11-15 сентября 2024 в главном корпусе ВГУ пройдет выездная школа для студентов и аспирантов, посвященная топологии, комбинаторике и анализу данных. Молодые специалисты прочитают мини-курсы о современных актуальных исследованиях. В дополнение к лекционным курсам планируются семинары-обсуждения. Участники школы также приглашаются выступить с докладами.

Расходы на проживание иногородних участников будут компенсированы организаторами школы. Проезд будет компенсирован выборочно, на конкурсной основе. К сожалению, оргкомитет не имеет возможности предоставить участникам питание. 

Участники школы набираются по конкурсу. Для участия в конкурсе необходимо до конца дня (23:59 по Мск) 26 августа (понедельник) заполнить регистрационную форму. 

Школа организована при поддержке Математического Факультета, Факультета Прикладной Математики, Информатики и Механики ВГУ и Факультета Компьютерных Наук  (ФКН) НИУ ВШЭ.

Максим Бекетов, мини-курс "Дифференциальные формы в машинном обучении"

При описании сложной системы может быть недостаточно учитывать только попарные связи/взаимодействия между ее элементами – потому в современном машинном обучении активно изучается обобщение графовых нейросетей на более сложные домены – симплициальные комплексы и т.д. Однако помимо топологии (глобальных свойств) в таких системах может быть важна также и геометрия (локальные свойства). Я расскажу о том, как работать с дифференциальными формами в такой дискретной постановке и о недавних успехах (к сожалению, не моих) в использовании таких архитектур в моделировании динамических систем и т.д.

Михаил Блудов, мини-курс "Сюжеты из топологической комбинаторики и теории игр"

Основные теоремы теории теории игр — теорема Нэша о существовании равновесия в некооперативных играх, и теорема Скарфа о существовании дележа в кооперативных играх — фундаментальные теоремы теории игр, доказательства которых имеют топологическую природу (прежде всего используют теоремы о неподвижных точках). В рамках миникурса мы подробно обсудим доказательства этих теорем. Также мы рассмотрим задачу о справедливом дележе пирога, докажем существование такого дележа. Мы затронем и обобщения задачи о пироге, которые уже потребуют интересных и нетривиальных топологических результатов. Наконец, мы обсудим комбинаторные приложения теоремы Скарфа.

Дмитрий Васильев, мини-курс "Уравнения Эйлера-Арнольда и гидродинамика идеальной жидкости"

В 1765 году Л.Эйлер опубликовал уравнения движения твердого тела, носящие его имя. Арнольдом было замечено, что Эйлеровские движения твердого тела являются геодезическими на группе вращений трехмерного евклидова пространства. Группа вращений при этом снабжена левоинвариантной римановой метрикой, и теория Эйлера, в сущности, использует только это одно обстоятельство. Следовательно, уравнения Эйлера сохраняют силу для произвольных групп, например, уравнения движения твердого тела в многомерном пространстве, уравнения Эйлера гидродинамики идеальной жидкости и т.д. 

Мы обсудим общую сторону вопроса связанную с уравнениями Эйлера-Арнольда на группах Ли и рассмотрим приложения этой теории к изучению топологии течения идеальной жидкости.

Список литературы:

[1] В.И.Арнольд, Б.А.Хесин. "Топологические методы в гидродинамике".

Фёдор Вылегжанин, мини-курс "Торическая геометрия и торическая топология"

Теория торических многообразий — раздел алгебраической геометрии, который изучает "эквивариантные замыкания" алгебраического тора (𝕂 \{0})^n. Хотя классификация нормальных торических многообразий давно известна, торическая геометрия остается активной областью исследований за счёт массы связей с сюжетами из алгебры, геометрии, топологии и комбинаторики.

Оказалось, что многие теоремы о топологии торических многообразий верны и в большей общности. Так возникла торическая топология, изучающая "достаточно хорошие" действия компактного тора (S^1)^n на гладких многообразиях. 

Мы обсудим ключевые пространства, возникающие в торической геометрии и топологии, их классификацию, а также возникающие при этом комбинаторные структуры.

Список литературы:

[1] V.M.Buchstaber, T.E.Panov. "Toric topology".

[2] D.A.Cox, J.B.Little, H.Schenck. "Toric varieties".

[3] W.Fulton "Introduction to Toric Varieties".

Фёдор Вылегжанин, лекция "Гомотопические свойства (квази)торических многообразий"

Планируется обсудить когомологии и гомотопические группы неособых торических многообразий над полем \mathbb{C}, их обобщений (квазиторических многообразий) и связанных объектов (момент—угол-комплексов и пространств Дэвиса—Янушкевича).

Список литературы:

[1] M.Franz. On the integral cohomology of smooth toric varieties. arXiv:math/0308253

[2] M.Franz. The cohomology rings of smooth toric varieties and quotients of moment-angle complexes. arXiv:1907.04791

[3] L.Stanton. Loop space decompositions of moment-angle complexes associated to flag complexes. arXiv:2306.12814

[4] F.Vylegzhanin. Loop homology of moment-angle complexes in the flag case. arXiv:2403.18450

Андрей Рябичев, мини-курс "Препятствия и отображения полиэдров без k-кратных самопересечений"

Класс задач, которые мы хотим научиться решать: вложим ли заданный гиперграф без k-кратных самопересечений в n-мерное пространство? Концептуальным подходом к ним является применение методов теории препятствий, которые, однако, не всегда дают точный ответ.

