ระบบจำนวนเต็ม

ระบบจำนวนเต็ม

จํานวนเต็ม แบงได้ 3 ประเภท

1. จํานวนเต็มบวก คือ จำนวนที่มีค่ามากกว่าศูนย์ (ฝั่งขวาของเส้นจำนวน)

2. ศูนย์ คือ จำนวนที่ไม่เป็นทั้งบวกและลบ (อยู่ตรงกลางของเส้นจำนวน)

3. จํานวนเต็มลบ คือ จำนวนที่มีค่าน้อยกว่าศูนย์ (ฝั่งซ้ายของเส้นจำนวน)

เส้นจำนวนแสดงความสัมพันธ์ ของจำนวนเต็ม (หัวลูกศรสามารลากไปได้เรื่อยๆ ไม่มีสิ้นสุด)

จำนวนเต็มลบ ศูนย์ จำนวนเต็มบวก

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

การเปรียบเทียบจำนวนเต็ม

จากเส้นจำนวน ยิ่งไปฝั่งขวา ยิ่งมีค่ามาก ยิ่งไปฝั่งซ้ายยิ่งมีค่าน้อย

สัญลักษณ์แทนการเปรียบเทียบมีดังนี้

< เครื่องหมายน้อยกว่า เช่น 1 น้อยกว่า 3 เป็น 1 < 3

= เครื่องหมายเท่ากับ เช่น 1 เท่ากับ x เป็น 1 = x

> เครื่องหมายมากกว่า เช่น -1 มากกว่า -3 เป็น -1 > -3

ค่าสัมบูรณ์ คือ ผลตางของจำนวนนับใดๆ กับ 0 โดยใช้สัญลักษณ์ | | บนจำนวนนั้นๆ

เช่น | 5 | = 5 , | -10 | = 10

การบวกจำนวนเต็ม

- การบวกจำนวนเต็มบวกกับจำนวนเต็มบวก ให้นำค่าสัมบูรณ์ของทั้งสองมาบวกกัน ตอบออกมาเป็นค่าบวก

เช่น 3+ 2 = | 3 | + | 2 | = 3 + 2 = 5

- การบวกจำนวนเต็มลบกับจำนวนเต็มลบ ให้นำค่าสัมบูรณ์ของทั้งสองมาบวกกัน ตอบออกมาเป็นค่าลบ

เช่น (-3) + (-2) = - [ | 3 | + | 2 | ] = -( 3 + 2 ) = -5

- การบวกจานวนเต็มบวกกับจำนวนเต็มลบ ให้นำค่าสัมบูรณ์ของทั้งสองมาลบกัน โดยเอาตัวมากกว่าตั้ง ตอบออกมาเป็นบวกหรือลบนั้น ให้เลือกตามตัวมากกว่า

เช่น 3 + (-2) = 1 หรือ (-3) + 2 = -1

อย่างไรก็ดี วิธีที่ผ่านมาดังกล่าว เน้นความจำมากกว่าความเข้าใจ เมื่อบวกลบมากกว่าสองจำนวนขึ้นไปก็อาจเกิดความสับสน จึงแนะนำให้ใช้เส้นจำนวนในการพิจารณาด้วย และให้คิดดูว่า ค่าบวกนั้นจะมีทิศทางไปทางขวา ค่าลบมีทิศทางไปทางซ้าย และจะหักล้างกันเสมอ

