Two problems still open in relevance logic

Nota

El objetivo del proyecto de I+D+i "Dos problemas todavía abiertos en lógica de la relevancia: semántica para E mingle y semática para Silogismo Disyuntivo como regla de prueba" (PID2020-116502GB-I00) es el avance del conocimiento en el ámbito de la lógica, concretamente, en el de la lógica de la relevancia, independientemente de su eventual aplicación práctica. La lógica de la relevancia es un vástago de la lógica modal. El creador de la moderna lógica modal es C. I. Lewis, un lógico y filósofo estadounidense cuyos trabajos fundamentales se publican a partir de los años 30 del pasado siglo. Su objetivo era definir una representación lógica adecuada de la lógica del lenguaje natural. En la actualidad la lógica modal tiene aplicaciones sumamente importantes en varios campos científicos tales como la inteligencia artificial o las ciencias de la computación, en los que se utiliza, por ejemplo, para codificar el conocimiento temporal en inteligencia artificial, o para especificar, analizar y verificar las ejecuciones de los programas y sistemas informáticos. Algunas lógicas modales son, además, lógicas de recursos computacionales. Recordamos y subrayamos, pues, la gran importancia que tiene la investigación básica para el desarrollo de la ciencia aplicada.

Nuestro proyecto se ocupa de dos resultados negativos alcanzados en lógica de la relevancia hace más de 40 años: (1) No es posible interpretar la lógica E Mingle en la semántica relacional ternaria, la semántica de mundos posibles característica de la lógica de la relevancia diseñada por R. Routley y R. K. Meyer. Dos de las lógicas de la relevancia más importantes son las lógicas R (lógica de la relevancia) y E (lógica de la relevancia y la implicación) de A. Anderson y N.  D. Belnap. Desde el punto de vista de la relevancia, el axioma “mingle”, A→(A→A), parece aceptable, ¿qué hay de objetable en afirmar que una fórmula implica su autoidentidad? Sin embargo, su adición a R resulta en una lógica con paradojas de la relevancia, aunque muy interesante: R Mingle. La lógica E Mingle es el resultado de añadir a E una variante restringida de mingle, (A→B)→[(A→B)→(A→B)], ya que añadirla en su forma original conllevaría la violación de un requisito clave y necesario de cualquier lógica de la implicación, según Anderson y Belnap. De E Mingle se sabe muy poco, y mientras que se ha dotado a R Mingle de una semántica relacional ternaria, no se ha podido dar una semántica tal para E-Mingle hasta ahora, puesto que mingle restringido no parece ser interpretable en la misma.  (2) La regla “Silogismo Disyuntivo” y la lógica de la relevancia son incompatibles. La presencia de la conocida tesis Silogismo Disyuntivo en cualquier lógica de la relevancia, incluso en la más débil, permite la derivación de paradojas de la relevancia y/o de la consistencia como, por ejemplo, la tesis Ex Contradictione Quodlibet (cualquier proposición puede derivarse de una contradicción), algo inaceptable en estas lógicas. Por esta razón se rechaza la tesis Silogismo Disyuntivo y, por ende, la regla de inferencia correspondiente (si A y ∼A∨B, entonces B). No obstante, sí se considera el Silogismo Disyuntivo admisible como “regla de prueba” (si A y ∼A∨B son teoremas, entonces B es teorema). Ahora bien, los requisitos de las pruebas de admisibilidad que encontramos en la literatura limitan enormemente el espectro de lógicas de la relevancia a las que puede añadirse el Silogismo Disyuntivo como regla de prueba. No es fácil explicar brevemente la importancia de estos dos resultados. Permítasenos, pues, limitarnos a subrayar que su contenido, junto a su longevidad, socava la confianza que pudiéramos tener en la aplicabilidad extralógica de la lógica de la relevancia. Por otro lado, ambos resultados han de ser precisados sin ambigüedad para que en caso de que nuestros objetivos no sean conseguidos, expliquemos por qué.

Vamos a demostrar que las conclusiones negativas antes indicadas no son ciertas: (1) E Mingle puede interpretarse con la semántica relacional ternaria; (2) el Silogismo Disyuntivo y la lógica de la relevancia sí son compatibles. Esto es lo que prometimos al Ministerio de Ciencia e Innovación en nuestra propuesta, en la cual explicamos con detalle la estrategia que hemos diseñado para conseguir nuestros objetivos en base a los 20 años que llevamos trabajando en la temática en la que se encuadra nuestro proyecto.

Este proyecto de investigación se desarrolló en la Universidad de León y fue financiado por el Ministerio de Ciencia e Investigación (Agencia Estatal de Investigación) (MCIN/AEI/10.13039/501100011033). Referencia: PID2020-116502GB-I00. Duración: desde 2021 a 2024.