ResUmenes

Los espacios de longitud constituyen en la actualidad un área floreciente en la geometría que se consolidó a finales del siglo pasado debido a los trabajos de M. Gromov. En esta teoría se sintetizan muchas de las nociones y propiedades más características de la geometría Riemanniana, lo que ha permitido trasladar sus resultados y métodos a ámbitos mucho más generales que la geometría diferencial, ampliando así el espectro de sus aplicaciones. En México esta disciplina está tomando auge debido a las contribuciones de numerosos académicos de distintas instituciones, y en particular, miembros del CA de Geometría Diferencial, Sistemas Dinámicos y Aplicaciones. En este curso introductorio se discutirán las ideas fundamentales, abundantes ejemplos y algunos de los resultados obtenidos por nuestro grupo de trabajo.

• Sesión 1. Introducción a las variedades semi-Riemannianas. Dr. Matías Navarro.

• Sesión 2. Espacios de longitud. Dr. Waldemar Barrera

• Sesión 3. El contexto lorentziano. Dr. Didier Solís

En esta charla presentamos una visión general del Diccionario de Sullivan en dimensión dos, el cual constituye un puente entre la geometría hiperbólica, la dinámica compleja y los grupos kleinianos. Este diccionario establece correspondencias entre el conjunto límite y el conjunto de Julia, así como entre la región de discontinuidad y el conjunto de Fatou, permitiendo trasladar ideas y técnicas entre contextos geométricos y dinámicos.

La idea central es comprender, desde una perspectiva unificada, los fenómenos de frontera, caos y estabilidad en acciones discretas de dimensión dos. Este trabajo es resultado de una colaboración con Waldemar Barrera y Juan Pablo Navarrete, de la Facultad de Matemáticas de la UADY.

En esta plática presentaremos uno de los esquemas de cuantización más ingeniosos: la célebre cuantización de Weyl, que intenta utilizar la geometría simpléctica de la mecánica clásica para construir observables cuánticos. Daremos una gira turística de la teoría, viendo cómo se relaciona con la teoría de representaciones y con el análisis de tiempo y frecuencia.

Sea M una variedad homogénea, simplemente conexa, de curvatura negativa. Heintze prueba que M es isométrica a un grupo de Lie soluble con una métrica izquierdo invariante de un tipo especial. La métrica está determinada por un operador A en el álgebra de Lie que es compatible con el corchete del álgebra y con la métrica. Estos grupos son bien conocidos desde el punto de vista de la teoría de espacios métricos. Si A es diagonalizable en los complejos, se pueden hacer cálculos explícitos utilizando técnicas de sistemas dinámicos: las ecuaciones geodésicas representan un sistema físico con una barrera de potencial, las fórmulas de curvatura se simplifican, y el comportamiento de los campos de Jacobi se puede aproximar.

Estudiando la estabilidad de la ecuación de Jacobi, se puede encontrar una fórmula asintótica para el crecimiento del volumen de esferas y bolas geodésicas en grupos de Heintze diagonales. Esta fórmula complementa resultados recientes en crecimiento de horoesferas y se relaciona con el crecimiento de bolas geodésicas en productos horo-esféricos del cuál es conocida una fórmula para la entropía de volumen. En esta plática se presenta de forma intuitiva la geometría de estos espacios y se ven los detalles geométricos necesarios para hacer el cálculo del volumen. Finalmente, presento las obstrucciones principales para hacer el cálculo sin suponer que el operador A es diagonal y los avances en esta dirección.

Un álgebra de Lie se dice casi abeliana si tiene un ideal  abeliano de codimensión 1.  Éstas son ejemplos de álgebras de Lie  3 pasos solubles. En esta charla veremos como la estructura de un álgebra de Lie casi abeliana está codificada en una matriz cuadrada A.  Hablaremos sobre resultados recientes que muestran que condiciones debe satisfacer la matriz A para que el álgebra de Lie admita estructuras complejas y simplécticas. 

