Títulos y Resúmenes

Resumen: Algunos resultados clásicos de Szego y otros autores afirman que las matrices de Toeplitz se pueden aproximar por matrices circulantes y los valores propios de las matrices de Toeplitz están asintóticamente distribuidos como la función generadora.

En esta charla hablaré de una clase operadores completamente positivos con una estructura heredada de la estructura de Toeplitz y la estructura circulante.  Mostraré que el resultado clásico puede extenderse a esta clase de mapeos que aparecen en generadores GKSL de acoplamiento débil con un operador de interacción Toeplitz.

Resumen: El análisis espectral de gráficas estudia las propiedades de una gráfica a través del espectro de matrices asociadas a ella, como la matriz de adyacencia o la matriz de Laplace de la gráfica. En esta plática presentaremos la relación del análisis espectral de gráficas con la probabilidad no conmutativa. En particular, hablaremos de la relación de algunos tipos de productos de gráficas con los tipos de independencia que se estudian en la probabilidad no-conmutativa. Además, hablaremos del método de descomposición cuántica, el cual utiliza principios cuánticos para descomponer operadores lineales (como matrices de adyacencia o laplacianos) asociados a una gráfica.

Resumen: Es bien conocido que la distribución de algunos productos de gráficas con respecto al funcional asociado estado vector canónico se puede describir a partir de nociones de independencia. Boleana, Monótona, Tensorial. Sin embargo, para entender otros productos y otros es necesario extender estas nociones de independencia considerando espacios con dos funcionales. En esta plática explicaremos estas nuevas construcciones, después de dar un recuento de la relaciones entre Productos de Gráficas y nociones de Independencia. De manera natural aparecerán descomposiciones a partir de productos tensoriales. Este es trabajo conjunto con Takahiro Hasebe y Franz Lehner, así como trabajo en progreso con Jhon Aguilar.

Resumen: En esta charla daremos desigualdades entre la energía y algunos índices topológicos. Estos resultados se extienden a digráficas. Además, veremos como ciertas desigualdades se relacionan para definir un juego cooperativo, el llamado "juego de la energía en gráficas". Daremos algunas aplicaciones de nuestros resultados. Los resultados presentados forman parte del trabajo conjunto con O. Arizmendi. 

Resumen: La charla presenta una nueva desigualdad que relaciona la energía de un grafo y una suma ponderada en sus aristas. Esta desigualdad general permite probar que 𝐸(𝐺) ≥ 2𝑅(𝐻), donde 𝐸(𝐺) es la energía del grafo 𝐺 y 𝑅(𝐻) es el indice de Randic de cualquier subgrafo de 𝐺 (no necesariamente inducido). En particular, este resultado generaliza desigualdades conocidas, tales como 𝐸(𝐺) ≥ 2𝑅(𝐺) y 𝐸(𝐺) ≥ 2 𝜇(𝐺) donde 𝜇(𝐺) es el matching number. También se presentan ejemplos donde la desigualdad con suma ponderada de aristas mejora las cotas obtenidas frente a desigualdades basadas en el índice de Randić. Finalmente, se comenta sobre problemas abiertos, su impacto en los resultados presentados e intuición sobre su posible solucion.

Resumen: La conexión entre la estructura molecular de los materiales y las propiedades derivadas de sus diferentes representaciones ha sido un tema de gran interés tanto en teoría como en la práctica. En este contexto, los índices topológicos de gráficas se presentan como herramientas esenciales, ya que permiten sintetizar la información topológico-estructural de una molécula y han demostrado estar relacionados con diversas propiedades físicas de los materiales, como el punto de ebullición, la tensión superficial, entre otras. Además, estos invariantes han encontrado aplicaciones en áreas como la lingüística computacional, la ecología, la comunicación por satélite, el reconocimiento facial, el análisis y procesamiento de imágenes, entre otros. Hoy en día, dichos invariantes se estudian tanto en estructuras deterministas como aleatorias, en función de las necesidades prácticas. Con base en esto, esta charla brindará una introducción a los índices topológicos, explorando la teoría subyacente y mostrando su uso mediante dos ejemplos concretos en modelos de gráficas aleatorias.

Resumen:  Las partes completamente positivas de los generadores de semigrupos cuánticos de Markov del límite de baja densidad, se definen mediante ciertas integrales que involucran operadores no necesariamente acotados y no es evidente que estas transformaciones tengan representaciones de Kraus. Aproximando mediante funciones simples demostraremos que estas transformaciones tienen representaciones de Kraus en el  caso cuando los operadores involucrados no son acotados, pero su dominio es un espacio de Hilbert densa y continuamente encajado en el espacio inicial. 

