Paweł Pilarczyk

Title:

Ile dynamiki stochastycznej jest w odwzorowaniu logistycznym?

Abstract:

W referacie opowiem o wybranych zastosowaniach ścisłych metod numerycznych do próby uzyskania odpowiedzi na pytanie tytułowe, w którym interesuje nas miara zbioru parametrów, dla których odwzorowanie jest stochastyczne w sensie ergodycznym. Metoda szacowania tej miary od dołu polega na połączeniu obliczeń analitycznych ze ścisłymi obliczeniami numerycznymi. Jest to wspólna praca ze Stefano Luzzatto (International Centre for Theoretical Physics, Włochy) i kilkoma innymi osobami. Na razie Stefano z Japończykiem Hirokim Takahashim uzyskali bardzo kiepskie (ale dodatnie) oszacowanie metodami analitycznymi; mamy nadzieję, że metody numeryczne pomogą nam znacznie poprawić to oszacowanie. Jeszcze nie uzyskaliśmy końcowego wyniku, ale opracowaliśmy kilka nietrywialnych metod numerycznych, które pozwoliły lepiej zrozumieć dynamikę tego odwzorowania. O tych metodach oraz o uzyskanych wynikach opowiem na seminarium, głównie na podstawie naszego najnowszego artykułu „Rigorous numerics for the quadratic family” (arXiv:2004.13444 [math.DS]).

Bazyli Kot

Title:

Sliced Wasserstein Kernel for Persistence Diagrams

Abstract:

W swoim referacie przybliżę pojęcie diagramu persystencji oraz ideę ich zanurzania w przestrzeń lepiej przystosowaną do rozwiązywania zagadnienia klasyfikacji. Omówię metodę kernelową bazującą na metryce Wassersteina. Na podstawie pracy:

http://proceedings.mlr.press/v70/carriere17a/carriere17a.pdf

Szymon Drenda

Title:

Algorytm liczenia n wykładników Lyapunowa dla nieznanego n-wymiarowego systemu dynamicznego

Abstract:

Przedstawię algorytm estymujący wykładniki Lyapunowa systemu dynamicznego na podstawie jego obserwacji. Pokrótce opiszę, czym są wykładniki Lyapunowa, sprecyzuję pojęcie „obserwacji systemu” oraz omówię zaproponowany w artykule algorytm. Referat na podstawie artykułu Ramazana Gencaya i W. Davis Decherta (https://www.sciencedirect.com/science/article/abs/pii/016727899290210E).

Damian Sadowski

Title:

Dyskretna teoria Morse'a

Abstract:

Postaram się pokrótce omówić adaptację Teorii Morse'a do ujęcia kombinatorycznego. W kontekście CW kompleksów przedstawię definicję funkcji Morse'a na kompleksie symplicjalnym, która doprowadzi do pojęcia gradientowego pola wektorowego z funkcją Morse'a na kompleksie symplicjalnym. Na koniec przejdę do definiowania w tym kontekście kompleksu Morse'a i liczenia homologii.

Na podstawie artykułu Robina Formana (https://www.emis.de/journals/SLC/wpapers/s48forman.pdf).

Daniel Wilczak

Title:

C1-algorytm dla dysypatywnych równań cząstkowych

Abstract:

Przedstawię opracowany niedawno algorytm ścisłego całkowania równań wariacyjnych dla pewnej klasy dysypatywnych równań cząstkowych. Algorytm został przeze mnie zaimplementowany, a otrzymane oszacowania dla równań Kuramoto-Shivashinskiego są całkiem optymistyczne i mam nadzieję, że pozwolą przeprowadzić komputerowo wspierane dowody istnienia i hiperboliczności rozwiązań okresowych. Referat na podstawie wspólnych badań z Piotrem Zgliczyńskim.

Mateusz Przybylski

Title:

O funktorze Szymczaka (4)

Abstract:

Kategoria i funktor Szymczaka to kluczowe narzędzie w konstrukcji indeksu Conleya dla dyskretnych układów dynamicznych wprowadzone w [A. Szymczak, The Conley index for discrete semidynamical systems, Topology Appl. 66 (1995), 215-240]. W referacie przypomnę definicję tych pojęć oraz przedstawię częściowe wyniki dotyczące klasyfikacji obiektów kategorii Szymczaka dla kategorii zbiorów skończonych i relacji jako morfizmów. Ponadto zaprezentuję związki wspomnianej klasyfikacji z klasyfikacją macierzy Boole'a względem silnej równoważności shiftu (strong shift equivalence).

