Bu bölümde arXiv taraması yaparken ilgimi çeken makalelerden kısa özetleri vermek istiyorum. Bunu yapmamın iki sebebi var; birincisi benim günlük/haftalık olarak bakmaya çabaladığım bu taramayı sürekli canlı tutmak ve bu eylemden vazgeçmemek, ikincisi ise bu siteyi takip eden okuyucularla bu ve benzeri makaleleri tartışabilmektir. ArXiv' de günlük olarak makaleleri incelemek/gözden geçirmek kimi zaman hemen unutulan ve yoğun araştırma temposu içersinde es geçilen adımlardan biridir. Ancak alanınızla ilgili günceli takip etmek, açık problemleri incelemek ve literatüre hakim olmak için arXiv'e bakmak araştırma yapan bilim insanları için en önemli adımlardan biridir. Bu nedenle burada elimden geldiğince bazı okuduğum makalelerden özetler vermek istemekteyim. Umarım hem bana hem size bir faydası olur.
Makalelerde geçen denklemleri çok kullanmadan, genel olarak neyi amaçladıklarından bahsetmeyi düşünüyorum. Kimi zaman bilmediğimiz tanımlar ile karşılaşmamız çok normal. Bu gibi durumlarda ben ya bir link ile o tanımın geçtiği yerde ilgili siteye bir yönlendirme yapacağım (çoğunlukla wikipedia olacak ancak bu bir başka makale, kitap vs. de olabilir) ya da direk metin içerisinde yapabiliyorsam geçen ifadenin tanımını yapmaya çalışacağım. Bu kimi zaman parantez içerisinde kısaca bir iki cümleden ibaret olabilir.
Aslında ilk başlarda çok kavramları açarak ilerlemeyi düşünüyorum, hem bende bu kavramlar daha iyi bir yer edinir, hem okuyunca sizler artık sonraki adımlarda kavramlara daha aşina oldukça rahat okursunuz.
11/01/2022
arXiv:2201.03096
Raphael Bousso, Xi Dong, Netta Engelhardt, Thomas Faulkner, Thomas Hartman, Stephen H. Shenker, Douglas Stanford
Bugün denk geldiğim kara deliklerde bilgi paradoksu ile ilgili özet (review) bir makale. Yazarlar, son 2-3 yılda bu alanda ciddi gelişmeleri yapan bilim insanlarını barındırıyor. Örneğin Netta Engelhardt 2021 Breakthrough Prize' ı son yıllardaki çalışmalarından dolayı aldı. Kısaca bu özette yer alan çeşitli başlıkları ele alalım.
Öncelikle kara deliklerin bir termodinamik sistem gibi davrandıkları, yani belirli bir hacimde belirli bir sıcaklıklta bulunan gaza benzer şekilde, entropiye (Bekenstein-Hawking entropisi) ve sıcaklığa (Hawking sıcaklığı, bundan sonra HS) sahip olduklarını yaklaşık yarım asırdır biliyoruz. Kara delikler aslında tipik bir sıcaklıkta ışıma yapan bir kara cisim gibidir. Hawking'in yaptığı hesaplara göre kara delik ışıması bir termal kuantum durumuna (mixed state)sahiptir. Bu durum ilk bakışta çok dert değil, sonuçta kara delik ışıma yapıyor yani foton saçıyor belirli bir HS değerinde. Ancak peki başlangıç durumu saf bir durum (pure state) olsaydı ne olurdu? İşte paradoksun kaynağı burasıdır. Bir saf durumu, bir karşık (mixed state) duruma dönüştürmek kuantum mekaniksel olarak üniter olmayan bir dönüşüm olurdu. Ancak bu kuantum mekaniğinde herhangi bir durumun üniter evrimine aykırı bir durum olacaktı yani kuantum mekaniğinin en önemli özelliği ile çelişecekti. Bu kabaca bilgi paradoksu olarak bilinmektedir. Hawking'in ifade ettiği gibi kara deliğin olay ufkunun civarında dolanık (entangled) bir parçacık çiftinin biri kara deliğe düşüp diğeri ise kara delikten dışarı yayıldığında sistem hakkında bilgimiz yok olmaktadır. Bu nedenle sistemin sonraki hali bir saf durum ile değil, yoğunluk matrisi ile ifade edilebilir (density matrix), ve bunun sonunda denilebilir ki kuantum mekaniksel olarak elimizde saf bir durumu bir yoğunluk matrisine dönüştüren/taşıyan üniter bir Saçılma-matrisi (S-matrix) yoktur. Bu daha teknik bir anlatımla bilgi paradoksunun tanımıdır.
