11-13 апреля 2024 в главном корпусе ВГУ пройдет мини-конференция, посвященная топологии, комбинаторике и анализу данных

Школа организована при поддержке Математического факультета ВГУ, а также лаборатории алгебраической геометрии, лаборатории алгебраической топологии и ее приложений, лаборатории сложных сетей, гиперграфов и их приложений и лаборатории стохастических алгоритмов и анализа многомерных данных НИУ ВШЭ

видеозаписи докладов

Анонсы докладов

Михаил Блудов, Гомотопические инварианты покрытий и сбалансированные подмножества, видео

Пусть нам дано (открытое или замкнутое) покрытие k-мерной сферы, состоящее из n+1 множества, такие что пересечение всех множеств покрытия пусто. Оказывается, с ним можно ассоциировать некий гомотопический класс из k-й гомотопической группы сферы размерности (n-1). Этот гомотопический класс можно рассматривать как препятствие к продолжению покрытия со сферы на шар. Мы покажем, что если с покрытием можно ассоциировать набор из n+1 точки в d-мерном пространстве (так, что у покрытия не встречается сбалансированных пересечений), то это определяет  гомотопический класс из k-й гомотопической группы (d-1)-мерной сферы. Мы покажем, как с помощью этих препятствий можно получать обобщения теоремы KKM или леммы Шпернера, а также обсудим вопросы для дальнейшего исследования.

Дмитрий Васильев, Графы на поверхностях и кластерные интегрируемые системы, видео

В докладе мы будем говорить об интегрируемых системах, полученных особым образом из двудольных графов на поверхностях. В ходе доклада мы разберемся с тем что это и  как они устроенны и потом склеив их вместе получим так называемое кластерное пуассоново многообразие. Потом если хватит времени посмотрим как это все связано с электрическими сетями на торе.

Фёдор Вылегжанин, Вокруг инварианта Люстерника-Шнирельмана, видео

"Несложно устроенные пространства покрываются небольшим числом топологически тривиальных подмножеств". На этой идее основан численный инвариант топологического пространства — категория Люстерника-Шнирельмана (LS-category). Он придуман для подсчета геодезических, изучался в теории гомотопий, якобы имеет отношение к робототехнике. Я постараюсь дать обзор истории этого понятия и связанных с ним задач.

Денис Лысков, ‎Контрактада: новая операдная структура в геометрии, топологии и комбинаторике, видео: часть 1, часть 2

В докладе будет описана новая алгебраическая структура на основе графов, называемая «контрактада». Эта структура является обобщением операд, в которой множество операций закодировано графами, а правила композиций индексируются стягиваниями графов по подграфам. 

Мотивация контрактад происходит из геометрии пространств модулей кривых, топологии конфигурационных пространств и комбинаторики графов. К примеру, мы построим геометрическую контрактаду, в которой полным графам будут соответствовать пространства модулей стабильных кривых рода 0 с отмеченными точками, а звёздным графам будут соответствовать пространства модулей Лосева-Манина стабильных цепей. 

Также, мы опишем топологические контрактады, аналоги операд маленьких дисков, в которых вложенные диски могут пересекаться. В качестве комбинаторного примера, мы рассмотрим контрактаду, кодирующую остовные деревья графов.

Владислав Ноздрин, Парметризации кривых в Pⁿ, видео

Доклад посвящен двум классическим объектам в алгебраической геометрии: схеме Гильберта и многообразию Чоу. Оба объекта, неформально говоря, параметризуют кривые (и даже подмногообразия) в проективном пространстве и на алгебраическом языке отвечают на вопрос о расстоянии между кривыми в Pⁿ. В докладе я дам все необходимые определения из алгебры, построю вышеупомянутые многообразия и расскажу о связи между ними и с широко известным в узких кругах Грассманианом.

Артём Посадский, Конформные отображения на многоугольники с разрезами, видео

Одной из известных и важных проблем геометрической теории функций является поиск акцессорных параметров в интеграле Кристоффеля-Шварца, отображающего конформно каноническую область на многоугольник. Для решения данной задачи П.П. Куфаревым был предложен приближённый метод, основанный на использовании дифференциального уравнения Лёвнера. Доклад будет посвящён обзору самого метода, а также его обобщению на случай нескольких разрезов.

Андрей Рябичев, Геометрия поверхностей бесконечного типа, видео

Хорошо известно, что группы гомологий компактных многообразий конечно порождены. Для некомпактных многообразий это может нарушаться, про такие многообразия говорят что они имеют бесконечный тип. 

Поверхности бесконечного типа — не слишком известная и не полностью изученная ветвь маломерной топологии. Я расскажу про классификацию поверхностей бесконечного типа с точностью до гомеоморфизма. 

На этих поверхностях можно ввести метрику постоянной кривизны -1. Множество всех таких метрик на данной поверхности S, рассматриваемых с точностью до изотопии, наделено естественной топологией и известно как пространство модулей M(S). Мы обсудим некоторые относящиеся к нему современные результаты и гипотезы.

Павел Снопов, Применение топологии в глубоком обучении, видео

В последнее время топологические признаки, в частности признаки, полученные из устойчивой гомологий, получили большое внимание в области анализа данных. Однако применение топологии непосредственно для современных методов машинного обучения остаётся сложной задачей. В своем докладе я расскажу про ключевые способы использования топологии в глубоком обучении, про интегрирование топологической информации в архитектуры современных нейросетей и использование топологических методов для анализа нейросетевых моделей.

Тимофей Федоров, Об очень обильных расслоениях ранга 2 на гладкой проективной поверхности, видео

Рассмотрим такую задачу: найти все пары (S,E), где S — гладкая проективная поверхность, а E — очень обильное расслоение ранга 2 на ней с малым c2(E), где c2(E), второе число Черна расслоения, равно количеству нулей общего сечения. Ответы в случае c₂(E) = 1 или c₂(E) = 2 известны (все случаи классифицированы, например, японским автором Atsushi Noma в статье 1994 года), а для c₂(E) ≥ 3 вопрос остается открытым. При c₂(E) = 1 единственная возможная пара — (P2,O(1)⊕O(1)). Для этого факта удалось получить чисто геометрическое доказательство в духе "Принципов алгебраической геометрии" Гриффитса–Харриса. Рассуждение работает и в char K = p, но в этом случае необходимый в доказательстве факт "Если X ⊂ Pⁿ гладкое и не содержится ни в какой гиперплоскости, то X∗ ⊂ (Pⁿ)∗ тоже не содержится ни в какой гиперплоскости" неверен и нужно использовать иной, более хитрый аргумент.

Место проведения