของทั้ง 2 ขั้นตอนคูณกัน = ใส่ชุด ได้ 9 แบบ * เลือกสีได้ 3 แบบ = มีการใส่เสื้อผ้า 27 วิธี

รวมทุกกรณี มีรูปแบบการใส่เสื้อผ้า = 8 + 27 = 35 วิธี

ทำไมมีหลายขั้นตอนแล้วต้องคูณกัน?

วิธีที่จะเข้าใจเรื่องการนับพื้นฐานได้ดี คือ การวาดแผนผังต้นไม้ (Tree Diagram) ดังนี้ จะเข้าใจได้เลยว่าทำไมต้องคูณกัน

ซึ่งเจ้า 4*3*2*1 นั้น สามารถเขียนได้อีกอย่างว่า 4! ซึ่งอ่านว่า “4 แฟคตอเรียล”

โดยที่ n! อ่านว่า “n แฟคตอเรียล” หมายถึง เอาตัวมันเองคูณด้วยตัวมันเองลบ 1 ไปเรื่อยๆ จนถึง 1  นั่นเอง

*สิ่งที่ควรรู้คือ ค่า 0! จะได้ 1 นะครับ

ซึ่งใน Excel สามารถใช้ฟังก์ชัน FACT ได้แบบง่ายๆ คือ

=FACT(number) =FACT(4) จะออกมาได้ =24 เลย

กรณีมีตัวซ้ำที่เราไม่อยากจะนับ

อย่างไรก็ตามหากรูปแบบบางอย่างให้ผลลัพธ์เหมือนกันแล้วเราไม่อยากจะนับซ้ำ เราสามารถหารทิ้งเพื่อกำจัดตัวซ้ำได้

เช่น ตัวอักษรคำว่า SIRI สามารถนำมาสลับกันได้กี่รูปแบบ? (ไม่สนใจความหมาย)

ถ้าคิดแบบผิวเผิน เผลอคำนวณด้วยหลักการเดิมว่ามี 4 Slot จะได้ออกมาเป็น 4! คือ 24 รูปแบบ 

แต่ถ้าดูผลลัพธ์แล้วจะพบเหตุการณ์เหล่านี้… ว่ามันมีข้อมูลซ้ำกันอยู่

พอเราสามารถนับเหตุการณ์ทั้งหมดได้ (Sample Space) และนับเฉพาะเหตุการณ์ที่สนใจได้ (Event)

เราก็จะสามารถคำนวณความน่าจะเป็นของ Event E ได้ว่า

P(E) = จำนวน Event E / จำนวน Sample Space = E/S นั่นเอง

รูปแบบความสัมพันธ์ทางตรรกศาสตร์ของเหตุการณ์

ทีนี้เรื่องของเหตุการณ์ที่เราสนใจ มันอาจจะมีหลายเหตุการณ์ก็ได้ ซึ่งบางทีเหตุการณ์เหล่านั้นก็มีความสัมพันธ์เชิง Logic กัน ดังนี้ เช่น สมมติว่า

• • S คือ คนในบริษัททั้งหมด (Sample Space คือ สิ่งที่เป็นไปได้ทั้งหมด)

  • E คือ คนในบริษัทที่ใส่แว่น (Eye Glass)

  • F คือ คนในบริษัทที่เป็นผู้หญิง (Female)

เราสามารถใช้ความรู้นี้ประยุกต์ใช้ได้กับทั้งกฏการนับ และ ความน่าจะเป็นเลย (เพราะจริงๆ ก็คือแนวคิดเดียวกัน)

Union การรวมเหตุการณ์ด้วยเงื่อนไขแบบ OR หรือ เขียนโดย E U F คือ เหตุการณ์ E หรือ F หรือ ทั้ง 2 อย่างเกิดขึ้น

ดังนั้น E U F คือ เหตุการณ์ที่เจอคนที่ใส่แว่น หรือ เป็นผู้หญิงก็ได้ ซึ่งรวมถึงคนเหล่านี้ทั้งหมด