Tabi bu bilgi paradoksunun aslında elimizde bir kütleçekimin kuantum teorisinin olmamasından kaynaklandığını söyleyebilirsiniz. Ancak, olay tam olarak öyle değil, çünkü problem kütle çekimin daha hala Einstein teorisi gibi efektif bir teori ile tasvir edildiği yani klasik, hatta yarı klasik rejimde bir problem olduğu bilinmektedir. Bunu kavramların üzerinden geçtikten sonra izah etsek daha doğru olacaktır.
AdS/CFT çerçevesinde bildiğimiz gibi uzayzamanda (özellikle adına bulk dediğimiz sınırların dahil edilmediği uzayzaman bölesinde) var olan bir kara delik ile bu uzayzamanın sınırlarında yaşayan bir kuantum alanı birbirlerine dualdir. Bu durumda sınırda (boundary) yaşayan Kuantum alan kuramı (KAK)'nın entropisi, kara deliğin sahip olduğu Bekenstein-Hawking (BE) entropisine eşittir ki bu bildiğimiz gibi olay ufkunun yüzey alanıyla orantılıdır. Son yıllarda ortaya atılan Ryu-Takanayagi holografik dolaşıklık entropisine (holographic entanglement entropy) göre, belirli bir yüzeyin belirli bir alt kesitindeki KAK'nın dolaşıklık entropisi (DE) (örneğin somut olmak gerekirse, bu KAK'nın sınırında yaşadığı uzayzamanın sınırı bir çember şeklinde olsun ve bahsi geçen sınır kesiti bu çember yayının belirli bir kesri kadar olabilir, atıyorum 3'te 2'si kadar) bu yüzeyden bulk içine daldırılan minimum yüzeyin alanıyla orantılıdır. Yani bir KAK'ın DE'sini hesaplamak artık kütle çekim teorisi tarafından hesaplanabiliyor, tek yapmanız gereken KAK'ın yaşadığı sınır kesitinin bir kenarını oluşturduğu bu minimum yüzeyin alanını bulmaktır ki bu bir geometrik problem haline gelmektedir. Bu entropi kabaca bu yüzeyin alanı ile orantılı iken bazı ek katkılar içerebilmektedir. Bu ek katkılara QES (quantum ekstremal surface) denilmektedir. Bu ek katkılar bu bölgede var olabilen kuantum etkilerden kaynaklanır. Çünkü biz sadece sınırda KAK'yı ele aldık ancak bu minimum yüzeyde (sınırın belirli bir kesitinden taki bulk içlerine daldırılan minimum yüzey, sanki bir oyuk gibi) bazı KAK'ler yine olabilir, işte onlardan da bazı katkılar gelmektedir, bu katkılar QES karkılarıdır. Normalde Ryu-Tanayanagi DE'nde bu ek katkılar yoktu. İşte bu QES kara deliklerde bilgi paradoksu ile ilgili ilerlemelerde çok önemli bir yer tutmaya başladı. Bu QES'ler sayesinde ilk defa Hawking ışımasının entropisi için Page eğrisi (Page Curve) elde edildi (Page eğrisi ile ilgili çok kaba bir açıklama için Island, Page Curve and Superradiance of Rotating BTZ Black Holes adlı yazıya bakabilirsiniz). Bu yeni hesaplama tekniği ayrıca AdS/CFT dualizmini bir başka noktaya taşıdı. Bu ise kısaca şu şekilde özetlenebilir: elinizde bir sınır kesiti var (aslında bu kesitte bir KAK), bu kesitide içeren bir daldırılmış yüzey var buna wedge (aslında entanglement wedge)deniliyor. Bu wedge ile bulk'ın geri kalanını bir birinden ayıran yüzeye ise QES denilmektedir. Bunun için bir resim eklemek iyi olabilirdi ancak makaleden bakabilirsiniz. Diğer taraftan Page eğrisini elde etmek için yapılan başka bir yol ise yarı-klasik gravitasyonel yol integrali yöntemidir. Esas olarak ise burada önemli olan eyer noktaları katkılarıdır. Aslında bu eyer noktası yaklaşımı (saddle point approximation) ilk olarak bir kara deliğin entropisini bulmak için ilk defa Hawking ve Gibbons tarafından kullanılmıştır (Bu konuda ders notlarım bölümünde yol integrali yöntemi için buraya ve JT kütleçekimi notlarından ise yol integralinin kütle çekimi uygulamasına teknik olarak bakmak isteyebilirsiniz). Buradaki yenilik ise şudur: yol integralinde metrikler üzerinden toplam alınırken, işin içine kurt deliklerinin de katılması bu yarı klasik yaklaşımın sayesinde Page eğrisinin elde edilmesini sağlamıştır. Tabi bu hesaplar basitlik olmaları ve kontrol edilebilirlikleri nedeniyle iki boyutlu Jackiw-Teitelboim kütle çekimi kullanılarak yapılmıştır (teknik bir not için ders notlarım kısmına bakabilirisiniz).
