Unidad 03
Unidad N° 3 - Unidades de medición lineal y angular
3.1 Unidades de medición lineal: Breve sinopsis histórica, Sistema Métrico Decimal (S.M.D.), Sistema anglosajón. 3.2 Unidades de medición angular: sistema sexagesimal, sistema centesimal, sistema natural. 3.3 Factores de conversión. Apéndice.
3.1 Unidades Lineales
Breve sinopsis histórica: Durante los primeros tiempos históricos junto con el nacimiento de la escritura, nacen también los primeros sistemas de medición, estos junto con el alfabeto forman parte de la sociedad humana ya que al momento de la creación de las ciudades, la erección de los primeros edificios y fortificaciones, con los adelantos en la navegación y la creación del comercio y de todas las demás interacciones que implicó el nacimiento de una civilización, surge también la necesidad de la cuantificación y de la medición.
En aquellos tiempos en que la medición era un hecho, meramente práctico, poco importaba la exactitud por eso es que se tomó en primer término, como unidad de medición, lo mas cercano que se tuvo: el cuerpo humano. Así los distintos sistemas en distintos reinos e imperios lo tomaron como referencia. Nacen de este modo el pié, la pulgada, la braza, el codo, el palmo; medidas que con pequeñas diferencias podemos encontrar en todas las civilizaciones de la antigüedad ya que todos los hombres tenían pies, pulgares, brazos, y palmas; con el correr del tiempo y a los efectos de uniformar las diferentes proporciones del cuerpo humano, se decide unificar estas proporciones uniformando estas magnitudes al compararlas con el cuerpo del gobernante de turno de los respectivos reinos. Pero así y todo las unidades uniformadas de este modo tendían a cambiar con demasiada rapidez, ya que los reyes morían, los reinos cambiaban de mano y los mercaderes pasaban de reino en reino en sus periplos comerciales, incluso dentro de un mismo reino surgían distintas unidades, lo cual entorpecía el comercio, la navegación, la confección de mapas , la medición de distancias, etc.
Este estado de cosas imperó por mucho tiempo aunque con tímidos intentos de algunas grandes civilizaciones de regularizar la situación, lo que da origen a los sistemas de medición:
Egipcio: Cuyas unidades fueron la vara, el pié y la pulgada.
Griego: Quienes utilizaron la toesa, el pié y el palmo.
Romano: Quienes usaron el estadio, el palmo y el codo.
Mas acá en el tiempo se utilizaron hasta no hace mucho tiempo los siguientes sistemas:
Español: Que incluía las siguientes unidades
1 Legua Marina o cable equivalía a 1° / 20 (la vigésima parte de un grado de meridiano terrestre) o 5.555,55 mts.
1 Legua Terrestre que equivalía a 1° / 25 (la vigésimo quinta parte un grado de meridiano terrestre) o sea 4.444,44 mts.
1 Legua Comercial equivalente a 40 cuadras o 5.200 mts.
1 Cuadra equivalente a 150 varas o 130 mts.
1 Vara equivalente a 0.867 mts.
Francés:
1 Toesa equivalente a 2 varas (aproximadamente 1,949 mts.)
1 Vara equivalente a 6 pies (aproximadamente 0,9745 mts.)
1 Pié equivalente a 12 pulgadas (aproximadamente 0,3248 mts.)
1 Pulgada equivalente a 20 líneas (aproximadamente 0,027 mts.)
1 Línea equivalente a aproximadamente 0,0013 mts.
Inglés:
1 Milla Marina (Nautic Mile) 1° / 60 (Medido por Bessell en 1943; aprox. 1852,5 mts.
1 Milla Terrestre (Mile) equivalente a 1760 yardas o 1609,31 mts.
1 Yarda (Yard) equivalente a 3 pies o 0,91438 mts.
1 Pié (Foot) equivalente a 12 pulgadas o 0,30479 mts.
1 Pulgada (Inch) equivalente a 0,0254 mts.
Sistema Métrico Decimal
Ante este estado de cosas, pocos años antes de la revolución francesa, en plena edad moderna, en el siglo de la ilustración, los científicos franceses de la época ante la necesidad manifiesta de una unidad uniforme y de aceptación universal, con una referencia inalterable, con múltiplos y submúltiplos de una progresión estable, deciden la creación de una unidad que reúna las condiciones anteriores, para cuya referencia eligen una referencia tan estable e inalterable como la propia tierra, designando como magnitud de la nueva unidad a :"la diezmillonésima parte de un arco de meridiano terrestre"; decidiendo como intervalo de incremento y de decremento a la progresión decimal (es decir de 10 en 10), como nombre para esta nueva unidad eligieron la palabra METRO , adaptación al francés de la palabra griega Metron = Medida.
