小話をはじめるにあたって
このページでは、トロピカル幾何学を学ぶ上で知っているとちょっとだけお得かもしれない短い話を主観混じりで書き連ねていきます。数式をなるべく使わない範囲の話について書きますので、具体的に込み入った話は基本しません。よく知られている話も多いかと思いますが、ご容赦ください。直接頂いた質問に関する回答をこちらに記載することもあります。また、こちらに書かれている回答は執筆者個人の意見が大きく反映しており、トロピカル幾何学者共通の見解とは限りませんので、その点をご了承ください。
(最終更新日: 2023-08-13)
トロピカル幾何の "トロピカル (tropical)" とはどういう意味ですか？
[math/0408099] Tropical Mathematics によると "トロピカル"という言葉自体には数学的な深い意味はなく ハンガリー出身のブラジルの数学者 Imre Simon氏にちなんでフランスの数学者グルーブが名付けたものだそうです。命名者は諸説あります。MathSciNetで調べたところ tropical がこの意味で論文タイトルに使われるようになったのは、Imre Simon氏による次の論文からだそうです。
Imre Simon, "Recognizable sets with multiplicities in the tropical semiring"
一方でトロピカル幾何という命名は、2002年ごろにSturmfelsとMikhalkinとの話合いで決まったそうです。
(もう少し詳しい説明文を執筆中)
(最終更新日: 2023-12-02)
トロピカル幾何における研究テーマは主に何ですか？
(執筆中)
(最終更新日: 2023-05-04)
トロピカル幾何を勉強する前提知識は何ですか？
極論を言ってしまうと執筆時点では、トロピカル幾何を研究するすべての人の共通の前提知識は"ない"と言っていいでしょう。例えばテーマには依存しますが、代数幾何学を知らなくてもトロピカル幾何学の勉強や研究は可能です。(もちろん知っていることに越したことはないです。) 裏を返せば勉強するテーマに従って全く異なる前提知識が必要になります。(例えば、私が現在専門にしている話ではスキーム論はほとんど使いませんが、(構成可能)層の導来圏は使うときがあります。微分幾何もたまに使います。)
(最終更新日: 2023-05-11)
トロピカル幾何を勉強するにはなにがおすすめですか？
執筆時点では、各人によって異なります。トロピカル幾何のなにがやりたいのか、どこへの応用を目指したいのかによって、必要な前提知識やテクニック、流儀等が大きく異なるからです。個人的な偏見ですが、「トロピカル幾何を学びたい人全員のための文献」は(プレプリント含めて)まだ存在しないと考えています。同様の理由でトロピカル幾何とは何かという質問への回答は語る人によって大きく異なります。今後トロピカル幾何の基礎が充実し、理論の統一が進めば、こういった問題は緩和されより具体的な回答ができるようになると思います。
暫定的ではありますが、別項目にてトロピカル幾何の文献と関連するキーワードをいくつか記載します。少しでも参考になれば幸いです。また別項目にて、各著者によるトロピカル幾何の入門的な文書についても紹介します。私自身もテーマをより狭く絞った上での説明的な文章をこちら に書こうと思います。(まだ未公開です。)
(最終更新日: 2023-05-11)
トロピカル数学関連の書籍にはなにがありますか？
以下に思いつく限り書き下します。この項目では書籍化されたものだけ書き下しますが、その他の文献は別項目にてまとめます。かなり多岐に渡るため、トロピカル幾何を勉強するためにこれらをすべて通読する必要がありませんし、私も通読できているとは程遠いです。また、一定以上トロピカル数学に関する記述がある場合は、トロピカル数学専門の書籍であるか否かに関わらず記載します。別のページに移植予定。(随時更新中)
和書
近日中に Maclagan氏と Sturmfels 氏による著作の和訳が出るようです。
洋書
Diane Maclagan and Bernd Sturmfels, "Introduction to Tropical Geometry"