จำนวนตรงข้าม คือ จำนวนที่อยู่ด้านตรงข้ามของเส้นจำนวน

เช่น

จำนวนตรงข้ามของ 2 คือ -2

จำนวนตรงข้ามของ -5 คือ 5

จำนวนตรงข้ามของ a คือ -a

จำนวนตรงข้ามของ -a คือ a

สามารถอธิบายได้ว่า - (-a) = a

การลบจานวนเต็ม ทําได้โดยเปลี่ยนจากลบเป็นการบวกด้วยจานวนตรงข้าม

เช่น 3 – 2 คือ 3 + (-2) = -6

การคูณจำนวนเต็ม ให้นำค่าสัมบูรณ์ ของทั้งสองจำนวนมาคูณกัน แล้วพิจารณาดังนี้

จำนวนเต็มบวก x จำนวนเต็มบวก = ค่าบวก

จำนวนเต็มลบ x จำนวนเต็มลบ = ค่าบวก

จำนวนเต็มบวก x จำนวนเต็มลบ = ค่าลบ

จำนวนเต็มลบ x จำนวนเต็มบวก = ค่าลบ

วิธีการดังกล่าวก็เป็นการท่องจำเช่นกัน ลองพิจาณาดังนี้

(-1) x (-1) = 1

(-1) x (-1) x (-1) = -1

5 x (-3) = 5 x 3 x (-1) >>> มีลบออกมา 1 ตัว ได้ค่าลบ = -15

(-5) x (-3) = 5 x 3 x (-1) x (-1) >>> มีลบออกมา 2 ตัว ได้ค่าบวก = 15

(-5) x (-3) x (-2) = 5 x 3 x 2 x (-1) x (-1) x (-1)>>> มีลบออกมา 3 ตัว ได้ค่าลบ = -30

สรุปคือ นับจำนวนลบที่มี ถ้าเป็นคู่หรือศูนย์ก็ได้ค่าบวก ถ้าเป็นคี่ก็ได้ค่าลบ

การหารจำนวนเต็ม ให้นำค่าสัมบูรณ์ ของทั้งสองจำนวนมาคูณกัน แล้วพิจารณาดังนี้

จำนวนเต็มบวก ÷ จำนวนเต็มบวก = ค่าบวก

จำนวนเต็มลบ ÷ จำนวนเต็มลบ = ค่าบวก

จำนวนเต็มบวก ÷ จำนวนเต็มลบ = ค่าลบ

จำนวนเต็มลบ ÷ จำนวนเต็มบวก = ค่าลบ

วิธีการดังกล่าวก็เป็นการท่องจำเช่นกัน ลองพิจาณาดังนี้

(-1) ÷ (-1) = 1

สรุปคือ นับจำนวนลบที่มีทั้งฝั่งเศษและส่วน ถ้าเป็นคู่หรือศูนย์ก็ได้ค่าบวก ถ้าเป็นคี่ก็ได้ค่าลบ

สมบัติของจำนวนเต็ม

1. สมบัติการสลับที

เมื่อมีจำนวนเต็มสองจำนวนบวกกันหรือคูณกัน สามารถสลับที่ได้โดยที่ผลลัพธ์ยังคงเท่าเดิม

นั่นคือ a + b = b + a และ a × b = b × a

เมื่อ a, b เป็นจำนวนเต็มใดๆ

เช่น 3 + (-2) = (-2) + 3 = 1

(-2) × 3 = 3 × (-2) = -6

2. สมบัติการเปลี่ยนหมู่

เมื่อมีจำนวนเต็มสามจำนวนบวกกันหรือคูณกัน สามารถทำคู่แรกหรือคู่หลังก่อนก็ได้ โดยที่ผลลัพธ์สุดท้ายยังคงเท่ากัน

นั่นคือ (a + b) + c = a + (b + c) และ (a × b) × c = a × (b × c)

เมื่อ a, b, c เป็นจำนวนเต็มใดๆ

เช่น [1 + (2)] + (3) = 1 + [(2) + (3)] = 6

[4 x (2)] x (3) = 4 x [(2) x (3)] = 24

3. สมบัติการแจกแจง

เมื่อมีจำนวนเต็มไปคูณกับในวงเล็บที่มีจำนวนเต็มบวกหรือลบกันอยู่ สามารถที่จะแจกจำนวนเต็มนั้นเข้าไปคูณทุกจำนวนในวงเล็บได้

นั่นคือ a × (b + c) = (a × b) + (a × c)

และ (b + c) × a = (b × a) + (c × a)

เช่น (-3) × [5 + 2] = [(-3) × 5] + [(-3) × 2] = -21

สมบัติของ 0 และ 1

สมบัติของศูนย์

1. a + 0 = 0 + a = a เมื่อ a แทนจำนวนใดๆ

2. a × 0 = 0 × a = 0 เมื่อ a แทนจำนวนใดๆ

3. 0 ÷ a = 0 เมื่อ a แทนจำนวนใดๆ ที่ไม่ใช่ 0

4. a × b = 0 แล้ว จะได้ a = 0 หรือ b = 0

สมบัติของหนึ่ง

ให้ a แทนจำนวนเต็มใดๆ

1. a × 1 = 1 × a = a

2. a ÷ 1 = a เมื่อ a แทนจำนวนเต็มใดๆ