Decididas estas cuestiones de forma se debió medir sobre la superficie terrestre el arco de meridiano para darle magnitud a la medida recién creada, para esto se contrató a los matemáticos y geógrafos Juan Bautista José Delambre y Pedro Francisco Andrés Mechain, quienes partiendo de Monjouy (Barcelona, España) llegaron a Dunkerke (Francia), arrojando como resultado de la medición del arco 10° de meridiano existente entre ambas ciudades que la magnitud a adoptar para el metro sería de 4.436,96 líneas de París, magnitud que se adoptó como valor para el "metro".
A continuación se contrató al químico francés Fortín a quien se le encargó la fabricación de una barra de platino iridiado de un metro entre aristas, 25 mm de ancho y 4 mm de espesor para ser utilizado como "metro patrón" y magnitud física de comparación para los efectos prácticos.
Todos estos trabajos fueron presentados el 30 de marzo de 1771 al rey Luis XVI (recordado también por ser guillotinado luego en 1793 durante la revolución francesa) y a la Asamblea Nacional, quienes lo adoptan como medida legal para el reino de Francia.
Mucho tiempo después en 1875 se crea la Oficina Internacional de Medidas en Breteuil (Francia), con la misión de coordinar la adopción de este sistema de medición por parte de otros países, por ese tiempo se fabrican nuevos ejemplares del metro patrón los que serían entregados a los países que adoptaran como propio al sistema métrico decimal, estos nuevos metros patrones se construyeron también de la aleación de platino iridiado al 10 % original pero con una sección en forma de X.
Esta forma permite una mayor estabilidad dimensional, reduciendo posibles contracciones o dilataciones, y el metro no esta comprendido entre sus aristas sino entre dos marcas cercanas a sus extremos lo que también ayuda a contrarrestar a acción de dilataciones o contracciones longitudinales.
La República Argentina adhirió al Sistema métrico decimal el 11 de julio de 1877 por ley nacional N° 845/1877 y recibió su metro patrón un año después, el cual está guardado en instalaciones del Centro de contrastación del I.G.M. en la localidad de San Martín (Prov. de Baires).
Mediciones mas precisas realizadas mas adelante, con mayores recursos técnicos y mejores conocimientos geodésicos, comprueban que las mediciones realizas en 1771 eran erróneas, por lo que ante la alternativa de tener que cambiar todas las magnitudes del sistema se decide variar la definición anterior del metro, definiéndolo como : "metro es la medida contenida en una barra de platino iridiado guardada en la Oficina de Pesos y medidas de París"
Con el advenimiento de las técnicas electrónicas se decide cambiar esta definición por una mas estable aun y mas acorde con el lenguaje científico de esta época por eso es que en 1960, la XI Conférence Générale des Poids et Mesures abolió la antigua definición de metro y la reemplazó por la siguiente:
El metro es la longitud igual a 1 650 763.73 longitudes de onda en el vacío de la radiación correspondiente a la transición entre los niveles 2p10 y 2d5 del átomo de kriptón 86, en CNTP.
Pero luego la XVII Conférence Générale des Poids et Mesures del 20 de Octubre de 1983, volvió a variar la definición de 1960 cambiándola por la siguiente (que aun prevalece)
El metro es la longitud de trayecto recorrido en el vacío por la luz durante un tiempo de 1/299 792 458 de segundo.
Los múltiplos que se establecen al aplicar el incremento decimal son
Cuyos nombres provienen del griego deca = diez, hecto = cien , kilo = mil, miria = millón y tera = billón.
Los submúltiplos por su parte son:
Cuyos nombres provienen algunos del griego como deci, centi, mili, micro, nano y pico; mientras que el Ángstrom recuerda al científico sueco que lo definió y utilizó para la medición de las longitudes de onda de los distintos elementos y para la medición de las magnitudes de los átomos estudiados.
3.2 Unidades angulares
Todos los sistemas angulares tienen como origen y referencia a la circunferencia , solo se diferencian entre sí por el número de divisiones que se hacen a la misma.
Los sistemas mas conocidos son :
Ø el sexagesimal ( que tiene como base de incremento y decremento al número sesenta)
Ø el centesimal (que tiene como base al número cien, y no es otra cosa que una consecuencia lógica del S.M.D.)
Ø el natural y el milesimal (estos dos últimos no son de uso común por lo que serán estudiados para su conocimiento general)
Sistema Sexagesimal
Se atribuye a los matemáticos griegos el desarrollo del sistema sexagesimal como sistema de medición de ángulos; estos, obsesionados por la resolución de figuras geométricas, sobre todo del triángulo al que creían la figura perfecta perfeccionaron el sistema ya que este les permitía trabajar con números enteros en el caso de los ángulos internos de los triángulos donde se utilizan mucho los ángulos de 90°; 60°; 45°; y 30°.
