Contacto:
· Email: gmantillas@unal.edu.co
· Oficina: 43-224.
· Horas de oficina: acordadas individualmente vía email o pueden pasar a mi oficina los miércoles entre 10:30 AM y 12:00 PM.
Lugar y hora de clase:
· Martes-Jueves: 12:00 PM - 2:00PM. Salón 14-322.
Parcial 2.-Jueves 30 de Agosto en el horario usual de clase se sube acá y se entrega vía email a más tardar el 28 de agosto a las 2:00 PM.
Parcial 3. Jueves 19 de septiembre en el horario usal de clase, en el salón de clase.
Bibliografía: No tendré un texto fijo para la clase pero referencias útiles para el curso son las siguientes:
· D. Burton, Elementary Number theory. McGraw-Hill, 2005.
· L. Jiménez, J. Rodríguez, G. Rubiano, Teoría de números(para principiantes), Universidad Nacional, 2004.
· W. Stein, Elementary Number theory(Primes, congruences and secrets). Springer-Verlag, 2008.
Criterio de evaluación:
· La nota final será calculada con base en tres exámenes (25% cada uno) y la nota de tareas (25%).
Instrucciones tareas:
· Bajo ninguna circunstancia se aceptan tareas tarde.
· Las tareas, y fechas de entrega, se anunciaran en clase y serán subidas acá. Es responsabilidad de los estudiantes estar al tanto de estas.
· "No para entregar" quiere decir: es importante hacer esos problemas para continuar con el entendimiento del curso, pero no tiene que escribirlos de manera formal ni someterlos a calificación.
Tarea 0 No para entregar pero sí para hacer.
Tarea 1 Para entregar jueves 22 de febrero al inicio de clase--pueden hacerlo en grupos de a lo más dos personas.
Tarea 2 Para entregar martes 19 de marzo al inicio de clase--pueden hacerlo en grupos de a lo más dos personas.
Tarea 3 Para entregar jueves 22 de agosto al inicio de clase--pueden hacerlo en grupos de a lo más dos personas.
Tarea 4. No para entregar.
1: Definiciones axiomáticas de los naturales y sus operaciones básicas (N,+, .).
2: Definición de orden en N y relación con las operaciones de suma y producto. Buen orden y varios principios de inducción.
3: Revisión del concepto de relación de equivalencia. Definición de los enteros (Z,+, .) y los racionales (Q,+, .).
4: Defniciones artitméticas: divisiblididad y número primo.
5: Teorema fundamental de la aritmética, algoritmo de Euclides.
6: Definición de M.C.D, M.C.M. Teorema de Bezout.
7: Resultados de divisibilidad, teorema de co-primalidad, clases residuales.
8: Ecuaciones Diofantinas: Solución completa de ecuaciones lineales. Parametrización de tripletas Pitagóricas.
9: Problema 10 de Hilbert. Último teorema de Fermat. Solución al caso n=4 y caso particular de n=3.
10: Infinitud de primos a la Euclides y algunas generalizaciones(infinitud de primos en ciertas clases residuales).
11: Interludio analítco(Infinitiud de primos a la Euler). Mención del teorema de progresiones aritméticas de Dirichlet.
12: Congruencias, propiedades básicas, definición de (Z/nZ, +, .)
13: Teorema de Wilson, pequeño teorema de Fermat. ¿Cuándo es -1 un cuadrado mod p?
14: Función Totient de Euler. Teorema de Euler. Multiplicatividad de la función de Euler y fórmulas explícitas de su cálculo.
15: Teorema chino del residuo. Teorema de interpolación de Lagrange.
16: Solución a ecauciones de grado 1 en congruencias. Introducción a congruencias de grado 2.
17: Cuadrados módulo p, símbolo de Legendre, primer encuentro con la ley de reciprocidad cuadrática.
18: Existencia de raíces primitivas mod p.
19: Teorema de suma de dos cuadrados de Fermat. Clasificación de enteros que son suma de dos cuadrados, y comentarios del teorema de los cuatros cuadrados de Lagrange.
20: Definición de C, Números complejos, raíces primitivas complejas de la unidad, la exponencial compleja y sus propiedades. Definición del anillo de p-énteros ciclotómicos.
21: Prueba de reciprocidad cuadrática vía sumas de Gauss e irreducibilidad del polinomio p-ciclotómico. Matrices circulantes y lema de Kronecker.
22: Fracciones continuas y ecuación de Pell.