Devam edecek...
07/01/2022
arXiv:2201.01964
Rajesh Kumar Gupta, Ramanpreet Singh
Bugün denk geldiğim ve biraz içeriği hakkında özet vermeye çalışacağım makale ölçek (scale) değişmez kuantum alan kuramları ile ilgili. Ancak buradaki makale, bildiğimiz relativistik(göreli) ölçek değişmez (scale invariant) kuantum alan kuramları (KAK) ile ilgili değil, göreli olmayan(non-relativistic) ölçek değişmez KAK ile ilgili. Burada göreli olmayan teoriler en basit anlamda Galilei grubu altında değişmez kalan teoriler. Göreli olmayan ölçek değişmez teorilerden kasıt ise aslında Schrödinger grubu altında değişmez kalan KAK'lar kastedilmektedir. Şimdi çok kısaca göreli, göreli olmayan ve ölçek değişmez gruplar nelerdir bahsedelim.
1-Göreli simetriler
A)- Poincaré simetrileri
Poincaré simetrileri uzayzamanda ötelemeler (uzayın boyutu D ise D tane) ve uzayzamanda dönmelerden oluşur (Lorentz boosts, uzayın boyutu D ise D(D-1)/2 tane). Uzayzamanda dönmeler aslında Lorentz dönmeleri ile standart uzay dönmelerini tek çatı altında birleştiği simetridir. Dört (D=4) boyutta 4 + 6 = 10 tane simetri vardır, ve bu simetirleri üreten üreteçler Poincaré cebrine uyarlar. Bu grup aslında Minkowski uzayzamanının tam simetrileridir. Matematiksel olarak bu uzayzamanın izometrilerini oluşturur, yani bu simetriler uzayzaman metriğini değişmez bırakır. Genel görelilik, standart model vb gibi teorilerin simetrileri Poincaré simetrileridir.
B- Konformal simetriler
Poincaré simetrilerine ek olarak Minkowski uzayzamanının metirği, ölçek (dilatation) ve özel konformal simetri (special conformal symmetry-makalede expansion olarak geçecek) varlığında bir fonksiyon kere çarpan kadar değişir. Colman-Mandula teoremine göre kütlesiz relativistik bir teorinin maksimal simetrileri konformal simetrilerdir. Bu simetrilerin ötesine ancak uzayzaman simetrileri ile sıra değiştiren (commute) "iç"(internal) simetriler (örneğin SU(2), SU(3) vb gibi) eklenebilir. Ancak bunun etrafından dolaşmak isterseniz süpersimetrileri işin içine katarsınız ve simetrileri süper-konformal simetrilere (kütlesiz teoriler için) genişletebilirsiniz (bakınız: Haag–Łopuszański–Sohnius teoremi).
2-Göreli olmayan simetriler
A- Galilei simetrileri
Galilei simetrileri aslında Poincaré simetrilerinin ışık hızı sonsuz olduğundaki limitidir. Bu prosedüre büzüştürme (contraction) denilir. Bu işleme İnönü-Wigner büzüştürmesi denilir. Galilei simetrileri, uzayda öteleme, zamanda öteleme ve uzayda dönmelerden oluşur. Artık zaman ve uzay farklı içeriklere sahip olduklarından bu iki koordinatı birbirine dönüştüren Lorentz dönüşümleri yoktur. Onun yerine Lorentz dönüşümlerin sonsuz ışık hızı limiti olan sadece uzaysal dönmeler vardır. Galilei simetrileri esasında Newton denklemlerinin, Öklit uzayının simetrileridirler (Öklit uzayı ve zamansal yapraklanma (foliation) birlikte yani uzaysal hiperyüzey zaman parametresine bağlı olarak yaprak yaprak bir yapı oluşturur. Bu resim aslında ışık konilerinin açılması ike elde edilen resimdir, çünkü göreli olmayan limit ışık konilerini açar). Galilei simetrilerinin üreteç sayısı benzer şekilde Poincaré simetrilerinin üreteç sayısına eşittir. Galilei simetrilerine merkezi eleman (central element/charge) üreteci eklenerek bu simetriler Bargmann simetrileri halini alır. Burada merkezi eleman demek, grubun diğer tüm üreteçleri ile sıra-değiştirmesi sıfırdır denilir. Aslında grubun Casimir'i gibi davranmaktadır (Örneğin kütle için kütle üreteci göreli olmauan sistemlrde bir Casimirdir). Belirli bir başlangıç grubundan, o grubun üreteç sayısından fazla üreteç elde edip yeni bir grup oluşturmaya Lie cebri genişlemesi (Lie algebra exopansion) denilir. Böylece, çeşitli göreli olmayan gruplar elde edilebilir. Neyse, konumuza dönersek, göreli-olmayan simetriler denilince aklımıza alt kümesi Galilei olan simetriler/gruplar gelmelidir. Ayrıca, Poincaré simetrilerinin ışık hızı sıfır limiti diye bir limiti vardır ki bu durumda bu simetrilere Carroll simetrileri denilmektedir(bu konu başka bir yazıya kalsın, mutlaka Carroll simetrileri ile ilgili bir makale özetleriz burada, resim olarak ışık konilerinin kapandığı bir uzayzaman yapısı düşünün).