En la última década, el trabajo que se ha hecho en el ámbito de la geometría métrica lorentziana ha sido muy basto y enriquecedor, esto se debe a que mediante este enfoque es posible abordar problemas de geometría de Lorentz que requieren baja regularidad o la ausencia de ella. Por otro lado, algunos ejemplos de espacios métricos donde se tiene ausencia de regularidad son los hiperespacios de subconjuntos de un espacio métrico, y así podemos aplicar herramientas sintéticas para conocer las propiedades geométricas de estos espacios. En esta plática abordaremos algunos resultados sobre el hiperespacio de diamantes causales de un espacio de longitud lorentziano. En este sentido, veremos cómo dotar a este hiperespacio con una estructura de espacio de longitud lorentziano y su relación con la distancia de Hausdorff en el hiperespacio de conjuntos compactos del espacio métrico.

En esta charla daremos algunas estimaciones de la norma del operador de forma de una hipersuperficie O(n)x O(m)-invariante en el espacio euclidiano con curvatura media constante. 

Un espacio métrico (X,d) es universalmente infinitesimalmente hilbertiano si el espacio de funciones Sobolev W{1,2}(X,d,m) es un espacio de Hilbert, para cualquier medida de Borel m. Es sabido que las variedades riemannianas son universalmente infinitesimalmente hilbertianas. En esta plática hablaré de un trabajo en conjunto con Pasqualetto y Soultanis en el que se muestra que los espacios de Alexandrov (espacios no suaves con curvatura seccional acotada inferiormente) son universalmente infinitesimalmente hilbertianos

En esta charla haremos propaganda de nuestro libro, con el mismo título, elaborado junto con Matías Navarro y Didier Solís, con el apoyo de Daniel Brito y Kia Romero. La obra, de próxima aparición, contiene algo de teoría básica, pero también versiones adecuadas de parte de nuestro trabajo conjunto de varios años.

Decimos que una subvariedad M de una variedad riemanniana N es Extrínsicalmente Plana (EP) si la curvatura seccional de M es igual a la curvatura seccional de N a lo largo de los planos tangentes de M. También podemos decir que M hereda curvatura. Explicaremos las propiedades recientes que hemos descubierto:

• Si M es una subvariedad EP, entonces la norma de su segunda forma fundamental es la constante dim M multiplicada por la norma del vector de curvatura media. En particular, si M es mínima, entonces es totalmente geodésica.

• Si una subvariedad compleja M de una variedad Nearly Kähler hereda su curvatura seccional holomorfa, entonces es totalmente geodésica.

• Sea M una subvariedad lagrangiana de una forma espacial compleja. Si M es una subvariedad EP, entonces tiene curvatura constante.

• Si M es una subvariedad lagrangiana de una variedad de Kähler y sus operadores de forma conmutan, entonces es una subvariedad EP.

• Una superficie lagrangiana de una variedad de Kähler es una superficie EP si y solo si sus operadores de forma conmutan.

Trabajo conjunto en progreso con Luis Hernández Lamoneda y Rodrigo Aguilar.

Se presenta un marco variacional que es adecuado para el estudio de las configuraciones de equilibrio de una superficie elástica deformada por una curva flexible, así como también para analizar sus distribuciones de esfuerzos y torcas en términos de su geometría local. Se presentan las condiciones de frontera que representan el balance de fuerzas y torcas a lo largo de la región de contacto entre la curva y la superficie. Este marco teórico se aplica para determinar las ecuaciones cuyas soluciones describen la forma que adoptan en equilibrio las películas de jabón y membranas fluidas cuyos bordes son filamentos flexibles.

En las variedades semi-riemannianas el tensor de curvatura constituye un invariante local bajo isometrías. Sin embargo, al trabajar con transformaciones conformes, esto ya no sucede, por lo cual surge la necesidad de idear un invariante conforme que rescate parte de la información del tensor de curvatura, dando pie con ello al tensor de Weyl.

En esta plática se abordará el proceso de construcción del tensor de Weyl para variedades semi-riemannianas. De igual manera, se proporcionarán algunos resultados relevantes en el tema, haciendo énfasis en su importancia para identificar variedades local conformemente planas.

Finalmente, se discutirá sobre la posibilidad de trasladar el tensor de Weyl a un contexto de hipersuperficies nulas, así como los retos de ello.

Comenzaré esta charla con los principales avances de mi tesis de maestría, la cual lleva por nombre A Fractional Fundamental Theorem of Inmersions, donde propusimos y estudiamos operadores fraccionales de trayectoria en R^m, los cuales empleamos para generalizar la teoría de hipersuperficies

y producir un resultado de caracterización de las mismas con

dichos operadores. Asimismo, revisaremos las motivaciones y preliminares de mi proyecto doctoral, donde se conserva el espíritu de la investigación desempeñada en la maestría para generalizar la derivada covariante en una variedad diferenciable al caso fraccional, con lo cual pretendemos extender resultados y conceptos ya conocidos, tales como la existencia y unicidad del transporte paralelo, las geodésicas, entre otros afines.

