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Title: シンプレクティックトーリック多様体のGromov-Hausdorff収束
Abstract: シンプレクティックトーリック多様体はHamiltonianトーラス作用をもつシンプレクティック多様体であり、運動量写像の像としてDelzant多面体という顕著な整数性をもつ多面体が付随する。逆に、Delzant多面体からシンプレクティックトーリック多様体を構成するDelzant構成という手続きがあり、この対応によりシンプレクティックトーリック多様体の同変同型類全体とDelzant多面体全体の間に1対1対応ができる。Delzant構成は複素ベクトル空間に対するK”ahler商の一種であり、シンプレクティックトーリック多様体にはトーラス不変なK”ahler計量が入ることがわかる。
この講演では、Delzant多面体の収束と対応するシンプレクティックトーリック多様体のGromov-Hausdorff収束の関係を議論する。時間が許せばシンプレクティックトーリック多様体上の一般のトーラス不変計量を記述するAbreu理論を用いた一般化について進行中の研究についても説明する。
本研究は北別府悠氏(熊本大学)と三石史人氏(福岡大学)との共同研究に基づく。
Held online via Zoom.
Title: Extremal metrics on compactified test configurations.
Abstract: We discuss the construction of extremal Kähler metrics in adiabatic classes on the total space of certain test configurations when the generic fiber is only strictly K-semistable. This is joint work with Lars M. Sektnan.
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Title: 実トーラスの複素線形空間への線形作用に付随したRiemann多様体上のKazdan-Warner型偏微分方程式について
Abstract: Laplace方程式に$e^f$の形の非線形項を加えた楕円型偏微分方程式はKazdan-Warner方程式, またはLiouville方程式と呼ばれ, 非常に古くから様々な研究がなされてきました. 本講演では, 講演者が導入した, 実トーラスの複素ベクトル空間への線形作用に付随する運動量写像を用いてKazdan-Warner方程式を一般化したRiemann多様体上の楕円型偏微分方程式を紹介し, 講演者によるコンパクトRiemann多様体上でのその偏微分方程式の解の存在と一意性の定理をお話します. またその主定理を用いて, コンパクトK\"ahler多様体上のHiggs束について, Higgs束の正則ベクトル束が直線束の直和に分解する場合に, 与えられた直和分解に関して対角形の多重調和計量が存在するための必要十分条件を与えます. また, 多様体が葉層構造を持つ場合の主定理の拡張に関しても簡単に言及します.
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Title: The CR obstruction tensor and Bernstein-Gelfand-Gelfand operators in CR geometry
Abstract: 「CR障害テンソル」というのはACH Einstein計量の無限遠境界における対数特異性を表すテンソルで，境界のCR構造（正確には整合概CR構造）によって決まっている．このテンソルは，ACH Einstein計量に関する解析により，あるCR不変2階線型微分作用素$D^*$の核に常に属していることがわかっている．これは「4次元Riemann多様体のBachテンソルの発散は0である」という事実のCR幾何学における類似である．
今回，上記のCR不変微分作用素$D^*$が「Bernstein-Gelfand-Gelfand構成」とよばれる放物幾何の理論における構成からも得られることがわかったので，それについて報告する．BGG構成の一般論はČap–Slovák–SoučekおよびCalderbank–Diemerによる（両方とも2001年）が，今回の目的ではとくに，放物幾何の無限小変形を記述する随伴トラクター接続（Čap，2008年）を用いる必要がある．なお，ACH Einstein計量と放物幾何の理論の直接的な関係はわかっていない．われわれの結果は，両者がどのように結びつけられるべきかを示唆しているのかもしれない．
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Title: The Ricci flow on compact manifolds with boundary and finite singular time
Abstract: PDFファイルを参照．
Online via Zoom.
Title: Stability conditions for varieties
Abstract: A central theme of complex geometry is the relationship between differential-geometric PDEs and algebro-geometric notions of stability. Examples include Hermitian Yang-Mills connections and Kähler-Einstein metrics on the PDE side, and slope stability and K-stability on the algebro-geometric side. I will describe a general framework associating geometric PDEs on complex manifolds to notions of stability, and will sketch a proof showing that existence of solutions is equivalent to stability in a model case. The framework can be seen as an analogue in the setting of varieties of Bridgeland's stability conditions on triangulated categories.
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Title: deformed Donaldson-Thomas 接続について
Abstract: deformed Donaldson-Thomas (dDT)接続は、$G_2$多様体上のエルミート複素直線束の接続で calibrated (associative)部分多様体のミラーと考えられているものである。またこれは高次元ゲージ理論等で現れる$G_2$-instanton の類似とも考えられる。本講演では、これらの背景を紹介したのち、dDT接続は実際にモジュライ理論や体積汎関数のミラーに関して、associative 部分多様体や$G_2$-instanton と類似した性質を持つことを紹介する。それに関連して考えられる問題も提示したい。本講演の内容は筑波大学の山本光氏との共同研究に基づくものである。
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Title: Topping の直径予想に向けて
Abstract: 1998 年に P. Topping は三次元ユークリッド空間内の閉曲面に対し、直径と平均曲率を伴う最適な不等式を予想した。この問題は非常に自然かつ古典的な言葉で定式化される一方で、種々の退化性・特異性などに起因する困難が多く潜み、現在でも広く未解決である。本講演では Topping 予想の基礎事項の紹介から始め、講演者の得た部分的解決、また一般的解決に向けた新しい視点や期待される展望などを時間の許す限り紹介したい。