El valor acordado para la circunferencia completa es de 360° correspondiéndole por lo tanto 90° al ángulo recto y 180° al ángulo llano.
Los submúltiplos del grado sexagesimal son el minuto ( ' ) sexagesimal que equivale a la sexagésima parte del grado (1°/60) y el segundo ( " ) sexagesimal que equivale a la sexagésima parte del minuto (1'/60) o a la tres mil seiscientasava parte del grado (1°/3600).
La forma de expresar un ángulo sexagesimal es la siguiente:
Sistema Centesimal
Con la creación del Sistema Métrico Decimal algunos científicos creyeron que era conveniente la creación conjunta de un sistema de medida angular que mantuviera el intervalo de decrecimiento para sus submúltiplos similar al sistema recientemente creado y con una notación acorde, para ello crearon y adoptaron un nuevo sistema de medición de ángulos el sistema centesimal, al cual le adjudicaron un valor para la circunferencia completa de 400 grados centesimales (g), al ángulo recto le correspondió un valor de 100 g y al llano un valor de 200 g.
Como submúltiplos se mantuvieron el minuto ( ' ) pero con un valor de una centésima de grado (1g/100) y el segundo ( " ) con valor de una centésima de minuto (1"/ 100) o una diez milésima de grado (1g/10.000).
Su notación puede ser de dos maneras igualmente válidas:
Sistemas natural y milesimal
Estos dos sistemas similares casi idénticos en el número de divisiones que hacen de la circunferencia tiene empero distintas maneras de definir sus unidades, así podemos decir que:
En el sistema natural su unidad el radián (rad) es la proyección sobre la circunferencia de la longitud del radio de la misma, su submúltiplo es el miliradián (mrd) y su valor es la milésima parte del radián (1rad / 1000), su magnitud está íntimamente ligada al número pi (el cual, bueno es recordar, debe su magnitud al cociente: longitud de la circunferencia dividido el diámetro de la misma, el resultado es aproximadamente 3,14159269...), pero como p esta dado en función del diámetro de la circunferencia, y el radián en función de su radio ( recordar que diámetro = 2 radios), entonces el valor de la circunferencia en radianes sería 2 pi = 6,283018... rad = 6.283,18 mrd.
El sistema milesimal por su parte; usado solamente para usos militares, en tiro de artillería y croquis de observación, etc. , tiene su unidad en la milésima (sin submúltiplo por su pequeñez) y su magnitud esta dada por : "el ángulo con vértice en el ojo del observador cuyas visuales están dirigidas a los extremos de una barra de 1 metro de longitud que se encuentra a 1000 metros de distancia"
El valor de la circunferencia completa en milésimas sería aproximadamente entre 6.283 y 6.284 milésimas es decir un valor muy semejante, sino idéntico al de la circunferencia en miliradianes
Representación gráfica de las divisiones que se hacen a la circunferencia en cada sistema angular de medida
3.3 Factores de conversión - Equivalencias entre los distintos sistemas
Las conversiones de magnitudes de un sistema a otro, sean lineales o angulares (indistintamente) se hacen por el sistema de la regla de tres simple, por ejemplo:
Tengo un ángulo de 34° y quiero convertirlo a radianes:
En el caso de medidas lineales, si tengo 588 pies y deseo saber cuanto es esa medida en metros :
Igual procedimiento para todos los casos, tanto lineales como angulares.
Existe asimismo otro procedimiento, simple pero solo para medidas angulares y utilizando una calculadora científica:
a) Sabemos que las calculadoras científicas tienen tres modos de funcionamiento para calcular funciones naturales según el sistema angular que se utilice, DEG para grados
centesimales, GRA para centesimales y RAD para radianes.
b) Seleccionamos el modo de funcionamiento según el ángulo que se desea convertir, se escribe ese ángulo en el display y se le busca una función natural (SEN , COS , TAN)
c) Seleccionamos el modo de funcionamiento según el sistema al que queremos convertir nuestro ángulo, y hallamos la cofunción de la función buscada anteriormente, el valor que se halle como resultado estará ya convertido al sistema buscado.
En el caso del ejemplo anterior sería :
a) seleccionamos [DEG]. Escribimos en el display [34°] y hallamos la función [SIN] , nos da como resultado 0,5591929
b) seleccionamos [RAD]. Hallamos ahora la cofunción de SIN es decir [INV] [SIN] y nos da 0,5934119 ; es decir exactamente igual que como cuando hicimos los cálculos.
