Resúmenes

Durante la década comprendida entre los años de 1980 a 1990, M. Gromov hizo una revolución en las matemáticas, basada en su gran entendimiento de la noción de distancia entre espacios.  

El propósito de este curso es dar una visión panorámica y elemental acerca del concepto de hiperbolicidad introducido por M. Gromov y si el tiempo lo permite daremos algunas de las aplicaciones más conocidas de este tema.

El programa tentativo es el siguiente:

1. Espacios métricos hiperbólicos

2. Frontera de un espacio hiperbólico

3. Casi-isometrías

4. Algunas aplicaciones a la teoría de grupos

El concepto de espacios moduli surge en geometría algebraica cuando se quiere clasificar los objetos de estudio. En ésta plática presentaré algunas de las ideas tradicionales y  nuevas sobre espacios moduli.

A un espacio vectorial real se le puede  dar  estructura de espacio vectorial  complejo a través de una “estructura compleja”, es decir, de  una transformación lineal j tal que j^2 =-id. Por otra parte, un grupo de Lie se dice casi abeliano, si su álgebra de Lie  tiene un ideal abeliano de codimensión 1; lo cual dice que el producto es cero, salvo la  multiplicación de un elemento por el resto de ellos.  En esta charla hablaremos sobre  grupos de Lie casi abelianos nilpotentes. Daremos  condiciones para que estos admitan una estructura compleja, Dichas condiciones recaen  en su ¨parte lineal¨ (en su álgebra de Lie asociada). Veremos ejemplos en dimensiones bajas para ilustrar los resultados. 

Sean M1 y M2 hipersuperficies orientadas en una variedad riemanniana M y sean N1 y N2 sus respectivos vectores normales. Decimos que M1 y M2 se intersecan con un ángulo constante si la intersección entre ellas es una subvariedad de M y el ángulo entre los vectores normales es constante a lo largo de la intersección. En esta charla estudiaremos este concepto en una 3-variedad riemanniana, generalizando algunos resultados conocidos. 

Los espacios con la condición Riemanniana de curvatura-dimensión (espacios RCD), son espacios métricos de medida que tienen una noción sintética de "curvatura de Ricci acotada por abajo y dimensión acotada por arriba". Estos espacios aparecen naturalmente como límites de Gromov-Hausdorff de variedades con curvatura de Ricci acotada inferiormente y también al considerar el Problema de Transporte Óptimo de Masas. A diferencia de las variedades, los espacios RCD pueden tener singularidades topológicas y métricas, por lo cual, para estudiarlos, es natural considerar primero las familias de espacios RCD que tengan la mayor simetría posible. En esta charla hablaré de un trabajo conjunto con Diego Corro (Universidad de Cardiff) y Jaime Santos (Universidad Politécnica de Madrid) en el que consideramos espacios RCD con acciones de grupos de Lie compactos de tal forma que el espacio cociente es de dimensión 1. En este contexto mostramos un análogo del Teorema de la Rebanada, que es la herramienta por excelencia al estudiar acciones en variedades y que no se ha podido demostrar en el contexto general de espacios RCD. Como consecuencia obtenemos una clasificación de espacios RCD de dimensiones bajas con acciones cuyo espacio cociente es de dimensión 1.

Las inmersiones del título son aquellas tales que la segunda forma fundamental es paralela, es decir, su derivada covariante se anula idénticamente. Este concepto fue generalizado por Deprez y otros autores mediante la noción de semi-paralelismo, y posteriormente extendido por Asperti, Lobos, Mercuri, para definir el seudo-paralelismo. En esta charla hablaremos de estos conceptos en el ámbito de las variedades lorentzianas, mostrando algunos ejemplos y teoremas de clasificación. Esto forma parte de una colaboración con Guillermo Lobos, Mynor Melara y Rosilene dos Santos.

Las variedades nearly Kähler, como por ejemplo S^6 , fueron investigadas extensamente por Alfred Gray. Son una generalizaci'on de las variedades Kähler. También son de dimensión par, pero ya no son variedades complejas necesariamente. Para ver más ejemplos, vamos a considerar un grupo de Lie G con métrica semi-Riemanniana bi invariante como por ejemplo el grupo SL(n, R). Siguiendo a Sekigawa, veremos que el grupo de Lie producto G x G admite una estructura de variedad semi Riemannianana Nearly Kähler. Ejemplos de esta construcción son los grupos S^3 x S^3 y SL(2, R) x SL(2, R).

En la teoría de subvariedades resulta de interés establecer condiciones necesarias y sucientes para la existencia de inmersiones isométricas de una variedad en otra. Estos resultados son conocidos como teoremas fundamentales.  La presente charla pretende dar a conocer un teorema fundamental de inmersiones isométricas de variedades 1-luz, es decir, nulas, en espacios producto de la forma IxQ_1(c) o -IxQ_0(c) donde Q_0(c) (Q_1(c)) denota una forma espacial riemanniana (lorentziana) de curvatura seccional constante c.  Para establecer este resultado, será necesaria la contrucción de un haz que extienda al tangente de la variedad nula, dotado de una métrica adecuada. Además de la aplicación del teorema fundamental de variedades semi-nulas y la elección de una proyección apropiada.

