要旨：Mpemba（ムペンバ）効果とは、お湯と水を冷凍庫に入れて凍らせたとき、お湯の方が先に凍ることがある、という奇妙な物理現象である。近年、統計物理学の分野で、Mpemba効果の確率過程による抽象的な定式化がなされた。これにより、多様な系で同様の効果が発見され、関連する研究が発展している。本講演では、まずこれらの研究と、Mpemba効果が生じるメカニズムについて簡単に紹介する。続いて、数学的に興味深いのはむしろMpemba効果が生じない場合であることを述べ、monotone couplingに基づいてMpemba効果がないことを証明した結果 (Ohga, Hayakawa, Ito; arXiv:2410.06623 および論文準備中) について報告する。この結果は、kinetic Ising modelやexclusion processのあるクラスに適用でき、系の詳細によらずにMpemba効果の不在を証明できる。

要旨：本講演では, ブラウン運動の自己交差局所時間とその繰り込みよる構成について概説する.

 まず導入として, 1次元ブラウン運動の局所時間について考える. 1次元ブラウン運動は原点に確率1で到達するが, 滞在時間は通常の意味では0である. しかし, デルタ関数を適切に近似することで原点での滞在時間に相当する量として局所時間が定義できる.

 2次元ブラウン運動は確率1で自己交差(2重点)を持ち, 自己交差が生じる時刻の集合はルベーグ測度0である. しかしながら,  任意の微小な時間区間の中に自己交差が現れるため, デルタ関数の近似だけでは発散してしまう. Le Gall (1992) ではこの発散を適切に繰り込むことで収束する量を構成し, それを自己交差局所時間として定式化した.

 本講演では, Le Gall (1992) の結果を出発点として, 自己交差局所時間とガウス自由場・Wick power との関連を扱った Marcus–Rosen (1999), および Le Jan–Marcus–Rosen (2017) の結果を紹介する. さらに, 講演者の最近の研究に基づき,  自己交差局所時間の繰り込みによる構成が熱核評価から従うための十分条件について説明する.

概要：L\'evy's arcsine law for one-dimensional Brownian motion is a classical result in probability theory. Among various generalizations of the arcsine law, we focus on the Dynkin--Lamperti theorem, which is a distributional limit theorem for the position of a subordinator (i.e., an increasing L\'evy process) just before it exceeds a level $t$, as $t\to0+$ or $t\to\infty$. In this talk we recall the Dynkin--Lamperti theorem and then present related large deviation estimates as our main results. Furthermore we demonstrate that our main results can be applied to the last time the Brownian motion on the Sierpinski gasket visits the starting point. This talk is based on joint work with Takahiro Mori (Kyoto Institute of Technology) and Kei Noba (The University of Osaka). 

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概要：Poisson U-statistics are a fundamental class of Poisson functionals, with many examples arising in stochastic geometry. For such functionals, quantitative central limit theorems have been obtained using the Malliavin-Stein method for Poisson functionals. In this talk, I will present partial progress toward quantitative local central limit theorems for Poisson U-statistics and discuss applications to counting functionals arising from random geometric graphs.

概要：We first consider some involutions over a Markov chain, its quantum lift (quantum walk), and their scaling limits. Then will discuss zeta functions, trace formulas, and automorphic forms associated with the involutions, and their applications.