В качестве простейшего примера, когда препятствие является точным, участники могут подумать над задачей: граф планарен если и только если существует его отображение в плоскость, при котором любые два несмежных ребра трансверсально пересекаются в чётном числе точек. Другой, более сложный пример: при любом погружении общего положения проективной плоскости в трёхмерное пространство число тройных точек самопересечения нечётно.

Мы обсудим как эти примеры, так и их возможные обобщения, а также поговорим про когомологии и конфигурационные пространства.

Павел Снопов, мини-курс "Графовые и топологические нейросети"

В современном машинном обучении все чаще возникают ситуации, в которых данные «обитают» на различных пространствах: графах, симплициальных комплексах, многообразиях. Такие данные неизбежно демонстрируют различную сложную геометрическую, топологическую и алгебраическую структуру: от геометрии кривизны пространства-времени до топологически сложных взаимодействий между нейронами в мозге и алгебраических преобразований, описывающих симметрии физических систем.

Мы обсудим, как можно строить нейросети для анализа данных, живущих на таких «богатых» объектах, подробно рассмотрев пример нейросетей на графах и на клеточных комплексах, и рассмотрим различные приложения.

References:

[1] Bodnar, C. (2022). Topological Deep Learning: Graphs, Complexes, Sheaves [Apollo - University of Cambridge Repository]. https://doi.org/10.17863/CAM.97212

[2]  Sanborn, S., Mathe, J., Papillon, M., Buracas, D., Lillemark, H. J., Shewmake, C., ... & Miolane, N. (2024). Beyond Euclid: An Illustrated Guide to Modern Machine Learning with Geometric, Topological, and Algebraic Structures. arXiv preprint arXiv:2407.09468.

[3] Hajij, M., Zamzmi, G., Papamarkou, T., Miolane, N., Guzmán-Sáenz, A., Ramamurthy, K. N., ... & Schaub, M. T. (2022). Topological deep learning: Going beyond graph data. arXiv preprint arXiv:2206.00606.

[4] Bronstein, M. M., Bruna, J., Cohen, T., & Veličković, P. (2021). Geometric deep learning: Grids, groups, graphs, geodesics, and gauges. arXiv preprint arXiv:2104.13478.

Константин Сорокин, мини-курс "Гиперболическая геометрия сложных сетей" (дистанционно)

1 Лекция. Модели гиперболической геометрии. Сечения, модель Лоренца, Пуанкаре, действия групп на верхней полуплоскости, как гиперболическая геометрия и теория групп может повысить эффективность вычислений алгоритмов машинного обучения. 

2 Лекция. Подходы к изучению сложных сетей. Модели малого мира, клубы богачей, хордальные графы. Гиперболические по Громову графы, несколько теорем о связи Громовской гиперболичности с размерами и свойствами графов (центральность, свойства периферии и ядра).

3 Лекция. Элементы информационной геометрии. Расстояние между распределениями, оптимальный транспорт, пространства параметров распределений случайных величин, Статистические многообразия и их свойства.

4 Лекция. Подходы к изучению гиперсетей. Q-анализ, структурные небоскрёбы. Определение метрики для исследования ядер и периферии гиперграфов.

Никита Артёмов, "Теорема Ньютона о неинтегрируемости овалов и монодромия"

И.Ньютон доказал (лемма XXVIII в «Principia»), что в случае гладкого плоского выпуклого овала функция объёма (т.е. функция на пространстве аффинных прямых, равная площади, отсекаемой прямой от овала) не может быть алгебраической. Планируется обсудить доказательство Ньютона, рассказать про различные обобщения этой задачи и сказать пару слов о методах теории монодромии изолированных особенностей, играющих ключевую роль в решении некоторых из них.

Маргарита Бенедичук, "Машинное обучение в сфере медицины"

Машинное обучение в сфере медицины, распознавание легочных заболеваний. Обзор тенденций медицинского ИИ, особенности работы в этой сфере, обзор кейса и матметоды в этом контексте.

Анастасия Вахрина, ПОСТЕР "Асимптотика числа выпуклых триангуляций проективной плоскости с тремя разными особыми точками"

Рассматриваются триангуляции RP^2 такие, что все вершины, кроме трёх, имеют степень 6, а три вершины имеют степени 3, 4 и 5. В данной работе мы доказали, что количество таких триангуляций из не более чем n треугольников растёт как C∙n^2+O(n^3/2), где C=√3/80(Л(π/2)+Л(π/3)+Л(π/6))ξ^{-1}(4)ξ(Eis,2), где Л - функция Лобачевского, а ξ(Eis,2) = Σ_{(a,b)∈Z^2\0})(1/|a+bω^2|^4), где ω = e^{2πi/6}.

Виктория Николаева, "Вокруг гипотезы о торическом ранге"

Рассмотрим гипотезу сформулированную Гальпериным в 85 году, дающую нижнюю границу на гомологический ранг кольца когомологий пространства с почти свободным действием тора. Кратко взглянем на конструкции, возникающие в случае произвольных (хороших) пространств. Разберем гипотезу для момент-угол комплексов: конструкцию симплициального удвоения, по которой будет построен вещественный момент-угол комплекс, с помощью которого будет доказана теорема.

Место проведения