Teorie čísel
Letný semester 2020/2021
Mail: zaneta.semanisinova na gmail.com
organizÁcia cvičení
Cvičenia budú prebiehať na Zoome, link na ne som zaslala prihláseným študentom mailom (ak ste mail s linkom nedostali, ozvite sa mi). Na stránke budú k dispozícii série úloh na jednotlivé cvičenia. Na začiatku cvičení zhrniem, o čom cvičenie bude a ukážem, ako sa riešia niektoré základné úlohy. Potom budete môcť samostatne alebo v skupinách riešiť zvyšné úlohy a ja sa budem snažiť vám poradiť a kontrolovať, ako vám to ide.
V prípade, že sa nebudete môcť pripojiť, budem zverejňovať na webe vzorové riešenia najdôležitejších úloh. Predstavu si môžete urobiť na stránkach cvičení z minulého roku, tento rok budú podobné, ale určite nie rovnaké.
Ak budete mať akúkoľvek otázku alebo návrh k organizácii alebo úlohám, neváhajte sa ozvať na cvičení alebo ma kontaktovať mailom, rovnako sa môžeme dohodnúť aj na konzultácii (online alebo osobnej, ak to budú nariadenia umožňovať). Na otázky a podnety môžete využiť aj kvízy, ktoré budú zverejňované na stránkach prednášky alebo online dokument.
Zápočet
Zápočet bude udeľovaný spoločne so skúškou, nemusíte splniť nič ďalšie. Určite však odporúčam chodiť na cvičenia a počítať úlohy zadané na cvičeniach, podobné úlohy sa budú vyskytovať na skúške. Na priebežnú kontrolu štúdia slúžia kvízy, prostredníctvom ktorých môžete získať body ku skúške.
ŠTUDIJNÉ Materiály
Obsah prednášok kurzu je pokrytý v skriptách, na konci nájdete aj kapitolu s príkladmi.
Kurz predpokladá, že máte alebo v priebehu semestra nadobudnete nejaké znalosti z kurzu Algebry, predovšetkým teórie grúp. Súhrn potrebnej teórie nájdete v tomto texte.
Občas sa v riešeniach odkazujem na nejaké vysvetlenia alebo definície, ktoré sú v skriptách z Algebry, tie nájdete tu.
DIanie Na cvičeniach
Tu budú postupne pribúdať materiály k cvičeniam. Typicky budú obsahovať zadania a vzorové riešenia vybraných úloh, občas niečo ďalšie. Zadania väčšinou obsahujú zhrnutie najdôležitejších pojmov alebo viet, úlohy s nekladným poradovým číslom (budú sa predvádzať na cvičení ako vzorové), úlohy označené ! (kľúčové úlohy, ktoré by ste nemali vynechať) a úlohy označené * (náročnejšie úlohy na zamyslenie). Vzorové riešenia budú zrejme písané rukou a často ich budem skladať/prerábať z minuloročných, verím, že to nezníži ich zrozumiteľnosť a čitateľnosť. Ak by vám niečo nebolo jasné, neváhajte sa pýtať.
Cvičenie 1 (1.3.2021)
Fareyho zlomky, konečné reťazové zlomky. Zadania. Riešenia.
Cvičenie 2 (8.3.2021)
Periodické reťazové zlomky, zblížené zlomky. Zadania. Tabuľa z cvičenia. Riešenia.
Cvičenie 3 (15.3.2021)
Pellove rovnice. Zadania. Tabuľa z cvičenia. Riešenia.
Cvičenie 4 (22.3.2021)
Dobré aproximácie, gaussovské celé čísla. Zadania. Tabuľa z cvičenia. Riešenia.
Cvičenie 5 (29.3.2021)
Euklidovské obory, riešenie diofantických rovníc pomocou rozkladov v kvadratických rozšíreniach celých čísel. Zadania. Tabuľa z cvičenia. Riešenia.