(キーワード: トロピカル化, Gröbner複体, 交叉理論, マトロイド,トロピカルグラスマン多様体,トロピカルコンパクト化)
Michael Joswig, "Essentials of Tropical Combinatorics"
(キーワード:トロピカル化, トロピカル凸集合, トロピカル線形計画,トロピカル線形空間, マトロイド, Polymake)
Lizhen Ji and Eduard J. N. Looijenga, "Introduction to Moduli Spaces of Riemann Surfaces and Tropical Curves" (主に Part 2)
(キーワード: トロピカル曲線, 距離グラフ, Riemann面, トロピカル Jacobi 多様体, 距離グラフのモジュライ空間)
(最終更新日: 2023-09-27)
トロピカル幾何の最初の歴史はどのようになっていますか？
トロピカル半体や半環を用いた数学をトロピカル数学と呼ぶとしますと、トロピカル幾何学はトロピカル数学の中でも比較的若い分野です。
トロピカル幾何という名称は、[Illia Itenberg, Grigory Mikhalkin, Eugenii Shustin, "Tropical Algebraic Geometry", Preface] によると2002年に現れたようです。[Kirillov, Anatol N. "Introduction to tropical combinatorics"] は2000年出版ですので、 超離散可積分系よりも分野としては若いと思われます。クラスター代数もトロピカル半体を用いる分野として有名ですが、クラスター代数の前身となる1990年代のある論文ですでにトロピカル半体を用いていますのでトロピカル幾何学よりも古い分野といってよいでしょう。(詳しくは別の文書に書きます。)
(最終更新日: 2023-04-05)
半環 (semiring) とは何ですか？
半環の定義は流儀によって異なりますが、多くの場合には(単位的)環における加法の逆元の存在公理を零元の存在公理に置き換えたものです。環ではない半環のうち最も基本的な例は、0以上の整数のなす集合と通常の加法と乗法からなる自然数半環です。この半環は半環全体のなす圏 Rig の始対象となります。Rig の終対象は環全体のなす圏と同様に零環です。環が乗法の単位元を持つとは限らない環 (擬環) を指すように、乗法の単位元の公理を仮定しない流儀もあります。そのような代数構造は hemiring と読んだりします [Jonathan S. Golan, "Semirings and their Applications", page 1] 。なお、 [Jonathan S. Golan, "Semirings and their Applications", page 1] などいくつかの文献では半環の公理に0≠1の公理を課していますが、終対象はあった方が都合がよいのですので私はこの公理は課しません。
面白い例として semiring は、測度論にて別の意味で使われている場合があります [Paul R. Halmos, "Measure Theory", page 22]。
この他の流儀やその例については、 [Jonathan S. Golan, "Semirings and their Applications", Preface] や [Kazimierz Głazek, "A Guide to the Literature on Semirings and their Applications in Mathematics and Information Sciences", page 3-4] などを参考にしてください。
(最終更新日: 2023-04-03)
Rig の意味とはなにですか？
流儀で多少の差はありますが多くは semiring の言い換えです。これは半環が「加法の逆元(`n' egative element) を持たない環」であるため、ring から n を除いた単語 rig を semiring の代わりに使ったものだそうです。半環全体のなす圏を表すときにしばしば用いられます。
(最終更新日: 2023-04-03)
半体 (semifield) とはなにですか?