Resumen: entro del contexto de probabilidad no conmutativa, supongamos que se tienen variables aleatorias a1, a2, . . . , aN cuya independencia a pares para ai y aj con1≤i<j≤N está dada de la siguiente manera:

(1) ai es independiente de aj en el sentido tensorial con probabilidad q;
(2) ai es independiente de aj en el sentido monónoto con probabilidad p1;
(3) ai es independiente de aj en el sentido anti-monónoto con probabilidad p2; (4) ai es independiente de aj en el sentido booleano con probabilidad 1−q−p1 −p2.

Este escenario tiene una representación como una gráfica dirigida aleatoria G con conjunto de vértices [N ] = {1, 2, . . . , N }, este siendo determinista, y conjunto aristas dirigidas aleatorias (i, j) con 1 ≤ i < j ≤ N de tal manera que:

(1) (i,j) ∈ G y (j,i) ∈ G con probabilidad q;
(2) (i, j) ∈ G y (j, i) ∈/ G con probabilidad p1;
(3) (j, i) ∈ G y (i, j) ∈/ G con probabilidad p2;
(4) (i,j)∈/Gy(j,i)∈/Gconprobabilidad1−q−p1−p2.

En esta charla veremos cómo esta gráfica aleatoria nos permite determinar el teorema del límite central correspondiente al escenario arriba descrito. Si el tiempo lo permite, expondremos también los avances en la búsqueda por un operador con momentos dados por este límite central. Esta charla se basa en trabajo en conjunto con O. Arizmendi (CIMAT) y M. Banna (NYU).

Resumen: Las matrices de Marchenko-Slavin se utilizan para modelizar la dinámica de sistemas de partículas interactuantes cerca de su posición de equilibrio. Se consideran matrices infinitas de Marchenko-Slavin y se caracterizan sus medidas espectrales y los correspondientes espacios de funciones. Por medio de un algoritmo de reconstrucción a partir de la medida espectral se establece la equivalencia entre la clase de Marchenko Slavin y ciertas matrices infinitas en banda con "degeneraciones". Esta equivalencia permite expresar la caracterización de las medidas espectrales en términos de problemas de interpolación racional de vectores polinomiales.

Resumen: En esta charla definiremos un grafo de distancia regular G mediante los operadores k-distantes, los cuales generalizan la noción de matriz de adyacencia. Además, identificaremos a G con un operador de Jacobi J en cierto espacio de Hilbert y mostraremos que el espectro de J coincide con el soporte de la medida de la matriz de adyacencia de G.

Resumen: El espacio de Lipschitz de un árbol consiste en las funciones con valores complejos, definidas en los vértices de un árbol infinito y localmente finito. En esta charla hablaremos de los operadores de composición definidos en este espacio, y en un subespacio importante: el llamado pequeño espacio de Lipshitz. En particular, investigamos el acotamiento y espectro de estos operadores, así como algunas propiedades dinámicas.

Resumen: El espacio de Zygmund de un árbol infinito es el espacio de funciones con dominio en los vértices de un árbol y valores en el plano complejo cuya derivada discreta es Lipschitz respecto a la métrica usual en árboles y el módulo usual en el plano complejo. En esta plática estudiamos el acotamiento y el espectro de dos operadores de desplazamiento sobre el espacio de Zygmund de un árbol: el desplazamiento hacia atrás y hacia adelante.

Resumen: La conectividad algebraica de una gráfica se define como el menor eigenvalor positivo de su matriz laplaciana. La resistencia total de la gráfica es la suma de las distancias entre vértices de la gráfica de acuerdo a la métrica de resistencia efectiva, y puede escribirse en función de los eigenvalores del laplaciano. Tanto la conectividad algebraica como la resistencia total se relacionan con la idea de conexión global de una gráfica. En esta plática hablaremos sobre ambos índices y algunas relaciones entre ellos.

Resumen: En el contexto de los generadores GKSL de límite de baja densidad (LDL) presentamos un ejemplo de un generador 3-genérico de 4 niveles del Hamiltoniano del sistema, el cual es 3-genérico dado que la frecuencia de Bohr asociada con transiciones entre niveles consecutivos aparece tres veces. Presentamos condiciones para la existencia de estados invariantes diagonales y avances para la búsqueda de estados invariantes generales.

Resumen: En esta platica exploraremos el mundo de las Redes Neuronales de Gráficas (GNN) y su aplicación en la predicción de posiciones  en el problema gravitacional de N cuerpos. Discutiremos los conceptos clave detrás de las GNNs, su arquitectura y su capacidad para capturar patrones complejos, permitiendo predecir con precisión la evolución de sistemas dinámicos.