B-Schrödinger simetrileri
İlk bakışta ilgileneceğimiz simetrilerin, göreli olmayan simetrilere konformal/ölçek simetrileri eklendiğinde elde edilen konformal Galilei simetrileri (conformal Galile symmetries) olacağını düşünebilirsiniz ancak o değil. En önemli sebeblerinden biri, göreli olmayan sistemlerde kütle çok önemlidir ve kütlesiz parçacık diye bir şey yoktur (Newton hareket denklemleri, Schrödinger denklemi örneğin kütle içerir). Bu nedenle göreli olmayan simetrilerin kütle ile ilgili bir üretece sahip olması beklenir çünkü tüm bir fiziksel süreçte kütle korunur, parçacık oluşumu yoktur. Bu nedenle Galilei simetrileri ve onun konformal genişlemesi yerine, Schrödinger denkleminin simetrileri olduğu için adı Schrödinger grubu olan simetriler aslında göreli olmayan ölçek değişmez KAK'larının simetrileridir. Sonuç olarak Schrödinger simetrileri; Galilei simetrileri, merkezi eleman olan kütle üreteci (bu ikisi Barrgmann simetrilerini oluşturur), ölçek simetrisi ve özel konformal simetri (bu üreteç tek bir tanedir, göreli ve konformal Galilei'deki siimetrilerde bu bir vektördür, ancak burada dilatation simetrisi gibi tek bir üreteçtir- makalede expansion adıyla anılır) üreteçlerinden oluşur. Schröidnger simetrileri sonuç olarak konformal Galilei simetrilerinden daha az sayıda üretece sahiptir. Aslında Schrödingerr simetrileri, bir üst boyuttaki konformal simetrilerin belirli bir yeniden tanımlanması (Lorentz simetri açıkça kırılır) ve bazı üreteçlerin uygun bir şekilde atılması sonucunda da elde edilebilir. Sonuç olarak bu makalede Schrödinger simetrilerine sahip KAK ve onun özellikleri incelenmektedir.
Makaleden devam edelim
Aslında makalede de kısaca bahsedildiği gibi Schrödinger simetrilerini çalışmanın çok önemli yanı, aşırı soğuk atomların yani özellikle üniterlikteki fermiyonların dinamiğini tasvir etmesidir. Bu sistemler kritik noktalarda ölçek değişmez özellikler gösterir ve çok özel bir potansiyele sahip Schrödinger denklemi ile tasvir edilirler (kimi durumda bu sanırım serbest bile olabilmektedir). Aşırı soğuk atomların en önemli özelliği, bu kadar düşük sıcaklıklarda (sıfır K'ye çok yakın) kuantum mekaniksel özellikleri dramatik bir şekilde etkili olmasıdır. Ayrıca Fermi gazı için potansiyel, düşük sıcaklıklarda öyle bir şekilde seçilir ki artık sistem evrensel bir nitelik taşır, uyarılmalar her dalga boyunda görülmeye başlar, işte bu nokta ölçek değişmez kritik noktadır. Bu sistemi tasvir etmek ise az önce söylediğimiz gibi Schrödinger denklemi ile olur. Şimdi sistem artık ölçek değişmez ise bu sistemin korelasyon fonksiyonları artık göreli konformal alanlarda yapıldığı gibi rahatça bulunabilir. Çünkü ölçek değişmez teorilerin korelasyon fonksiyonları da evrensel nitelikler taşır. Bu nedenle Schrödinger simetriler sayesinde teorinin korelasyon fonksiyonları kolayca bulunabilir. Burada göreli konformal alan teorileri (CFT) ile diğer benzerlik, ise durum-operatör benzeşmesi (state operator correspondence)nin geçerli olmasıdır, yani elinizde bir primer alanın (primary field- bu simetriler altında düzgün dönüşen ve bir ölçek boyutu-scaling dimension adlı bir sayıya sahip olan alan) ölçek sayısı ile enerji seviyeleri arasında bir ilişkinin olmasıdır. Bildiğim kadaryıla bu enerji seviyeleri harmonik osilatörün enerji seviyeleridir.