La primera aproximación puramente Lorentziana a la convergencia de espaciotiempos fue hecha por Noldus. Desde entonces, distintos ángulos han sido considerados, la mayoría de ellos considerando una estructura "métrica" Lorentziana dada por la función de separación temporal. Una aproximación independiente, y más clásica, fue tomada por Sormani y Vega, donde transforman el espaciotiempo en un espacio métrico directamente usando una función tiempo para definir la "distancia nula". En esta charla, revisitamos la noción de función tiempo/temporal y explotamos el hecho de que, cuando uno tiene una función temporal τ, siempre es posible obtener una métrica Riemanniana en el espaciotiempo que está "Wick rotada" respecto a tau, la cual compararemos con la distancia nula. De hecho, si la función temporal es lo suficientemente buena, entonces la métrica obtenida es completa. Esto permite obtener una nueva caracterización de hiperbolicidad global y estudiar convergencia de espaciotiempos usando herramientas Riemannianas.

En esta charla examinaremos el espacio de parámetros asociado a las ecuaciones trinomiales armónicas de la forma z^{n+m} + bz^m + c = 0, donde b, c ∈ C* y n,m son primos relativos.

Analizaremos las propiedades geométricas de las curvas asociadas a estas ecuaciones y compararemos algunos resultados ya conocidos de ecuaciones trinomiales no armónicas con sus equivalentes para ecuaciones trinomiales armónicas.

Finalmente, se presentarán ejemplos concretos que muestran cómo cambios en los parámetros producen variaciones en la forma y simetría de las curvas.

Dado K ⊆ R^n un cuerpo convexo (un conjunto convexo y compacto de interior no vacío), podemos acotar superiormente su volumen por el volumen de la caja cuyas aristas tienen la misma longitud que el volumen de las proyecciones de K sobre los ejes coordenados. Utilizando esta idea, en 1949, Loomis y Whitney probaron, mediante una aproximación de conjuntos por cajas, que

|K|_n^{n−1} ≤\Pi_{i=1}^n|P_{e_i^⊥}K|_{n−1}

donde | |k denota el volumen o medida de Lebesgue k-dimensional y P_{e_i^⊥}K denota la proyección de K sobre ⟨e_i⟩^⊥. Después, Bollobás y Thomason generalizaron el resultado anterior para volúmenes de proyecciones de cuerpos convexos sobre otros subespacios utilizando el concepto de s-cubrimiento del conjunto [n] := {1, . . . , n}. Meyer y Liakopoulos probaron resultados duales a los anteriores

proporcionando cotas inferiores para el volumen de K, en los que las proyecciones se sustituían por secciones.

En 2018 Brazitikos et al. realizaron un estudio sistemático de resultados locales de este tipo.

Recientemente, Alonso-Gutiérrez et al. resolvieron de forma completa el caso de desigualdades locales para proyecciones. El objetivo de esta charla es presentar la solución óptima para algunos casos de las desigualdades locales para secciones, así como introducir sus análogos funcionales. Este es un trabajo junto con Luis J. Alías y Bernardo González Merino.

Esta presentación aborda la clasificación de H. W. Brinkmann de las variedades de Einstein que admiten un mapeo conforme no trivial. El foco se coloca en el caso impropio demostrando que este solo ocurre en variedades de Einstein con curvatura escalar nula. Se mostrará cómo la solución general en este caso conduce a soluciones que representan una clase importante de espacios que en la física se identifican con ondas gravitacionales.

Para p>0 una p-casi isometría es una función f entre dos espacio métricos (X,d) y (Y,e) tal que |d(x,x') - e(f(x),f(x')| <= p para cualesquiera x y x' en X.  En este trabajo presentaremos algunos resultados sobre casi isometrías en el plano hiperbólico (H,r), en concreto, para cierto subconjunto de A de H y una casi isometría f presentamos cotas para sup{r(S(a),f(a) : a en A} donde S es una isometría de H. Esto se realizará utilizando el modelo del semiplano superior, por ello se dará una pequeña introducción a este modelo del plano hiperbólico.