• • เป็นผู้ชายใส่แว่น

  • เป็นผู้หญิงไม่ใส่แว่น

  • เป็นผู้หญิงใส่แว่น

Intersection = เหตุการณ์ที่ซ้ำกัน E ∩ F คือ ต้องเกิดทั้งเหตการณ์ E และ F พร้อมกัน

ดังนั้น E ∩ F คือ เหตุการณ์ที่ต้องเป็นเจอผู้หญิงใส่แว่นเท่านั้น

Complement = ~E  คือ เหตการณ์ที่ไม่ใช่เหตการณ์ E

การคำนวนความน่าจะเป็น (หรือใช้กับกฎการนับก็ได้) เมื่อมีเหตุการณ์มากกว่า 1 เหตุการณ์

แบบเกิดอย่างน้อยเหตุการณ์ใดเหตุการณ์หนึ่ง (Union=OR)

• • หลักการคือเอาความน่าจะเป็นมารวมกัน แค่ว่าระวังว่าการรวมนั้นจะทำให้เบิ้ลหรือไม่ เช่น

• กรณีที่เหตุการณ์ทั้งสองอย่างไม่สามารถเกิดพร้อมกันได้ (เรียกว่า Mutually Exclusive)

  • • เมื่อไม่มีส่วนซ้ำ ก็จะบวกกันตรงๆ ได้เลย

      • P (E U F) = P(E) + P(F)

• กรณีเหตุการณ์ทั้งสองอย่าง สามารถเกิดพร้อมกันได้

  • • เพราะ E และ F มีส่วนซ้ำกัน ทำให้ถ้าบวกตรงแล้วเราจะนับเบิ้ลไป 1 ที จึงต้องเอาส่วนที่ซ้ำกันออกไป 1 ที (ให้หายเบิ้ล)

      • P (E U F) = P(E) + P(F) – P(E ∩ F)

      • ซึ่งจะเห็นว่า ถ้าเป็น Mutually Exclusive แล้ว   P(E ∩ F) จะเท่ากับ 0 ทำให้ได้สูตรข้างบนนั่นเอง

แบบต้องเกิดทั้ง 2 เหตุการณ์ (Intersect=AND)

• • หลักการคือเอาความน่าจะเป็นมาคูณกัน เหมือนกับกฏการนับทั่วไปเลย ซึ่งขึ้นกับว่าเมื่อเกิดเหตุการณ์แรกไปแล้วเหตุการณ์ที่ 2 ที่จะเกิดขึ้นนั้น มีความน่าจะเป็นเปลี่ยนไปหรือไม่ ? ถ้าไม่เปลี่ยนก็ใช้ตัวเดิม (เรียกว่า Independent) ถ้าเปลี่ยน (เรียกว่า Dependent) ก็ต้องแก้ความน่าจะเป็นให้สอดคล้องกับความเป็นจริงนั้นๆ

  • กรณีเหตุการณ์ทั้งสองไม่ขึ้นต่อกัน (Independent) 

    • • เช่น หาความน่าจะเป็นของการโยนเหรียญ 2 ครั้งแล้วออกหัวทั้ง 2 ครั้ง จะได้ว่า

      • เรามีเหตุการณ์ที่เกิดขึ้น 2 อัน คือ E = การโยนเหรียญครั้งแรกได้หัว , F = การโยนเหรียญครั้งที่สองได้หัว

      • P(E) = P(ออกหัว) = 0.5

      • P(F) = P(ออกหัว) = 0.5

      • P(E ∩ F) = ความน่าจะเป็นที่ครั้งแรกและครั้งที่สองออกหัว = P(E) × P(F) = 0.5 x 0.5 = 0.25

  • กรณีที่เหตุการณ์นั้นขึ้นต่อกัน (Dependent) :

    • • เช่น หาความน่าจะเป็นที่จะจั่วไพ่ Q 2 ครั้งติดกัน โดยไม่มีการใส่ไพ่คืน (การจั่วครั้งแรกมีผลต่อครั้งที่สองแน่นอน)