Tabi bu simetriler ve sistemler çalışılmadı mı şu ana kadar? Tabi ki çalışıldı, örneğin bakınız: Toward an AdS/cold atoms correspondence: a geometric realization of the Schroedinger symmetry Ancak bu makalede yeni olan, bu prosedürü sınırı olan uzayzamanlarda yapmak olarak özetlenebilir. Bir uzayzamanda sınır varsa, bu bir çok açıdan sistemi değiştirir. En önemlisi sınır olan bir uzayzamanda konformal simetriler kırılır ya da bir alt kümesine kırılır (Örneğin D bpyutlu simetriler artık sınır şartlarını koruyarak D-1 boyutta geçerlidir). Bunun nedeni sınırlarda var olan sınır şartlarını korumaktır. Bu sınırlara sahip uzayzamanlarda anomaliler, kritik davranışlar gibi çeşitli özellikler göreli sitemler için genel olarak çalışılmıştı. Bu makale bunu göreli olmayan rejimde tamamlamayı planlamaktadır. Makalede de verildiği gibi sınırı olan uzayzamanlar özellikle çok güçlü etkileşen sistemlerin incelenmesi (AdS/CFT), katı hal sistemleri, sicim kuramı (D-zarlar üzerinde sonlanan açık sicimler- open string) gibi fiziğin değişik alanlarında karşımıza çıkmaktadır.
Burada teknik detaya ya da aslında denklemlere vs çok yer vermediğimiz için makalenin teknik kısımları bizi pek ilgilendirmiyor (ben bir göz atıyorum tabi ki). Ancak makalede kabaca şu başlıklar inceleniyor:
2- Öncelike D=1+d boyutta Schrödiger simetrileri tanıtılıyor (aslında bu simetrilere karşılık gelen Lie cebri veriliyor, yani Sch(d) cebri). Tabi bahsi geçtiği için, sınırı olan uzayzamanda bu simetriler artık sınır şartlarını koruyacak şekilde indirgenir(reduced) yani D=1+d için geçerli olan simetriler yerine (d-1) + 1 için geçerli simetriler halini alırlar. Örneğin bu durumda D=1+1 seçilirse, Schrödinger simetileri bildiğimiz SL(2,R) simetrilerine dönüşür. Sınırlarda ise sadece zaman boyutunun olduğu bir simetri açığa çıkar. Bu bir yerlerden tanıdık gelebilir (iki boyutlu AdS uzayzamanının sınırı sadece zamansaldır).
3- Ardından makalede korelasyon fonksiyonları ile sınırda operator çarpım açılımı (operator product expansion- OPE) incelenmektedir. Burada OPE, konformal simetrilerin varlığında elde ettiğimiz çeşitli operatörlerin(bunlar primer alanlar ve onlardan türetilen/türevlenmiş çeşitli operatörlerdir), Taylor serisine benzer şekilde seriye açılması ilkesine dayanır (tabi burada bu açılım yakınsak bir açlım olmaktadır). Teknik detay için tabi ki Introduction to Conformal Field Theory veya String Theory-Vol1 (Ayrıca David Tong'un sicim teorisi notlarında da CFT bölümüne bakılabilir, bu daha hızlı bir aşinalık yaratabilir) bakabilirisiniz. Kabaca OPE, iki operatörün çarpımının lokal operatörler ve onlardan türetilmişler (descendants) yardımıyla açılımının elde edilmesidir denilebilir. Korelasyon fonksiyonları standart Ward eşitlikleri kullanılarak bulunur. Tek nokta ve çift nokta fonksiyonlarının elde edilmeleri makalede açıkça gösterilmektedir. Sonuç olarak OPE yerel operatörler aracılığı ile yapıldığından, bulk(burada sınır olmayan kısım yani bir uzayzamanın sınırları dışında kalan "iç" kısmına verilen ad) operatörleri, sınır (boundary) operatörleri aracılığıyla yazılabilmektedir.
4- Sonraki bölümde eğri uzayzamanda bu göreli olamayan KAK'ının nasıl ifade edildiği inceleniyor. Burada kısa yoldan direk Newton-Cartan (NC) geometrisi ile kuple etmek yerine bir üst boyutlu göreli konformal değişmez teori (skaler alan artı kuple olmuş Ricci tensörü) ele alınıp, ışıksal doğrultuda indirgenmesi (null reduction) yapılarak NC yapısı elde ediliyor, yani doğal olarak göreli olmayan eğri uzayzamana kuple göreli olmayan KAK elde edilebilmektedir. Bildiğim kadarıyla bu durumda anomali hesaplanmıyor, ancak sınırı olmayan uzayzamanlarda bu anomali hesaplanmıştır, yani NC yapısı için hesaplanmıştır (makalede referanslara bakılabilir).