Mateusz Przybylski

Title:

O funktorze Szymczaka (3)

Abstract:

Kategoria i funktor Szymczaka to kluczowe narzędzie w konstrukcji indeksu Conleya dla dyskretnych układów dynamicznych wprowadzone w [A. Szymczak, The Conley index for discrete semidynamical systems, Topology Appl. 66 (1995), 215-240]. W referacie przypomnę definicję tych pojęć oraz przedstawię częściowe wyniki dotyczące klasyfikacji obiektów kategorii Szymczaka dla kategorii zbiorów skończonych i relacji jako morfizmów. Ponadto zaprezentuję związki wspomnianej klasyfikacji z klasyfikacją macierzy Boole'a względem silnej równoważności shiftu (strong shift equivalence).

Mateusz Przybylski

Title:

O funktorze Szymczaka (2)

Abstract:

Kategoria i funktor Szymczaka to kluczowe narzędzie w konstrukcji indeksu Conleya dla dyskretnych układów dynamicznych wprowadzone w [A. Szymczak, The Conley index for discrete semidynamical systems, Topology Appl. 66 (1995), 215-240]. W referacie przypomnę definicję tych pojęć oraz przedstawię częściowe wyniki dotyczące klasyfikacji obiektów kategorii Szymczaka dla kategorii zbiorów skończonych i relacji jako morfizmów. Ponadto zaprezentuję związki wspomnianej klasyfikacji z klasyfikacją macierzy Boole'a względem silnej równoważności shiftu (strong shift equivalence).

Mateusz Przybylski

Title:

O funktorze Szymczaka (1)

Abstract:

Kategoria i funktor Szymczaka to kluczowe narzędzie w konstrukcji indeksu Conleya dla dyskretnych układów dynamicznych wprowadzone w [A. Szymczak, The Conley index for discrete semidynamical systems, Topology Appl. 66 (1995), 215-240]. W referacie przypomnę definicję tych pojęć oraz przedstawię częściowe wyniki dotyczące klasyfikacji obiektów kategorii Szymczaka dla kategorii zbiorów skończonych i relacji jako morfizmów. Ponadto zaprezentuję związki wspomnianej klasyfikacji z klasyfikacją macierzy Boole'a względem silnej równoważności shiftu (strong shift equivalence).

Andrey Jivkov

Title:

Towards Geometric Mechanics of Solids

Abstract:

Describing materials' sub-continuum structures with 3-complexes, known from algebraic topology, offers multiple advantages for modelling and simulation. For example, a set of grains forming a polycrystalline material is a 3-complex of 3-celles (volumes), 2-cells (faces), 1-cells (edges) and 0-cells (vertices). Sub-grains structures down to atomic lattices can be conceptualised in a similar way, providing an opportunity to work across length scales with a single computational framework. The discrete nature of such representations is attractive, because it allows for assigning different characteristics to individual or sets of k-cells in order to capture heterogeneity at particular length scales. For example, measurable features of variable sizes or properties of variable magnitudes can be readily incorporated. Importantly for mechanical analysis, discrete representations allow for capturing explicitly micro-crack initiation, growth and coalescence. Development of analysis on such 3-complexes is essential for unlocking the potential of such representations.

Discrete Exterior Calculus (DEC) offers an efficient way to analyse 3-complexes. Currently DEC uses the de Rham complex, known from algebraic and differential topology, with Hodge star operators to form discrete analogues of gradient, curl and divergence. This approach has been successfully applied to analysis of a number of physical problems with scalar principal unknown. The few attempts to describe elasticity with DEC are limited to 2D problems and have a common problem — Hodge stars couple fully material constitutive laws with metric information. As a result, such descriptions are only applicable to truss structures, and these are more conveniently analysed with 1-complexes (graphs). This talk presents the on-going project Geometric Mechanics of Solids (GEMS), which aims at developing an efficient tool for analysis on 3-complexes with representing elasticity as critical first step. Several DEC based-schemes with different Hodge star operators are discussed.

One line of enquiry is based on a discrete analogue of the Navier-Lame equation of linear elasticity using a scalar-valued discrete differential forms: 0,1,2,3-cochains (functions on 0,1,2,3-cells). While this formulation can be seen as intrinsic, prescribing boundary conditions requires mapping between co-chains and external vector fields. Finding unique mapping is challenging because both vector fields and cochains belong to infinite dimensional function spaces before the discretization is made.

