Лекторы

Когомологии пучков и графовые нейросети

Многие системы в окружающем нас мире состоят из множества частей, между которыми есть какие-то попарные взаимодействия/связи – такие структуры люди кодируют графами. У таких систем могут быть сложные свойства, которые интересно уметь предсказывать – свойства глобальные (свойства системы/графа в целом) и локальные (свойства каких-то отдельных элементов системы – вершин графа). Машину можно научить предсказывать такие свойства на основе данных о такой системе – в современном машинном обучении эту задачу решают графовыми нейросетями (GNNs).

По сути графовая нейросеть – это итеративный процесс, в котором вершины графа обмениваются информацией со своими соседями (напоминает диффузию, верно?), после чего эта информация нелинейно преобразуется (тут уже не очень напоминает диффузию). В процессе обучения эти (параметризованные) нелинейные преобразования должны скомбинировать информацию так, чтобы с наименьшей ошибкой предсказать желаемое свойство.

Несмотря на свою экспрессивность (нейросети могут быть приближением очень широкого класса нелинейных взаимодействий на графе), современные GNN все же имеют некоторые ограничения (о которых я постараюсь сказать). В попытке преодолеть эти ограничения люди придумали рассматривать нейросети на более богатых объектах, чем графы – на пучках, хорошо известных геометрам и топологам.

Пучок (над графом) – это граф, в вершинах которого “сидят” векторные пространства. Переход по ребру из вершины в вершину задает линейное отображение между этими векторными пространствами. Если граф мыслить как дискретный случай гладкого многообразия, наш пучок – это векторное расслоение гладких функций на нем, а эти “сидящие” на ребрах линейные отображения – дискретный аналог связности в этом расслоении.

Основная идея современных “пучковых” GNN (Sheaf GNNs) – в том, что эти (локальные) отображения связности можно “выучивать” из данных на графе, после чего обмен информацией между вершинами будет представлять собой уже “пучковую” диффузию, Neural Sheaf Diffusion (но снова с нелинейностью) – тут возникнет оператор Лапласа и когомологии (де Рама).

Я постараюсь доступно рассказать об этих вещах и показать воодушевляющие современные результаты (увы, не свои) таких пучковых GNN в сложных задачах на графах. 

Интегральные операторы, направляющие функциии и периодические решения дифференциальных включений на некомпактных группах Ли

Сначала кратко описываются необходимые предварительные сведения - многообразия, группы Ли, многозначные отображения, топологический индекс и т.д. 

Затем на основе конструкций, связанных с этими понятиями, приводится теорема существования периодических решений полунепрерывных снизу дифференциальных включений на некомпактных группах Ли.

h-векторы симплициальных комплексов

Рассмотрим симплициальный комплекс К размерности n-1. Мы можем посчитать у него количество k-мерных граней f_k и скомпоновать, так называемый, f- вектор комплекса K: f(K)=(f_{-1}, f_0, …, f_{n-1}). Оказывается, что работать с f-вектором не всегда удобно, поэтому человечество придумало умножить вектор f(K) на невырожденную матрицу, составленную из чисел (-1)^{j-i}C^{n-i}_{j-i}, и получить h-вектор h(K)=(h_0, … h_n). Указанная матрица возникает из известного соотношения Дена-Соммервиля. h-вектор несет в себе столько же информации, сколько и f-вектор, однако при рассмотрении определенных классов симплициальных комплексов он обладает замечательными свойствами. Например, известна g-теорема, классифицирующая всевозможные h-векторы симплициальных многогранников:

(McMullen-Billera-Lee-Stanley)
Целый положительный вектор (h_0, … h_n) является h-вектором некоторого симплициального многогранника, если и только если выполнены следующие условия:
1) h_0=1
2) h_i = h_{n-i} (соотношение Дена-Соммервиля)
3) h_{i+1}-h_i ≤ (h_i-h_{i-1})^{<i>} , i=1, 2, …, [d/2]-1

В 2018 году Karim Adiprasito обобщил этот результат на случай, когда K — рационально гомологическая сфера.

В докладе я дам все необходимые определения, расскажу о различных способах получения h-вектора, его интерпретации как чисел Бетти некоторого многообразия и приведу общие черты доказательства g-теоремы в случае многогранников.

Устойчивые гомологии и топологический анализ данных

Пусть у нас есть некоторое облако точек. Что можно сказать о его топологии? Наверное, мало что. 

Но что если облако точек взято с некоторого скрытого многообразия? Как тогда по набору точек оценить его топологию? Оказывается это все можно сделать с помощью устойчивых гомологий -- одного из центральных методов топологического анализа данных. 

В своем докладе я расскажу основы устойчивых гомологий и топологического анализа данных, а также про их приложения в реальной жизни.