Kontext a časť riešenia úlohy č. 9: text na Wikipédii o tzv. Eisensteinových číslach.
Ak by ste boli stratení, možno vám pomôže návod na riešenie diofantických rovníc (zhŕňa kroky postupu, pomocou ktorého rovnice riešime a ilustruje ich na príklade č.-2).
Ak by ste sa chceli dozvedieť viac o riešení diofantických rovníc, môžete si pozrieť diplomku Maroša Hrnčiara (väčšina v nej je samozrejme nad rámec toho, čo používame).
Cvičenie 6 (12.4.2021)
Kvadratické zvyšky, Legendrove symboly, kvadratická reciprocita. Zadania. Tabuľa z cvičenia. Riešenia.
V riešeniach sa často používajú tvrdenia a vety zo skrípt (najmä věta 2.4, důsledek 2.5, tvrzení 2.6 a věta 2.12). Väčšinou je na ne referencia, ale môže sa stať, že niekde chýba.
Cvičenie 7 (19.4.2021)
Charaktery, Gaussove súčty. Zadania. Tabuľa z cvičenia. Riešenia.
Cvičenie 8 (26.4.2021)
Jacobiho symboly a ich aplikácie. Zadania. Tabuľa z cvičenia. Riešenia.
Ak by ste sa chceli v tejto téme ešte lepšie zorientovať, pozrite si video Sáry Vyhnalovej z Proseminára z teórie čísel.
Cvičenie 9 (3.5.2021)
Cyklické grupy a homomorfizmy medzi nimi. Zadania. Textík o homomorfizmoch. Tabuľa z cvičenia. Riešenia.
Grupové homomorfizmy vo všeobecnosti nie sú ľahká téma a my sa im začíname venovať trochu skôr, než sa poriadne precvičia na Algebre, preto tu nájdete aj odkaz na textík o homomorfizmoch, ktorý obsahuje niektoré užitočné tvrdenia a pozorovania aj s ich odvodeniami. Na cvičení sme si najdôležitejšie veci z neho zhrnuli pri vzorových úlohách, ale v textíku sú odvodené vo všeobecnosti. V riešeniach sa naňho miestami odkazujem.
Riešenia sú upravované pdf z minulého roka, ale verím, že sú čitateľné a dá sa v nich orientovať.
Cvičenie 10 (10.5.2021)
Hľadanie primitívnych prvkov a rozklady na cyklické grupy. Zadania. Textík k cvičeniu. Tabuľa z cvičenia. Riešenia.
K tomuto cvičeniu opäť existuje textík, ktorý sa snaží podrobnejšie vysvetliť teoretické koncepty, pomocou ktorých riešime úlohy z cvičenia, konkrétne hľadanie primitívnych prvkov modulo n a rozklady grúp Z_n^* na cyklické grupy. Snáď vám môže byť užitočný, ak by vám nebolo jasné, ako niektorú úvahu z cvičenia zovšeobecniť.
Cvičenie 11 (17.5.2021)
Valuácie, riešenie kongruencií pomocou primitívnych prvkov, involúcie. Zadania. Tabuľa z cvičenia. Riešenia.
Riešenia sú opäť skladačka zo starých scanov riešení. Úlohy preto občas nejdú po poradí, ale dúfam, že sa v tom dá zorientovať. Ak by ste mali nejakú nejasnosť, tak sa ozvite.
Cvičenie 12 (24.5.2021)
Míňanie prvkov, Rabin-Millerovi svedkovia a klamári, Carmichaelove čísla. Zadania. Riešenia.
Tento týždeň sú riešenia extrémne neestetické (ospravedlňujem sa), ale snáď funkčné. Keby niečo nebolo správne alebo nedávalo zmysel, dajte mi prosím vedieť.
Cvičenie 13 (31.5.2021)
Cyklotomické polynómy, rýchle mocnenie, Dirichletova veta o aritmetickej postupnosti. Zadania. Tabuľa z cvičenia. Riešenia.