Resumo: O objetivo desta apresentação é investigar triplas estáticas positivas, métricas críticas do funcional volume e métricas críticas do funcional curvatura escalar total que satisfazem uma condição especial L^{n/2}-pinçada.

Resumo: Esta palestra apresenta um limite superior para a capacidade de superfícies em um semiespaço assintoticamente plano de dimensão 3, assumindo curvatura escalar não negativa e curvatura média do bordo não negativa. No caso de igualdade, obtemos um resultado de rigidez envolvendo o semiespaço de Schwarzschild. A abordagem baseia-se no fluxo inverso da curvatura média para hipersuperfícies com bordo e na monotonicidade da massa de Hawking modificada ao longo desse fluxo.

Resumo: Nesta palestra, inicialmente estudaremos a rigidez de discos mínimos com bordo livre que maximizam localmente a massa de Hawking modificada em uma variedade Riemanniana tridimensional com curvatura escalar limitada inferiormente por uma constante positiva e com bordo médio convexo. Supondo que tais discos são estritamente estáveis, provamos que uma vizinhança deste é isométrica a um espaço semi de Sitter--Schwarzschild.

Na segunda parte, exploraremos a relação entre massa e capacidade através do estudo dos conjuntos de nível de funções harmônicas, a fim de deduzirmos algumas desigualdades geométricas em variedades assintoticamente planas com bordo não compacto. Como consequência, estabelecemos um teorema de rigidez para o semi-Schwarzschild.

Resumo: É conhecido que o método do ponto proximal se destaca como uma ferramenta central em problemas de otimização e equilíbrio. Neste trabalho, foram realizados avanços significativos no desenvolvimento desse método, particularmente em dois contextos distintos: a otimização multiobjetivo em espaços de Hilbert e os problemas de equilíbrio em variedades de Hadamard. Nossa abordagem foi estruturada em três partes:

Na primeira, analisamos o resolvente baseado em funções de Busemann, conforme introduzido por Bento et al. J. Optim. Theory Appl., 200:428–436, 2024], além de propomos o método do ponto proximal para problemas de equilíbrio em variedades de Hadamard e estabelecemos a convergência do método.

Na segunda, utilizando subgradientes de Mordukhovich, introduzimos uma nova definição de pontos Pareto críticos, estabelecemos uma condição necessária de otimalidade e desenvolvemos uma versão refinada do algoritmo do ponto proximal vetorial, com uma análise detalhada de sua convergência em espaço de Hilbert.

 Por fim, também fundamentados nos subgradientes de Mordukhovich, estabelecemos uma condição necessária de otimalidade  para funções direcionalmente Lipschitz e contínuas em espaços de dimensão finita.

Resumo: Nosso objetivo, nesta apresentação, é estabelecer a existência de uma desigualdade do tipo Trudinger--Moser sob uma restrição do tipo Tintarev em espaços com peso. A inclusão de pesos adequados permite estender resultados clássicos para espaços que não possuem, necessariamente, dimensão inteira. Esse resultado generaliza um trabalho de Yang, originalmente proposto para espaços de dimensão superior a três, bem como um resultado mais abrangente introduzido anteriormente por Tintarev.

Resumo: Esta palestra aborda o modelo diferencial de turbulência de Ladyzhenskaya-Smagorinsky com dados iniciais parcialmente conhecidos. O foco principal é a existência de controles insensibilizadores em um domínio de controle arbitrário, com respeito à norma local L^2 do gradiente da solução do modelo. Inspirado pelo problema não resolvido discutido por [3], o objetivo deste estudo é encontrar uma função de controle que torna um funcional dependente do gradiente do estado localmente insensível a perturbações nos dados iniciais. O sistema em questão apresenta não linearidades tanto locais quanto não locais, com os termos de transporte usuais e viscosidade turbulenta, respectivamente. Este problema pode ser reformulado como um problema de controlabilidade nula não padrão, relacionado a um sistema em cascata não linear governado por uma equação em tempo direto e uma equação em tempo reverso. Para resolver este problema, são necessárias estimativas de Carleman, resultados de controlabilidade nula e novas estimativas para as soluções do sistema linear associado. A principal abordagem para estabelecer a controlabilidade nula para o sistema em cascata não linear baseia-se na aplicação de um teorema de mapeamento inverso em espaços de dimensão infinita.