Another line of enquiry is based on vector-valued co-chains, offering direct correspondence between external vector fields and 0-cochains. Main issue with this approach is the unwanted coupling of metric and constitutive information by the Hodge star, seen in the few past works on the topic. Discussed are options for decoupling by separating the deformation component from the rotation component of the discrete displacement/deformation gradient.

A third line of enquiry is inspired by the computational attractiveness of modern tools in geometry integration. Elasticity problems are a formulated by energy functional, which for quasi-static cases uses a generalization of the Biot strain measure. The deriving schemes minimised via variational methods are structure preserving. That opens up a wide range of possibilities for robust and efficient nonlinear elastic simulation, improving on state of the art methods in geometry discretization schemes on solid mechanics.

Michał Lipiński

Title:

Pra-dekompozycja Morse'a

Abstract:

Podczas referatu przedstawię próbę osłabienia założenia dotyczącego częściowego porządku dla rozkładu Morse'a. Wynikowa konstrukcja ma umożliwić opis wewnętrznej struktury zbiorów niezmienniczych o rekurentnym zachowaniu.

Robert Szczelina

Title:

Równania różniczkowe z opóźnionym argumentem

Abstract:

Referat poglądowy. Postaram się przybliżyć najprostszą z form tzw. funkcyjnych równań różniczkowych, w których prawa strona równania zależy od wartości rozwiązania nie tylko w chwili obecnej, ale także w chwilach wcześniejszych. Omówię, w jaki sposób równania te generują (pół)potoki w nieskończenie wymiarowej, funkcyjnej przestrzeni stanów, skąd się bierze zwartość dla (pewnych) odwzorowań Poincarégo konstruowanych dla tych potoków (potrzebne w komputerowo wspieranych dowodach) i jakie problemy napotykamy tworząc ścisłe metody numeryczne dla tego typu równań.

Paweł Dłotko

Title:

Dynamics and topology

Abstract:

In a number of practical problems we need to understand shape of data and its dynamics. In this talk I will present a few ideas originated in topological data analysis and use them to quantify shape and its evolution. We will start by considering time-varying persistence diagram and subsequently move static and dynamics version of mapper graphs. We will see how those can be used to understand semi-periodic patterns.

Daniel Wilczak

Title:

Symetrie i ich rola w badaniu dynamiki układów

Abstract:

Opowiem, w jaki sposób można wykorzystać symetrie układów w komputerowo wspieranych dowodach istnienia pewnych typów rozwiązań, np. okresowych, homo/heteroklinicznych i dynamiki symbolicznej.

Roman Srzednicki

Title:

O geometrycznym wykrywaniu orbit okresowych i dynamiki chaotycznej (2)

Abstract:

Omówione zostaną pewne wyniki dotyczące istnienia orbit stacjonarnych, okresowych i chaotycznych wewnątrz specjalnego rodzaju podzbiorów przestrzeni fazowej: bloków izolujących, segmentów izolujących i łańcuchów izolujących.

Roman Srzednicki

Title:

O geometrycznym wykrywaniu orbit okresowych i dynamiki chaotycznej (1)

Abstract:

Omówione zostaną pewne wyniki dotyczące istnienia orbit stacjonarnych, okresowych i chaotycznych wewnątrz specjalnego rodzaju podzbiorów przestrzeni fazowej: bloków izolujących, segmentów izolujących i łańcuchów izolujących.

Daniel Wilczak

Title:

O metodzie dowodzenia istnienia pewnych typów bifurkacji homo/heteroklinicznych (2)

Abstract:

Przedstawię geometryczną metodę dowodzenia istnienia połączeń homoklinicznych i heteroklinicznych, które występują dla izolowanych wartości parametrów w układach z czasem zarówno dyskretnym, jak i ciągłym. Motywacją do jej opracowania była próba wykazania istnienia nieskończenie wielu orbit Shilnikova i cykli Bykova w układzie Michelsona [1]. Obie powyższe bifurkacje są kowymiaru jeden. Opracowana metoda może być zastosowana do badania bifurkacji dowolnego, skończonego kowymiaru. Przedstawię wyniki pewnych symulacji numerycznych, które sugerują możliwość jej zastosowania do badania cykli heteroklinicznych kowymiaru 2 w hiperchaotycznym układzie Roesslera.