5- Bir sonraki kısımda, bulktaki serbest fermiyonlar ile sınırlarda yaşayan kompleks skaler alanın etkileştiği bir model ele alınıyor. Bu modelde sınırda yaşayan skaler alanın dalga fonksiyonu renormalize ediliyor ki bu durumda hangi etkileşmeler/Feynman diagramlarının gerektiği bir şekilde anlatılıyor. Bu hesap bir ilmek seviyesinde yapılıyor (one loop level). Ayrıca kuplaj sabiti (etkileşme sabiti-coupling constant) renormalizasyonu yapıldıktan sonra beta fonksyionu bulunuyor, bu beta fonksiyonlarının güzel tarafı ölçek değişmez sabit noktalara sahip olmasıdır (fixed points). Bu noktalar beta fonksiyonunun kritik(sofor olduğu) noktalardır. İşte bu noktalarda teori göreli olmayan konformal KAK ile tasvir edilmektedir. Aslında beklentimiz o yöndeydi, çünkü beta fonksiyonu sıfır demek sistemde herhangi bir ölçek, yani boyutlu herhangi bir parametre yoktur diyebiliriz. Özellikle buna relativistik örnek ise Super Yang-Mills teorisi verilebilir. SYM'in beta fonksiyonu sıfırdır bu nedenle çok güzel bir CFT örneğidir. Burada esasında renormalizasyon yapmak için boyutsal regülarizasyon (dimensional regularization- t'Hooft ve Veltman) metodu kullanılmaktadır. Bunu daha önce çalıştıysanız sizin için iyi bir hatırlatma egzersizi olur diye düşünüyorum.
Sonuç olarak, bu makalede Schrödinger simetrilerine sahip bir KAK'nın sınırı olan bir manifold varlığında çeşitli özellikleri incelenmiştir. Açık bir kaç problem ise makalenin discussion kısmında özetlenmiştir. Bu makaleyi seçmemin sebebleri ise; i) basitçe okunuyor, ii) çoğu kavrama aşina olduğumu düşündüm, iii)aşina ya da az çok bildiğim kavramları aktarabileceğimi düşündüm, iv) diğer seçimlerime benzer şekilde birden fazla alandaki teknikleri barındırması olarak sıralanabilir.
04/01/2022
Belki Ders Notları ve Sunum ve Derslerim sayfalarından farketmişsinizdir bir yıldır iki boyutlu kütle çekim teorilerinden biri olan Jackiw-Teitelboim kütleçekim teorisi ile biraz ilgiliyim. Bunun çeşitli sebebleri var ancak en önemlisi bu model bir oyuncak model (toy model) olarak çok basit. İki boyutlu uzay-zamanda bir kütle çekim teorisi ne kadar enteresan olabilir diyebilirsiniz ancak bu modelin kara delik çözümleri bile var. Neyse, ilgilenenler Ders Notları sayfamıda bu konu ile ilgili ayrıntılı bir ders notu bulabilirler. Bu makaleye bugün denk geldim ve her zaman olmayan bir şey yaşadım: o da bu makaleyi okuyup bir kısmını anladığımı farkettim. Bu her zaman başınıza gelen bir şey değil.
80'li yılların ortalarında Chern ve Tenenblat, sözde-küresel (pseudospherical) yüzeyleri tanımlayan kısmi türevli diferansiyel denklemlerin (KDD) belirli şartlara uyduğunu göstermişlerdir. Bu şartlardan birisi yapı denklemlerinin sağlanmasıdır. Burada sözde-küresel yüzeylerden kastedilen sabit negatif eğrilikli yüzeyler olmalarıdır. Aslında bu yapı denklemleri Cartan yapı denklemleri olarakta bilinirler. İşin özü elinizde bir KDD var ve bu denklemin bir sözde-küresel 'i tanımlaması için gerekli şartlardan birisi yapı denklemlerinin sağlanmasıdır. Bu kadar. Bu KDD'nin çözümleri kullanılarak belirli bir metrik yapısı yapı denklemleri aracılığıyla elde edilebilmektedir. Bu KDD'ler içinde en bilineni ise sine-Gordon denklemidir. Bu makalede gösterilen noktalardan biri işte bu sine-Gordon denklemi ile JT'nin kütle çekim denklemlerinin özdeş olduklarıdır. Bu durumda, sine-Gordon denkleminin çözümü olan her bir f fonksiyonu için farklı farklı sözde-küresel manifoldları elde edilmektedir. Bu manifoldlar arasındaki dönüşümler ise çok iyi bildiğimiz Cauchy-Riemann denklemlerinin genel halleri olan Bäcklund