El teorema fundamental de hipersuperficies en R^n, demostrado por P.O. Bonnet en 1887 para n=3, establece condiciones para reconstruir una superficie a partir de sus formas fundamentales y condiciones iniciales dadas. El objetivo de nuestro proyecto es generalizar la prueba de este teorema empleando derivadas fraccionales de tipo Riemann-Liouville para órdenes arbitrarios en (0,1]. Presentaremos las definiciones de derivadas fraccionales parciales consideradas en este trabajo y expondremos brevemente nuestra estrategia para lograr dicha generalización.

 Los campos vectoriales de tipo torse-forming son extensiones naturales de los campos cerrados y conformes, con interesantes aplicaciones en geometría y física. Durante esta charla discutiremos algunas de las aportaciones de B.-Y. Chen que relacionan a los campos vectoriales tipo torse-forming con las hipersuperficies de rotación. Específicamente, discutiremos que para hipersuperficies M (dim M ≥ 3) inmersas en espacios euclidianos, la proyección tangencial del vector de posición es de tipo torse-forming en M  si y solo si M  está contenida en una hipersuperficie de rotación cuyo eje de rotación contiene al origen. Finalmente, exploraremos el caso en el que la hipersuperficie de rotación está inmersa en una space-form, siguiendo resultados de clasificación de O. Palmas. Trabajo conjunto con M. Navarro, G. Ruiz y D. Solis.

Consideremos una matriz  cuya acción en R^2 preserva las coordenadas (x, y) enteras. A induce un homeomorfismo, f, en el toro de dimensión dos, T, el mapping torus de T por f es el espacio cociente T_f de T x [0, 1] por la relación de equivalencia que identifica (x, 1) con (f(x), 0)  y es un ejemplo de SOL variedad compacta de dimensión 3. En los 80's, Thurston conjeturó que esencialmente sólo hay 8 geometrías posibles para las variedades en 3 dimensiones. Una de estas, la geometría soluble, o SOL, es la que corresponde al mapping torus del ejemplo. Recientemente SOL adquirió más interés, por ejemplo, en https://www.3-dimensional.space/geometries/sol/, se puede ver una simulación de realidad virtual del mundo en esta geometría. Schwarz y Coiculescu, siguiendo el trabajo de Troyanov, describieron a detalle la geometría de las geodésicas y calcularon el crecimiento de las esferas en este espacio. Desde el punto de vista técnico, su trabajo es muy interesante, SOL es un espacio de curvatura positiva casi en todas direcciones, pero con un par de foliaciones totalmente geodésicas por espacios hiperbólicos que intuitivamente controlan la geometría. En la plática se abordarán los detalles más importantes para conocer la geometría SOL en general.

En esta plática ilustraremos con ejemplo algunas de las principales propiedades de los grupos kleinianos clásicos y mostraremos algunos de los resultados que se han obtenido en la teoría de grupos kleinianos complejos. 

En esta charla haremos un recuento panorámico de la teoría de espacios de longitud lorentzianos y de algunos resultados reciente. 

En el plano euclidiano todo subconjunto acotado no vacío tiene una bola cerrada de  radio mínimo que lo contiene, la cual es conocida como bola de Chebyshev y su  centro como el centro de Chebyshev. Por ejemplo, para un subconjunto de dos  puntos, el centro de Chebyshev es el punto medio estos puntos, mientras que para  un subconjunto de tres puntos puede coincidir con su circuncentro o puede ser el  punto medio de un par de puntos.

En la teoría de aproximación se ha estudiado de forma extensa los espacios  normados en los que cada subconjunto acotado no vacío cuenta con una única bola  de Chebyshev. En esta plática veremos algunos resultados que se tienen para  espacios métricos en general y como esto se compara con lo que se sabe en espacios  normados y espacios de curvatura no positiva.

Muchos procesos biofísicos involucran la interacción de polímeros con membranas, por ejemplo, en la citocinesis la proteína actina forma un anillo contráctil sobre la membrana de una célula que ejerce una fuerza e induce su división. Con el fin de modelar los aspectos físicos relevantes de tales procesos, se presenta el análisis teórico de las configuraciones de equilibrio una membrana esférica con curvatura espontánea constreñida por un anillo circular rígido. Las configuraciones de la membrana se determinan minimizando su energía de doblamiento, cuadrática en la curvatura de la membrana, sujeta a la constricción impuesta por el anillo, así como también que su área o volumen son constantes. Dependiendo del radio del anillo y de la curvatura espontánea de la membrana se obtienen diferentes tipos de configuraciones.