トロピカル幾何における半体とは、(可換)体の公理から加法の逆元の存在公理を零元の存在公理に置き換えたものです。半環と同様に半体においてもいくつか流儀があります。射影幾何の分野においては非結合的な単位的な加除環を semifield と呼ぶ場合もあるようです[Donald E Knuth, "Finite semifields and projective planes" ]。またクラスター代数においても別の定義の半体がありますが、こちらはトロピカル幾何おけるの意味の(体ではない)半体とほぼ等価です。(この意味についてはまた別の文書でもう少し詳しく説明する予定です。) しかし、クラスター代数における半体の扱いはトロピカル幾何における半体の扱いは(関係があるものの)大きく異なります。詳しくは別の文書で述べますが、それについて自学したい場合は[Mark Gross, Paul Hacking, Sean Keel, "Birational geometry of cluster algebras"]が参考になるかと思います。(前述の論文に直接的に説明しているというわけではありません。)
(最終更新日: 2023-08-12)
トロピカル幾何学における標数1とはなにですか？
"field of characteristic one" という言葉は Tits の論文が由来らしく、歴史的には一元体(field with one element)の理論で用いられているものですが、トロピカル幾何においては若干違う意味で用いられています。例えば Connes--Consani 両氏の論文では、1+1=1 となる零環ではない半環を標数1の半環と呼んでいます。これは標数2の環が 1+1+1=1 となる零環ではない環であることの類似によるものです[[0911.3537] Characteristic one, entropy and the absolute point]。(ただし、半環に対する標数の自然な定義はほかにもいくつかあります [Jonathan S. Golan, "Semirings and their Applications", page 106]。)
トロピカル幾何において標数1の幾何学を考える主な動機はトロピカル幾何におけるスキーム論、ひいては冪等半環上のスキーム論の構築だと思われます。現在、トロピカルスキーム論は代数幾何とは異なりトロピカル幾何全体への影響を与えるものにはなっていませんが、トロピカル幾何の深い議論を行うにはいつか必要になってくるでしょう。
(最終更新日: 2023-07-21)
一元体上の幾何学とトロピカル幾何学の文脈における標数1の幾何学は違うのですか？
トロピカル幾何学の文脈における標数1の幾何学とは、Connes--Consani 両氏の「標数1」意味に沿うものが主流で、おおざっぱに言えば "ブール半体上の代数がなす幾何学"と呼べるものです。一方でブール半体には加法の逆元が存在しませんのでから零環ではない環への半環準同型は存在しません。これは一元体上の数学が目指す方向と真逆の性質であるといって差し支えないでしょう。(この点はConnes--Consani 両氏の論文でも強調されている点です。)
(最終更新日: 2023-09-02)
トロピカル幾何における流儀の違いとは何ですか？
これに関しては少し込み入るため、別文書にて説明します。
本サイト管理人はどのようにトロピカル幾何を勉強しましたか？
修士課程は [Diane Maclagan and Bernd Sturmfels, "Introduction to Tropical Geometry"] を主に勉強しました。それと同時に arXiv のプレプリントを拾い読みをしていました。[Bogaard, Milo. Introduction to amoebas and tropical geometry. Diss. Masters thesis, U. Amsterdam, 2015.] などを読んでアメーバ (複素多様体の対数的像) の基本事項の勉強もしました。トーリック幾何について主に勉強していた時期もあります。修士後半になってから、指導教員の植田一石先生の勧めでトロピカル多様体的な空間の一種である特異点つき整アファイン多様体を勉強し始めました。以降から現在は、特異点つき整アファイン多様体とトロピカル多様体上の直線束について主に研究しています。
(最終更新日: 2023-09-28)
さくっと読めるトロピカル幾何に関する記事はありませんか？
さくっと読めて良質な記事については Notices Of The AMS に記載されている、What is ... ? というコラムがおすすめです。 こちらのリンクから一覧が見れます: What Is Collection: Notices Of The American Mathematical Society 。 わたしが見たときには、公式の一覧表には抜けがありましたので、Armin Straub氏の一覧表のリンクも掲載します: arminstraub.com - The "What Is...?"; column。 トロピカル幾何と直接関係がある記事は, "What Is... a Tropical Geometry?", "What Is... An Amoeba?", "What Is... a Tropical Curve?", "What Is... Outer Space?" です。(現在も更新中なので今後も増えるかもしれません。) また、Eric Katz 氏のホームページには"What Is... a Tropical Geometry?" の詳細版の"What is Tropical Geometry?" がありますのでそちらもお勧めします。