Формулы и свойства

Сумма углов треугольника равна 180.

α + β + γ = 180°

Сумма длин двух любых сторон треугольника больше длины оставшейся стороны:

a + b > c

b + c > a

c + a > b

В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, и обратно. Против равных сторон лежат равные углы:

если α > β, тогда a > b

если α = β, тогда a = b

Свойства, применимые к любому треугольнику

Против большей стороны лежит больший угол, и наоборот.
Против равных сторон лежат равные углы, и наоборот. (В частности, все углы в равностороннем треугольнике равны.)
Сумма углов треугольника равна 180° (Из двух последних свойств следует, что каждый угол в равностороннем треугольнике равен 60°).
Продолжая одну из сторон треугольника (AВ), получаем внешний угол Θ.
Любая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон и больше их разности:
- AB<BC+CA
- AB>BC−CA
- BC<AB+CA
- BC>AB−CA
- CA<AB+BC

Признаки равенства треугольников

Произвольные треугольники равны, если:

Три стороны одного треугольника равны трем сторонам другого треугольника (по трем сторонам).
AB = DE и BC = EF и AC = DF

Две стороны одного треугольника равны двум сторонам другого треугольника и углы между этими сторонами также равны (по двум сторонам и углу между ними).
AB = DE и BC = EF и ∠ABC = ∠DEF;
BC = EF и AC = DF и ∠BCA = ∠EFD;
AB = DE и AC = DF и ∠CAB = ∠FDE;

Три угла одного треугольника равны трем углам другого треугольника (по трем углам).
∠ABC = ∠DEF и ∠BCA = ∠EFD и ∠CAB = ∠FDE;

Два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, и любая сторона первого треугольника равна соответствующей стороне другого треугольника.
∠ABC = ∠DEF и ∠BCA = ∠EFD;
∠BCA = ∠EFD и ∠CAB = ∠FDE;
∠CAB = ∠FDE и ∠ABC = ∠DEF;
AB = DE или BC = EF или AC = DF

Прямоугольные треугольники равны, если равны:

Гипотенуза и острый угол.
BC = EF и ∠ABC = ∠DEF
BC = EF и ∠BCA = ∠EFD;

Катет и противолежащий угол.
AB = DE и ∠BCA = ∠EFD
AC = DF и ∠ABC = ∠DEF

Катет и прилежащий угол.
AB = DE и ∠ABC = ∠DEF
AC = DF и ∠BCA = ∠EFD

Два катета.
AB = DE и AC = DF

Гипотенуза и катет.
AB = DE и BC = EF
AC = DF и BC = EF

Признаки подобия треугольников

Два треугольника являются подобными, если углы одного треугольника равны, углам другого треугольника, а стороны подобны

∠ABC = ∠DEF и ∠BCA = ∠EFD и ∠CAB = ∠FDE;

Признаки подобия треугольников

Два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника.
Две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, а углы, образованные этими сторонами, равны.
Три стороны одного треугольника соответственно пропорциональны трем сторонам другого треугольника.

Отношение периметров и длин биссектрис, медиан, высот, серединных перпендикуляров равно коэффициенту подобия. т.е. в подобных треугольниках соответствующие линии (высоты, медианы, биссектрисы и т. п.) пропорциональны.

Подобия в прямоугольных треугольниках

Треугольники, образованные высотой, опущенной из прямого угла, являются подобными друг другу
Если прямоугольные треугольники имеют равный острый угол, то такие треугольники подобны.
Если два катета одного прямоугольного треугольника пропорциональны двум катетам другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники подобны.
Если катет и гипотенуза одного прямоугольного треугольника пропорциональны катету и гипотенузе другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники подобны.

Сумма внутренних углов треугольника

Сумма (внутренних) углов треугольника равна . Выучиваем мы это в школе и на всю жизнь. Для треугольника на плоскости продемонстрировать это несложно.

Первая идея заключается в том, чтобы сделать треугольник, например деревянный, с примагничивающимися углами.

Вторая идея состоит в изготовлении складывающегося треугольника. В треугольнике, сделанном из картона или пластика, формируются три сгиба: один вдоль средней линии, два других вдоль перпендикуляров, опущенных из крайних точек средней линии на сторону треугольника. Конструкцию удобно наклеить на основание.

Если «сложить» треугольник, то все три вершины попадут в одну точку и внутренние углы треугольника сформируют развёрнутый угол.

На цилиндре и на конусе — точно так же — сумма углов треугольника равна . Дело в том, что и цилиндр, и конус можно сделать из плоского листа бумаги. Нарисованный треугольник, при развороте листа на плоскость перейдёт в обычный треугольник без искажений.

А вот в неевклидовых геометриях сумма углов треугольника отличается от 180 градусов. Например, на сфере легко придумать треугольник, у которого все углы — прямые.

Page updated

Google Sites

Report abuse