dönüşümleridir. Diferansiyel geometride, Bäcklund dönüşümleri bu sözde-küresel yüzeyleri birbirine lineer diferansiyel denklemler aracılığıyla dönüştürürmüş. Ancak KDD dilinde ise bu aslında çözüm üretici bir süreç olarak bilinmektedir. Yani bir çekirdek/tohum çözümden başlayarak diğer çözümleri elde etmeye yaramaktadır. Şimdi yukarıda bahsettiğimiz gibi Bäcklund dönüşümlerinin özel halleri olan Cauchy-Riemann denklemleride u ve v gibi harmonik fonksiyonları (Laplace denklemine uyan fonksiyonlar) birbirine gönderir/dönüştürür. Bu nedenle u ve v birbirinin harmonik konjugesidir denilir. Sonuç olarak, bu yapı denklemlerinin sağlandığı durumda elmizde var olan iki boyutlu manifoldu tasvir eden metriği, JT aksiyonunda yerine koyunca karşımıza (hareket denklemleri elde edildiğinde) sine-Gordon denklemi çıkıyor. Aslında burada olan JT ile sine-Gordon aksiyonlarının eşitliği değil, sadece bu metrik seçiminde Einstein alan denklemlerini JT'nin aksiyonunda yerine koyup, dilaton alanına göre hareket denklemi elde edildiğinde karşımıza sine-Gordon denklemi çıkıyor. Örneğin JT'nin karadelik çözümleri gibi egzotik özelliklerinin anlaşılması bir şekilde sine- Gordon denkleminin çözümlerine/özelliklerine indirgenmiş oluyor. İki boyutta (bir uzay+ bir zaman) sabit eğrilikli metrikler (bunlar Minkowski, de Sitter ve anti-de Sitter olabilir) JT'nin birer çözümüdür. Bu makalede de gösterilen noktalardan biri, sine-Gordon denkleminin çözümü olan sine-Gordon kink (burada kıvrılma diye çevirdim) ile JT'nin karedelik çözümü birbirine özdeş olmalarıdır.
Bu nedenle hem kütle çekimi, hem diferansiyel geometri hem de analiz konularının iç içe geçtiği bir inceleme.
06/01/2022
Ming-Hui Yu, Cheng-Yuan Lu, Xian-Hui Ge, Sang-Jin Sin
Bu makale esasında 29 aralık tarihinde arxiv'de görünüyor ancak bazı düzeltmelerle 5 ocak tarihinde tekrar sitede belirince denk geldim. Bu makale karadeliklerde bilgi paradoksu üzerine bir çalışma.
Karadeliklerin Hawking ışıması yaptığı ve bu nedenle belirli bir sıcaklığa ve entropiye sahip olduğu 70'li yıllardan beri biliniyor (Bu konu ile ilgili teknik bir not oluşturmanın zamanı geldi sanırım). Buradaki en önemli özelliklerden biri artık karadeliklerin klasik Einstein denklemlerinin bir sonucu olmasından öte, ki artık günümüzde gözlemsel olarak varlıkları kanıtlandı, termodinamik özelliklere sahip oldukları Bekenstein, Hawking, Carter, Wald vd gibi fizikçiler tarafından gösterilmiştir. Bu nedenle karadeliklerin termodinamiği, bir iki kavramsal fark dışında bildiğimiz termodinamik yasalarına denktir. Hawking'in hesaplamalarına göre (Bu hesaplara yarı-klasik hesaplar denilebilir, çünkü klasik kara delik geometrisi arka planında çeşitli kuantum alanların özellikleri incelenmiştir) karadelikler kütleleri ile ters orantılı bir sıcaklğa sahip olacak şekilde bir kara cisim gibi ışıma yapar ve doğal olarak kütleleri zamanla azalır. Şimdi en önemli noktaya geldik: karadeliklerin ışıması aslında termal bir ışımadır ve kuantum mekaniksel olarak bu termal ışıma bir ayrılamaz/karışık (mixed state) oluşturur. Peki oluştursun, bunda ne gibi bir problem olabilir ki? Problem şu: eğer karadelik tamamen yok olmadan önce, başlangıçta bir saf (pure) kuantum durumu bir karadeliğe düşse ya da karadeliğin kendisi bir saf durum olsaydı, bu saf durumun zamanla termal yani karışık duruma dönüştüğünü söylemek durumundayız. Bu büyük bir problem mi? Evet. Kuantum mekaniğinin en önemli özelliği, onun üniter olmasıdır yani olasılıkları korur. Zaman evrimi üniterdir ve hiç bir zaman saf bir durum karışık bir duruma evrilemez. İşte bilgi paradoksu kabaca budur.