      • เรามีเหตุการณ์ที่เกิดขึ้น 2 อัน คือ E = การจั่วครั้งแรกได้ Q, F = การจั่วครั้งที่สองได้ Q

      • ซึ่งความน่าจะเป็นของการจั่วได้ Q = 4/52 (เพราะในไพ่ 52 ใบ นั้นมี Q 4 ตัว)

      • ดังนั้น P(E) = P(จั่วได้ Q) = 4/52 อันนี้ไม่มีอะไรแปลก

      • แต่สำหรับการจั่วครั้งที่สอง เราจะใช้ P(จั่วได้ Q) ซึ่งคือ ความน่าจะเป็นของการจั่วได้ Q เฉยๆ ไม่ได้ เพราะในความเป็นจริงโอกาสในการได้ Q ในครั้งที่สองมันเปลี่ยนไปแล้ว เป็น 3/51 (เพราะเหลือ Q3 ใบ จากไพ่ที่เหลือ 51 ใบ)

      • เราเรียกความน่าจะเป็นของการจั่ว Q ในครั้งที่สอง (ที่เปลี่ยนไปจากการจั่ว Q ไปครั้งแรกสำเร็จแล้ว) 

      • ว่า P(จั่วQครั้งสอง | จั่ว Q ครั้งแรก) ซึ่งมีชื่ออย่างเป็นทางการว่า Conditional Probability นั่นเอง ในที่นี้ผมใช้ว่า P(F|E)

      • สูตรคือ P(E ∩ F) = P(E) × P(F|E)

      • สรุปแล้ว P(E ∩ F) = ความน่าจะเป็นที่จะจั่วไพ่ได้ Q 2 ครั้งติดกัน = P(E) × P(F|E) = 4/52 * 3/51 = 0.004525 หรือ 0.45% นั่นเอง

      • หากจริงๆ แล้วเหตุการณ์ E กับ F ไม่ขึ้นต่อกัน จะทำให้ P(F|E) เท่ากับ P(F) เฉยๆ

        • • ทำให้ P(E ∩ F) = P(E) × P(F) เท่ากับกรณี Independent นั่นเอง

ตัวอย่าง 1 : จั่วไพ่ J Q K และสีดำ

ถ้าจั่วไพ่ออกมา 1 ใบจากสำรับ 52 ใบ จงหาโอกาสที่จะได้ไพ่ที่เป็นหน้า J Q K และมีสีดำ?

• 1. trial = การจั่วไพ่ 1 ใบจากสำรับ 52 ใบ

  2. sample space = ไพ่ 52 ใบ ที่มีความน่าจะเป็นที่จะได้แต่ละใบเท่าๆ กัน

  3. event = ไพ่ J, Q, K ที่มีสีดำ (ดอกจิก ไม่ก็โพธิ์ดำ) จึงมีที่ตรงตามต้องการแค่ 6 ใบ

  4. probability = 6/52 = 0.1154 =11.54%

หรือจะคำนวนอีกวิธีได้ว่า

เนื่องจากทั้งสองอัน independent กัน P(JQK ∩ ดำ) = P(JQK) x P(ดำ) = 12/52  x 1/2  = 6/52 = 0.1154 =11.54%

ตัวอย่าง 2 : จั่วไพ่ J Q K หรือไพ่สีดำ

ถ้าจั่วไพ่ออกมา 1 ใบจากสำรับ 52 ใบ จงหาโอกาสที่จะได้ไพ่ที่เป็นหน้า J Q K หรือไพ่สีดำ?