Piotr Zgliczyński

Title:

Śledzenie nietranswersalnych połączeń heteroklinicznych (2)

Abstract:

Omówimy wynik dotyczący śledzenia łańcucha nietranswalnych połączeń heteroklinicznych opartego na idei odrzucania „zużytych kierunków”. Ten mechanizm zilustrujemy na przykładzie modelu wprowadzonego przez Colliander et al. w kontekście nieliniowego równania Schrödingera na 2-wymiarowym torusie z rozpraszającym członem trzeciego stopnia.

Piotr Zgliczyński

Title:

Śledzenie nietranswersalnych połączeń heteroklinicznych (1)

Abstract:

Omówimy wynik dotyczący śledzenia łańcucha nietranswalnych połączeń heteroklinicznych opartego na idei odrzucania „zużytych kierunków”. Ten mechanizm zilustrujemy na przykładzie modelu wprowadzonego przez Colliander et al. w kontekście nieliniowego równania Schrödingera na 2-wymiarowym torusie z rozpraszającym członem trzeciego stopnia.

Tomasz Kapela

Title:

Ścisłe oszacowania zbiorów osiągalnych

Abstract:

Układy ze sterowaniem są ważnym narzędziem modelującym wiele zjawisk i mają szerokie zastosowania praktyczne. Podczas referatu przybliżę podstawy tej teorii, przykłady oraz szerzej omówię algorytmy ścisłego szacowania zbiorów osiągalnych zarówno od góry, jak i od dołu.

Małgorzata Moczurad (Jagiellonian University, Poland)

Title:

Konfiguracje centralne dla płaskiego problemu n ciał dla n=5,6,7 z równymi masami (3)

Abstract:

Przedstawię komputerowo wspierany dowód kompletnej listy konfiguracji centralnych dla płaskiego problemu n ciał z potencjałem Newtona dla n=5,6,7 z równymi masami. Dowodzę, że wszystkie te konfiguracje centralne mają symetrie odbicia wzdlędem pewnej prostej. Dla n=8,9,10 dowodzimy, że istnieją konfiguracje centralne dla równych mas bez żadnej symetrii odbicia.

Małgorzata Moczurad (Jagiellonian University, Poland)

Title:

Konfiguracje centralne dla płaskiego problemu n ciał dla n=5,6,7 z równymi masami (2)

Abstract:

Przedstawię komputerowo wspierany dowód kompletnej listy konfiguracji centralnych dla płaskiego problemu n ciał z potencjałem Newtona dla n=5,6,7 z równymi masami. Dowodzę, że wszystkie te konfiguracje centralne mają symetrie odbicia wzdlędem pewnej prostej. Dla n=8,9,10 dowodzimy, że istnieją konfiguracje centralne dla równych mas bez żadnej symetrii odbicia.

Daniel Wilczak

Title:

O metodzie dowodzenia istnienia pewnych typów bifurkacji homo/heteroklinicznych (1)

Abstract:

Przedstawię geometryczną metodę dowodzenia istnienia połączeń homoklinicznych i heteroklinicznych, które występują dla izolowanych wartości parametrów w układach z czasem zarówno dyskretnym, jak i ciągłym. Motywacją do jej opracowania była próba wykazania istnienia nieskończenie wielu orbit Shilnikova i cykli Bykova w układzie Michelsona [1]. Obie powyższe bifurkacje są kowymiaru jeden. Opracowana metoda może być zastosowana do badania bifurkacji dowolnego, skończonego kowymiaru. Przedstawię wyniki pewnych symulacji numerycznych, które sugerują możliwość jej zastosowania do badania cykli heteroklinicznych kowymiaru 2 w hiperchaotycznym układzie Roesslera.

Małgorzata Moczurad (Jagiellonian University, Poland)

Title:

Konfiguracje centralne dla płaskiego problemu n ciał dla n=5,6,7 z równymi masami (1)

Abstract:

Przedstawię komputerowo wspierany dowód kompletnej listy konfiguracji centralnych dla płaskiego problemu n ciał z potencjałem Newtona dla n=5,6,7 z równymi masami. Dowodzę, że wszystkie te konfiguracje centralne mają symetrie odbicia wzdlędem pewnej prostej. Dla n=8,9,10 dowodzimy, że istnieją konfiguracje centralne dla równych mas bez żadnej symetrii odbicia.