1. Casquette ou Béret ?

Les quatre phrases prononcées ne peuvent être que vraies ou fausses. D'après les changements de chapeaux des Vésubiens, il y a deux Francs et deux Menteurs. Si A et C étaient deux Francs, A et C ne seraient pas myopes. Comme deux au moins portent une casquette, B et D porteraient une casquette. Comme B et D mentent, B aurait une casquette mais pas de béret et D aurait un béret ET une casquette. Il n’y aurait donc pas deux Vésubiens parmi les quatre qui auraient les mêmes caractéristiques.

Les deux Francs sont donc B et D. B porte un béret et une casquette.

2. Le fou à casquette ou le fou à béret

Compte-tenu des affirmations prononcées, le Distrait ne peut pas changer de chapeau. Il portait donc un béret au départ, comme le Fou. Le Franc et le Menteur portaient une casquette au départ. Comme ils ont un béret à la fin, c'est qu'ils ont entendu un nombre impair d'affirmations, vraies pour le Menteur, fausses pour le Franc. Seul C peut être le Franc. Il portait une casquette avant que D prononce sa phrase. La quatrième affirmation est donc fausse. La première affirmation ne peut être vraie. Comme il y a un nombre impair d'affirmations vraies, seule la troisième affirmation est vraie. La quatrième affirmation étant fausse et D portant un béret au moment où il prononce sa phrase, D n'est pas le Fou. Comme par hypothèse D n'est pas Distrait, il est le Menteur. B ne peut pas être Distrait, car son affirmation serait vraie. Donc B est le Fou.

1. Franc et Menteur

A a prononcé une phrase de nature différente de celle prononcée par B. Donc B a changé de chapeau. Il a dit la vérité. B est Franc. Puisque l'un est Franc, l'autre est Menteur.

2. Qui est le menteur?

A ne peut pas être Franc. Que le Franc soit B ou C, dans les deux cas, il affirme avoir changé de chapeau à la première affirmation, qui est donc fausse. A est le Menteur.

3. Quel type ?

Lorsque seules des affirmations vraies ou fausses sont prononcées, seuls les Francs et les Menteurs changent de chapeau. Partons de l'hypothèse que les trois affirmations sont chacune, ou vraies, ou fausses. Dans cette hypothèse, comme il n'y a pas de Menteur, il y aurait un Franc. Et comme ce Franc a changé une seule fois de chapeau, il y aurait une affirmation fausse, et deux vraies.

Les deux premières affirmations sont, ou fausses toutes deux, ou vraies toutes deux. L'affirmation fausse serait donc la troisième, les deux premières étant vraies. Mais dans ce cas, la troisième affirmation serait vraie. Donc l'hypothèse de départ est fausse.

Il y a parmi les trois affirmations au moins une affirmation contradictoire, qui ne peut être que la troisième, les deux premières affirmations étant vraies. A et C sont des Fous. B est Distrait ou Franc.