• 1. trial = การจั่วไพ่ 1 ใบจากสำรับ 52 ใบ

  2. sample space = ไพ่ 52 ใบ ที่มีความน่าจะเป็นที่จะได้แต่ละใบเท่าๆ กัน

  3. event = ไพ่ J, Q, K 12 ใบ หรือ ไพ่ที่มีสีดำ 26 ใบ ก็ตรงตามต้องการ เนื่องจากทั้ง 2 เหตุการณ์มีส่วนซ้ำกันได้ทำให้ต้องหัก ไพ่ JQK ที่มีสีดำออก (มี6 ใบจากที่คิดในคำถามแรก) ทำให้เหลือไพ่ที่ตรงความต้องการ = 12+26-6 = 32 ใบ

  4. probability = 32/52 = 0.615

หรือจะคำนวนอีกวิธีได้ว่า

กัน P(JQK U ดำ) = P(JQK) + P(ดำ) – P(JQK ∩ ดำ) = 12/52  +   26/52  –  6/52  = 0.615

สิ่งที่ได้จากการเขียนความสัมพันธ์ Conditional Probability

P(E ∩ F) = P(E) × P(F|E)

หลักการของ Conditional Probability ข้างบนนี้ไม่มีอะไรเลย จริงๆ มันก็คือการบอกว่า

ความน่าจะเป็นของการเกิดทั้งเหตุการณ์ E และ F ทั้งคู่ 

= ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ E * ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ F หลังจากเกิด E ขึ้นแล้ว

ซึ่งมันก็คือการใช้ Common Sense ทั่วไปนั่นแหละ จริงมะ?

แต่เรื่องของเรื่องคือ เมื่อเรานำมันมาจัดเรียงใหม่ นำมาดัดแปลงมุมมองเล็กน้อย เราจะได้ทฤษฎีที่ทรงพลังมากที่สุดอันนึงของเรื่อง Probability นั่นก็คือ Bayes’s Theorem นั่นเอง

Bayes’ Theorem

ก่อนที่ผมจะอธิบายว่า Bayes’ Theorem คืออะไร? ผมจะยกตัวอย่าโจทย์ปัญหาที่ Bayes’ Theorem สามารถช่วยหาคำตอบได้ง่ายกว่าการใช้ Common Sense ทั่วไป

สถานการณ์ คือ

มีโหล 2 โหล คือ โหล ก กับ ข แต่ละโหลใส่ลูกบอลสีแดงกับเขียวปนกัน

• • โหล ก มี 4 ลูก โอกาสได้บอลแดง 50%

  • โหล ข มี 10 ลูก โอกาสได้บอลแดง 30%

มีคนสลับโหลไปๆ มาๆ แล้วให้คุณหลับตาแล้วหยิบลูกบอลมั่วขึ้นมาลูกนึง ปรากฏว่าได้บอลสีแดง ถามว่าโอกาสที่คุณหยิบบอลมาจากโหล ข เป็นกี่ %

คุณคิดด้วย Common Sense ได้หรือไม่?? ถ้าคุณเริ่มงง ลองมาดูต่อ

การตีโจทย์ หากเราสามารถวาดรูปออกได้จะทำให้เข้าใจง่ายขึ้นเยอะ

ในตอนที่แล้วเราได้เรียนเกี่ยวกับเรื่องความน่าจะเป็นไปแล้ว ในตอนนี้เราจะมาพูดถึงเรื่องของ Probability Distribution หรือการแจกแจงความน่าจะเป็นกันครับ

Probability Distribution เป็นการทำให้เราเห็นภาพรวมถึงค่าของตัวแปรสุ่มที่เป็นไปได้ทั้งหมด และสามารถหาค่าความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เราสนใจได้อีกด้วย จึงถือได้ว่ามันเป็นหัวใจสำคัญของเรื่องสถิติเลยล่ะ

Probability Distribution สามารถแบ่งออกเป็น  2 ประเภทใหญ่ๆ คือ

• 1. Discrete Probability Distributions : การแจกแจงความน่าจะเป็นแบบที่เหตุการณ์ที่สนใจนั้นสามารถนับแยกเป็นชิ้นๆ ได้(ไม่ได้มีค่าต่อเนื่องกัน) จึงสามารถ Plot กราฟเป็นแท่งๆ ได้เลย เช่น ใช้แจกแจงความน่าจะเป็นที่ที่ข้อสอบ 10 ข้อแล้วถูกต้อง 0,1,2,3,… 10 ข้อ ซึ่งจะได้กราฟ 10 แท่ง เป็นต้น ดังนั้นเราจะสามารถอ่านความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่สนใจจากค่าแกน Y ได้เลยง่ายๆ