Para el caso de que la conversión sea de grados sexagesimales a centesimales el procedimiento es mas simple ya que debemos introducir en el display el valor de los grados y pulsamos la tecla [ ° ' " ] , luego el valor de los minutos y de nuevo la tecla [ ° ' " ], por último el valor de los segundos y nuevamente la tecla [ ° ' " ] , obtenemos ahora un numero con una parte entera y otra decimal; la parte entera son los grados centesimales, los dos primeros dígitos decimales los minutos centesimales; los dos siguientes, segundos centesimales, y los siguientes si los hubiera, décimas, centésimas y milésimas de segundo. La conversión inversa, es decir de centesimales a sexagesimales es mas fácil aun ya que deberemos introducir el valor del ángulo centesimal colocando la coma luego del valor de los grados y luego los minutos, segundos, décimas, centésimas y milésimas en sucesión ininterrumpida; luego pulsamos las teclas [INV] [° ' "] y veremos en el LCD el valor expresado en GGG° MM' SS,dcm".
Para el caso de calculadoras no científicas el procedimiento es un poco mas engorroso ya que deberemos convertir primero los segundos en fracción de minutos (dividiéndolos por 60), sumar esta fracción al entero de los minutos, este número lo dividimos nuevamente por 60 y obtenemos una fracción de grados y esta fracción se la sumaremos al entero de los grados con lo que tendremos un número con una parte entera y una decimal, la parte entera son los grados y la decimal son los dos primeros dígitos minutos, los dos siguientes segundos, el siguiente décima de segundo, el siguiente centésima de segundo y el siguiente, si lo hay, milésima de segundo.
Por ejemplo para convertir 234° 23' 56" a grados centesimales debemos hacer:
{ [ (56 \ 60) + 23 ] \ 60 } + 234 = 234,3988888... g = 234g 39' 88,888"
O: 1°paso: 56 \60 = 0,9333333 2°paso: 23 + 0,9333333 = 23,9333333
3°paso: 23,9333333\60=0,3988888 4°paso: 0,3988888+234 = 234,3988888
La conversión inversa, es decir de centesimales a sexagesimales es similar, para el ejemplo anterior tendremos que:
1° paso: 234,3988888 - 234 = 0,3988888 Y anotamos 234°
2° paso: 0,3988888 x 60 = 23, 933328 Y anotamos 23'
3° paso: 23,933328 - 23 = 0,933328
4° paso: 0,933328 x 60 = 55,99968 = 56 Y anotamos 56"
Y hemos obtenido los 234° 23' 56" originales.
Glosario
C.N.P.T. : Condiciones Normales de Presión y Temperatura
Apendice 1:
El Número Pi
Este número trascendente aparecido en la geometría desde la mas lejana antigüedad es, como dijimos antes, la razón constante entre la longitud de la circunferencia y su radio, para cualquier circunferencia considerada dentro de la geometría Euclídea (ya que en geometrías no-Euclídeas las deformaciones que sufren sus componentes provocan que esta relación fundamental varíe).
Los griegos, los hindúes y los chinos calcularon este valor con precisión creciente, así
Arquímedes demostró que pi esta comprendido entre:
En 1761 Lambert demuestra que pi es un número irracional (o sea que no puede ser representado exactamente en un número fraccionario en que tanto numerador como denominador son enteros).
Y recién en 1882 Legendre basándose en la trascendencia de e (número base de los logaritmos neperianos), demuestra la trascendencia de pi ( trascendentes son aquellos números reales que no pueden ser obtenidos como raíces de una ecuación algebraica de coeficientes racionales).
La fascinación ejercida por los números en algunos matemáticos hace que se emprenda de manera sistemática la conquista de mayor cantidad de decimales, llegando así a hallarse cientos de decimales en los cálculos como por ejemplo W. Shanks quien en 1.874 logra calcular hasta 707 decimales.
A mediados del siglo XX la utilización de computadoras impulsó nuevamente el cálculo de mas decimales pi llegando en 1.961 D. Shanks y J.W. Wrench con una computadora IBM 7090 a calcular 100.265 decimales en 8 hs. 43 min., pero esto ya es mas una curiosidad, pues mas allá de los 15 decimales, la precisión que se pueda agregar a los cálculos con una mayor cantidad de decimales es ínfima. (ver Pi en CD)
Por lo tanto un numero pi de las siguientes dimensiones es mas una curiosidad matemática, que una necesidad técnica:
De todas maneras en muchos casos puede ser reemplazado con las siguientes fórmulas aproximadas:
En el universo einsteniano (no euclídeo) pi pasa de una constante a convertirse en una variable dependiente de la magnitud de la masa en los límites de la cual se efectúa la medición.
Pero esta . . . es otra historia .
Apéndice II:
"No existe una escuela
que enseñe a vivir..."
(Desarma y sangra - Serú Girán - Charly García)
"Yo solo tengo un enemigo, que está en todos nosotros, es el espíritu de mediocridad y vulgaridad y una cierta forma del poder y el dinero que favorece esa vulgaridad, esa actitud de decadencia"
( Jacques Lang - exministro de cultura francés - 1981 a 1991)