Plano de curso, contrato didático-andragógico.
Fatos sobre conjuntos (teoria ZFCH), funções, e relações de equivalência e conjuntos quociente.
Fatos elementares sobre: tipos especiais de operações algébricas; grupos, anéis, domínios de integridade e corpos; e os anéis de polinômios e de matrizes. Alguns tipos de matrizes.
Fatos sobre: subgrupos e subanéis; grupos e anéis quociente.
Fatos sobre: domínios euclidianos, principais, fatoriais e com MDC; multiplicidade de raiz; irredutibilidade e primalidade de polinômio; decomposição primária de polinômio em K[x] para um corpo K; e fecho algébrico.
Fatos sobre: homomorfismos de anéis e de anéis com unidade; E característica de um anel com unidade e de um corpo.
Matrizes e operações elementares; linha-equivalência; forma escada reduzida. Breve menção às formas normais de Hermite e de Howell.
Sistemas de equações lineares; matrizes de coeficientes e aumentada; tipologia, conjunto solução e sua geometria; comentários sobre métodos de resolução.
Espaços vetoriais: conceito, subespaços, exemplos, histórico de seu desenvolvimento.
Conjuntos geradores, independência linear, bases (de Hamel), coordenadas, dimensão.
Posto-linha e posto-coluna de matriz e de sistema linear.
Somas e somas diretas de subespaços.
Caso de dimensão finita: matrizes de coordenadas e de mudança de base; teorema das trocas de Steinitz.
Existência de bases; boa definição da dimensão no caso infinito; contraste com módulos em geral; bases de Hamel vs. de Schauder.
Cálculos concernentes a subespaços vetoriais.
Transformações lineares, seus núcleos, imagens e determinação em uma base. Dimensão como invariante compĺeto para espaços vetoriais.
Tipos especiais: transformações singulares; epimorfismos, monomorfismos, isomorfismos e operadores lineares; invertibilidade e cancelabilidade.
Teorema do posto e da nulidade.
Matrizes de transformações lineares; matrizes semelhantes.
Interpolação de Lagrange; matriz de Vandermonde; derivada, fórmula de Taylor.
Categorias de espaços vetoriais e transformações lineares.
Funcionais lineares; espaço dual; anulador de subconjunto; hiperplanos.
Caso de dimensão finita: base dual; espaço bidual; relação entre hiperplanos e sistemas de equações lineares, geometria das operações elementares.
Transpostas de transformações lineares e de matrizes.
Algumas propriedades universais: bases, espaços vetoriais (livremente) gerados, núcleos, produtos diretos, espaços quocientes e conúcleos.
Multilinearidade; produtos tensoriais; suas propriedade universal, bases, dimensão.
Menção à coerência e à estritificação para estruturas monoidais e monoidais simétricas.
Notações tensorial e diagramática de Penrose; coeficientes de estrutura, convenção de somatório de Einstein. Tipo, ordem e posto de um tensor.
Menção a aspectos computacionais de tensores.
Álgebras lineares (álgebras associativas), unitais e comutativas; seus homomorfismos e categorias. As álgebras lineares unitais de matrizes quadradas, operadores lineares, séries de potências formais e polinômios.
Funções multilineares alternadas; produto exterior; anel de Grassman.
Determinantes, suas propriedades e fórmulas, e seus valores em tipos especiais de matrizes.
Menção a pfaffianos, permanentes, hafnianos e aspectos computacionais.
A ideia de forma canônica (ou normal).
Requisitos: domínios euclidianos, principais, fatoriais e com MDC. Multiplicidade de raiz; irredutibilidade e primalidade de polinômio. O anel dos polinômios em uma indeterminada a coeficientes em um corpo como domínio euclidiano; decomposição primária de polinômio. Fecho algébrico.
Valores, vetores e espaços característicos (autovalores, autovetores, autoespaços) ordinários e generalizados; polinômio característico.
Diagonalização. Polinômios anuladores e minimal. Teorema de Cayley-Hamilton.
Subespaços invariantes por um operador linear. Conjuntos condutores e anuladores de um vetor.
Triangulação e diagonalização simultâneas.
Operadores nilpotentes, unipotentes e idempotentes.
Projeções; somas diretas invariantes.
Teorema da decomposição primária. Partes diagonalizável e nilpotente de um operador linear.
Subespaços cíclicos, relação com anuladores; matriz associada.
Subespaços admissíveis. Teorema da decomposição cíclica; forma racional, fatores invariantes.
Formas normais de Jordan e de Weyr. Complexificação e a forma real de Jordan.
Forma normal de Smith de matrizes com entradas em um domínio euclidiano; relação com a estrutura dos módulos finitamente gerados sobre ele.
Operadores semi-simples; decomposição de Jordan-Chevalley.
Em preparação. Temas em torno de formas bilineares, espaços com produto interno e seus operadores, e algumas decomposições.