  2. Continuous Probability Distributions : การแจกแจงความน่าจะเป็นแบบที่เหตุการณ์ที่สนใจนั้นไม่สามารถนับเป็นชิ้นๆ ได้ เพราะเลขมีค่าต่อเนื่องกัน เช่น การแจกแจงของน้ำหนักของคนในบริษัท น้ำหนักมันอาจเป็น 63.43 kg แบบนี้ได้ ซึ่งเป็นค่าต่อเนื่อง ทำให้การอ่านความน่าจะเป็นของกราฟที่ Plot ออกมาต้องอ่านจาก “พื้นที่ใต้กราฟ” แทน

ในบทความนี้เราจะมาเรียนรู้เรื่อง Discrete Probability Distribution กันก่อนนะครับ

Discrete Probability Distributions

เป็นการแจกแจงความน่าจะเป็นที่นับเป็นชิ้นๆ ได้ (ไม่ได้มีความต่อเนื่องกันจนแยกเป็นชิ้นไม่ได้) ซึ่งการที่เราเข้าใจ Distribution แบบนี้แล้ว จะทำให้เข้าใจที่มาที่ไปของ Distribution แบบ Continuous ที่เกิดขึ้นมากที่สุดในโลกที่มีชื่อว่า Normal Distribution ได้ด้วย

การแจกแจงความน่าจะเป็นแบบ Discrete ที่ผมจะขอพูดถึงมี 3 อัน คือ Bernoulli Distribution, Binomial Distribution, และ Poisson Distribution

Bernoulli Distribution

• • คือการแจกแจงความน่าจะเป็นที่มีผลลัพธ์ 2 แบบ คือ สำเร็จ (จริง) และ ล้มเหลว(เท็จ) โดยมีความน่าจะเป็นของความสำเร็จคือ P และล้มเหลวคือ (1-P)

  • มีค่า Mean = E(X)=P

  • มี Variance = var(X)= P*(1-P)

ตัวอย่าง การมั่วข้อสอบ 1 ข้อ (มี choice 4 อัน)

• • Mean = โอกาสที่จะสำเร็จ = 1/4 = 0.25

  • Variance = (0.25)*(1-0.25) = 0.25*0.75 = 0.1875

หมายเหตุ: Bernoulli Distribution ถือเป็นตัวพื้นฐานที่แทบใช้อะไรไม่ได้มากเพราะใช้ได้แค่กรณีมี Trial ครั้งเดียว แต่เดี๋ยวเราจะได้เรียนตัวถัดไปที่มีชื่อว่า Binomial Distribution ซึ่งใช้ได้กับกรณีที่มี Trial กี่ครั้งก็ได้ อันนี้สิเจ๋งจริง! (แปลว่าจริงๆ แล้ว Bernoulli Distribution ก็คือการใช้ Binomial Distribution แบบมี Trial 1 รอบนั่นเอง)

รูปการ Plot Bernoulli Distribution

เนื่องจากผลลัพธ์ของ Bernoulli Distribution เป็นไปได้แค่ 0=ไม่สำเร็จ, 1=สำเร็จ และมันมีแค่ Trial เดียว ดังนั้นผลลัพธ์ก็เลยมีแค่ 2 แท่งแบบ Basic ๆ นี่แหละ…

Binomial Distribution

• • เป็นการทดสอบคล้ายๆ Bernoulli ก่อนหน้านี้ แต่คราวนี้โดยทำซ้ำๆ กัน n ครั้ง

  • แต่ละครั้งมีผลลัพธ์ได้ 2 แบบ คือ สำเร็จ และ ล้มเหลว ความน่าจะเป็นของความสำเร็จ ในการทดลองแต่ละครั้งเท่ากัน คือ P

  • การทดลองแต่ละครั้งเป็นอิสระต่อกัน (Independent) นั่นคือ ผลการทดลองครั้งต่อไปไม่ได้ขึ้นกับผลในครั้งก่อนหน้า