Peki karadeliker kuantum mekaniksel bir obje olarak ele alındığında, üniterliği korumak için nasıl bir ışıma yapmalıydı? Bunun cevabı ise karadeliğin ve Hawking ışımasının toplam dolanıklık (entanglement) entropisinin (von Neumann entropiside denilebilir) Don Page tarafından gösterilen bir eğriyi takip etmesi gerekiyor. Bu eğriye Page eğrisi (Page curve) denilmektedir. İşte, kabaca karadeliklerde bilgi paradoksunu çözmek demek karadeliğin ve ışımanın entropisinin toplamının bu eğriye uyup uymadığını göstermek demektir(Sanırım Sieberg'ın bir sözüydü bu ama hatırlamadım). Hawking'in hesabına göre dolaşıklık entropisi (aslında buradaki entropi Bekenstein-Hawking entropisidir ama belirli durumlarda bu dolaşıklık entropisine denktir) (DE) bu eğriye uymaz ve lineer bir şekilde artar. Ancak sonuçta karadeliğin bir kısıtlı entropisi vardır ki bu ise olay ufkunun alanıyla (S =A/4G, G Newton kütleçekim sabiti) orantılıdır. Bu durumda entropinin ışıma tarafından hesaplandığında artması ayrıca bir problemdir. Normalde beklenen başlangıçta sıfır olan DE'nin zamanla artması ardından bir maksimum değere gelip tekrar sıfıra inmesi beklenir. Ancak standart Hawking hesabına göre bunu göremeyiz. Her neyse, lafı fazla uzatmadan sadede gelelim. Kimi modeller kullanılarak bu Page eğrisi son yıllarda bazı karadelikler için elde edilebilmiştir. Örneğin son yılarda popüler bazı kaynaklar için bakınız: quanta magazine ve yine burada quanta magazine. Daha teknik ama okadar da teknik olmayan bir özet için The entropy of Hawking radiation bakabilirsiniz.
Şimdi öncelikle Page eğrisi iki boyutlu (bir zaman bir uzay) karadelikler için elde edilmişti: buna, buna, ve buna bakınız. Bu karadelikler iki boyutlu Anti-de Sitter(AdS) uzayzamanında var olan karadeliklerdi(bu konu ile ilgili teknik bilgi için benim yazdığım notlara bakabilirsiniz- JT kütleçekimi). Şunu sorabilirsiniz: AdS'te bir karadelik ışıma yapsada etrafındaki uzayzamanla termal dengededir. Haklısınız, ancak bunun üstesinden bu uzayzamanın sınırlarına iki tane ısı plakası gibi CFT (konformal alan teorisi) eklerseniz, bu radyasyonu toplar ve sayabilirsiniz. Sonuç olarak iki boyutlu AdS uzayzamanında bulunan karadelikler için yapılan hesabın benzeri (bazı ufak farklılıklar olmasına rağmen) bu sefer üç boyutlu AdS uzayzamanında var olan BTZ (Banados, Teitelboim, Zanelli) karadelikleri için yapılmıştır. İşin özü bu üç boyutlu teorinin bir boyutunu sıkıştırırsanız (compactifivation), elinize iki boyutlu kütle çekim teorisi çıkar. Yani üç boyutta kozmolojik sabitin varlığında Einstein-Hilbert aksiyonunda bir boyutu sıkıştırırsanız (varsayalım bu silindirik koordinatlarda phi açısal koordinatı olsun) elinize iki boyutlu kütle çekim teorisi çıkar. Ayrıca karadelik geoemtrisini benzer şekilde sıkıştırısanız (BTZ'yi), o zaman iki boyutlu karadelik elde edersiniz.
Bu makalede, son yıllarda karadelik ve ışımanın entropileri toplamının aslında standart Bekenstein-Hawking entropisi değilde, Page eğrisine uyması için bazı ek katkılar alarak von Neumann entropisi (DE aynı zamnda) vermesi, adına Island Formula denilen yeni bir kavramla yapılmaktadır. Burada olan, belirli bir kuantum ekstrim yüzeyinin (quantum extremal surface-QES) karadelik ışıma yaptıkça negatif yönde entropiyi azaltıcı bir etkide bulunarak belirli bir zaman sonra (bu Page zamanı olarak bilinir) entropinin tekrar sıfıra inmesine yani üniterliği kurtarmamıza neden olur.
Sonuç olarak iki boyutlu karadekler için başlatılan bir çalışma, ona oldukça benzeyen üç boyutlu BTZ karadelikleri için de yapılmış oldu. Belli bir aman sonra 4 boyutta Schwarzschild için yapılan bir çalışmayı burada tartışırız. Ancak belki ondan önce yukarıda yüzeysel olarak veridiğim karadeliğin entropisi, Page eğrisi, holografik dolaşıklık entropisi, Island formula QES gibi kavramları daha iyi anlamamızı sağlayacak bir yazı yazmak daha doğru olabilir.