  • ตัวอย่างเช่น มั่วข้อสอบ choice จำนวน 10 ข้อ แล้วดูว่าโอกาสถูก xx ข้อเป็นเท่าไหร่บ้าง

ดังนั้น Binomial Distribution เป็นการแจกแจงของจำนวนครั้งที่เกิดความสำเร็จ (X) ในการทดลอง Bernoulli trial ทั้งหมด n ครั้ง โดยมีความน่าจะเป็นของความสำเร็จคือ P

• • มีค่า Mean คือ n*P

  • มีค่า Variance คือ n * P * ( 1 – P )

เช่น มั่วข้อสอบ Choice จำนวน 10 ข้อ

• • มีค่า Mean คือ n*P = 10 * 1/4 = 2.5

  • มีค่า Variance คือ n * P * ( 1 – P ) = 10*1/4*3/4 = 1.875

การคำนวณ Binomial Probability หรือ ความน่าจะเป็นที่ความสำเร็จจำนวน X ครั้งจะเกิดขึ้น (ความน่าจะเป็นแต่ละแท่ง) มีสูตรดังนี้ 

b(x; n, P) = nCx * Px * (1 – P)n – x

สูตรดูเหมือนจะยุ่งๆ ยากๆ แต่จริงๆ แล้วที่มาที่ไปนั้น Make Sense ใช้ได้เลย เดี๋ยวมาดูการแทนค่ากันก่อน แล้วผมจะอธิบายที่มาของสูตรทีหลังนะครับ

ตัวอย่าง 1 : สมมติว่ามั่วข้อสอบ 10 ข้อ โอกาสที่ตอบถูก 6 ข้อพอดีคือเท่าไหร่?

• • มีการทดลอง 10 ครั้ง n= 10

  • จำนวนครั้งที่สำเร็จ X=6

  • โอกาสที่จะสำเร็จได้แต่ละครั้ง = P = 1/4

  • โอกาสที่ตอบถูก 6 ข้อพอดี = 10C6 * (1/4)^6 * (3/4)^4

  • โอกาสที่ตอบถูก 6 ข้อพอดี = 0.016222 = 1.62%

ซึ่งที่มาที่ไปของสูตร จริงๆ ก็มาจากเนื้อหาตอนที่แล้วนี่แหละ

จากสูตรนี้ 10C6 * (1/4)^6 * (3/4)^4 เดี๋ยวเรามาดูกันว่าที่มาที่ไปแต่ละตัวมาจากไหน

• • ทำข้อสอบ 10 ข้อ ตอบถูก 6 ข้อ แปลว่ามี 10 ขั้นตอน แล้วทำสำเร็จ 6 ขั้นตอน ไม่สำเร็จ 4 ขั้นตอน

  • ในครั้งที่สำเร็จ จำนวน 6 ครั้งนั้น แต่ละอันมีโอกาส 1/4 ดังนั้นโอกาสจะเป็น 1/4 คูณกัน 6 รอบ หรือ (1/4)^6

  • ในครั้งที่ไม่สำเร็จ จำนวน 4 ครั้งนั้น แต่ละอันมีโอกาส 3/4 ดังนั้นโอกาสจะเป็น 3/4 คูณกัน 4 รอบ หรือ (3/4)^4

  • มีรูปแบบ Pattern ทั้งหมด เหมือนการสลับเพื่อสร้างคำใหม่จาก S6ตัวF4 ตัว = 10!/6!4! = 10C6

  • Action ต้องทำต่อเนื่องกันดังนั้นก็เลยต้องเอาทุกตัวมาคูณกันทั้งหมด ก็เลยได้ว่า =10C6 * (1/4)^6 * (3/4)^4

แต่เรามี Excel ให้ใช้ ดังนั้นเราไม่ต้องมานั่งเขียนสูตรยากๆ เลย แต่ใช้ฟังก์ชัน BINOM.DIST ก็จะง่ายกว่ามากๆ 555

=BINOM.DIST(number_s,trials,probability_s,cumulative) โดยที่ cumulative ถ้าเป็น TRUE คือโอกาสสะสมตั้งแต่ success เป็น 0 จนถึงจำนวนที่ต้องการ โดยที่ cumulative ถ้าเป็น FALSE คือค่าโอกาสของจำนวน success ที่ต้องการตัวเดียว (ไม่สะสม)

ในที่นี่เราต้องการหาโอกาสที่ตอบถูก 6 ข้อพอดี ต้องใช้ cumulative ถ้าเป็น FALSE เพราะว่าไม่สะสม

=BINOM.DIST(6,10,1/4,FALSE) = 0.016222 = 1.62%

ตัวอย่าง 2 : สมมติเปลี่ยนคำถามเป็น ว่ามั่วข้อสอบ 10 ข้อ โอกาสที่ตอบถูกตั้งแต่ 6 ข้อขึ้นไป คือ เท่าไหร่?

แบบนี้คิดได้ 2 วิธี คือ เอาความน่าจะเป็นของถูก 6, 7, 8, 9, 10 ข้อ บวกกันให้หมด

ในตอนนี้เราจะเน้นเรื่องของ Normal Distribution ซึ่งเป็น Distribution ประเภท Continuous Probability Distribution ที่พบมากที่สุดในธรรมชาติเลย

แต่เราจะขอปูพื้นฐานเกี่ยวกับ Continuous Probability Distribution เบื้องต้นกันก่อนเล็กน้อยก่อนจะไปลงเรื่อง Normal Distribution กันจริงๆ ในครึ่งหลังของบทความ

Continuous Probability Distribution คือ การแจกแจงความน่าจะเป็นแบบที่เหตุการณ์ที่สนใจนั้นไม่สามารถนับเป็นชิ้นๆ ได้ เพราะเลขมีค่าต่อเนื่องกัน เช่น การแจกแจงของน้ำหนักของคนในบริษัท เพราะน้ำหนักของแต่ละคนมันอาจเป็น 63.43 kg ที่เป็นเศษแบบนี้ได้ ซึ่งเป็นค่าต่อเนื่อง ทำให้การอ่านความน่าจะเป็นของกราฟที่ Plot ออกมาต้องอ่านจาก “พื้นที่ใต้กราฟ” แทน ซึ่งมีอยู่หลายแบบด้วยกัน เช่น Uniform Distribution, Normal Distribution, T-Distribution, Chi-Square Distribution และอีกมากมาย

แต่ผมจะขอพูดถึง 2 แบบก่อน คือ Uniform Distribution และ Normal Distribution (รวมถึง แบบ Standard Normal ด้วย)

Uniform Distribution

Uniform แปลว่ามีแบบเดียวเหมือนกัน เช่น เครื่องแบบที่มีอันเดียว ดังนั้น Uniform Distribution ก็คือ Distribution ที่มีโอกาสเท่ากันหมดทุกค่านั่นเอง ถ้าลองทำเป็นกราฟจะเป็นแบบนี้

ค่าที่สถิติของ Uniform Distribution ตั้งแต่ค่า x เป็น a ถึง b

• • Mean = ค่าเฉลี่ยตรงกลาง = (a+b)/2

  • Variance = 1/12 * (b-a)^2

ตัวอย่าง : หากเครื่องจักรของเราสามารถผลิตน้ำยาวิเศษได้วันละ 3-5 ลิตร โดย assume ว่าโอกาสของผลผลิตเป็น Uniform Distribution จงหาโอกาสที่จะผลิตได้ตั้งแต่ 3.5 ลิตร ขึ้นไป และ โอกาสที่จะผลิตได้ 3.5 ลิตรพอดีเป๊ะ

ความน่าจะเป็นนั้นสามารถคำนวณได้จากพื้นที่ใต้กราฟของส่วนที่สนใจ

ถ้าบอกว่าจะให้ผลิตได้ 3.5 ลิตรขึ้นไป ก็จะเป็นพื้นที่ส่วนที่ Highlight ในรูป

อย่างไรก็ตามใน Excel 365 ที่รองรับ Dynamic Array สามารถใช้ฟังก์ชันใหม่ นั่นคือ RANDARRAY ได้ ซึ่งกำหนดให้ผลลัพธ์ออกมาหลายค่าได้เลย (ผลลัพธ์เป็น array) โดยกำหนดจำนวนแถว จำนวนคอลัมน์ค่ามากสุด น้อยสุด และกำหนดได้ว่าจะเอาเป็นจำนวนเต็มหรือไม่ก็ได้

=RANDARRAY(rows,columns,min,max,integer)

ใครอยากดูที่อธิบายแบบเป็นคลิปวีดีโอ ก็ดูได้ที่นี่

Normal Distribution

Normal Distribution มีอีกชื่อนึงว่า Gaussian distribution เป็น Distribution ที่พบมากที่สุดในธรรมชาติ (ก็เลยเรียกว่า Normal ไง) โดยมีลักษณะดังนี้

มีคุณสมบัติดังนี้

• • กราฟของฟังก์ชั่นเป็นรูประฆังคว่ำ (ผมว่าชอบคิดว่ามันเหมือนภูเขามากกว่า 555 )

  • มีจุดสูงสุดอยู่จุดเดียว (unimodal คือมี Mode เดียว ) ที่ x =  µ

  • มีลักษณะสมมาตรโดยมีสมการ x =  µ  เป็นแกนสมมาตร (แบ่งพื้นที่ฝั่งละ 50%)

  • ค่า Mean = Median = Mode

  • มีค่า x ตั้งแต่ – ∞ ถึง + ∞

  • พื้นที่ใต้กราฟรวมกันทั้งหมด มีค่าเท่ากับ 1 (อันนี้เป็นจริงสำหรับกราฟ Continuous ทุกอันแหละ)

  • หากเราขยายช่วงค่า x ออกมาจากแกนกลาง

    • • ข้างละ 1 sd จะกินพื้นที่รวมประมาณ = 68%

      • ข้างละ 2 sd จะกินพื้นที่รวมประมาณ = 95%

      • ข้างละ 3 sd จะกินพื้นที่รวมประมาณ = 99.7%

รูปร่างของ Normal Distribution จะขึ้นอยู่กับค่า Mean และ SD ของข้อมูล โดยที่ส่วนสูงสุดของภูเขาจะตรงกับค่า Mean ส่วนความกว้างของฐานจะขึ้นอยู่กับค่า SD โดยที่มักจะกินพื้นที่ไปถึงประมาณ Mean +- 3SD (แต่ในความเป็นจริงไปได้ถึง Infinity เลยนะ)

จะเห็นจากรูปว่ายิ่งฐานกว้าง ความสูงก็จะน้อยลง (เพราะพื้นที่ใต้กราฟต้องเป็น 100% เสมอไง )

http://reliawiki.org/index.php/Statistical_Background_on_DOE

ที่มาที่ไปของ Normal Distribution

จริงๆ แล้วถ้ายังจำ Binomial Distribution ในตอนที่แล้วได้ หากเราโยนเหรียญ 10 ครั้ง แล้ว Plot จำนวนครั้งที่ออกหัว จะได้ Distribution แบบนี้

คนสมัยก่อนก็เลยสามารถสร้างตารางอ้างอิงที่จะอธิบายได้ว่าค่า z แต่ละตัวเนี่ย มีความน่าจะเป็นเท่าไหร่บ้าง เช่น

ตัวอย่าง : สมมติการแจกแจงของคะแนนสอบปลายภาคของนักเรียนในโรงเรียนแจกแจงแบบ Normal โดยที่มี Mean = 60 SD =8 โดยที่ตัวเราได้คะแนน 70 ให้หาว่ามีนักเรียนกี่ % ที่คะแนนน้อยกว่าเรา

z = (x- mean / sd) = (70-60)/8

z = 1.25

สมัยเด็กๆ เราต้องเปิดตารางเทียบแบบนี้